基于切比雪夫多项式的全新自由曲面设计与运用

下一步是将镜片的曲面类型从标准更改为切比雪夫多项式。用户可以指定要使用的多项式的 X 和 Y 最高阶数。在本例中，仅使用了可用切比雪夫多项式中的一组子集，但 X 和 Y 的最高阶数设置为 14，则此组子集可从这些阶数中任意选择。

此外可以具体表明切比雪夫多项式曲面的参数是 X 和 Y 的归一化长度。对于本例，我们定义的归一化长度为 16，以对直径比入瞳直径 30 稍大的曲面上的各个系数进行归一化。

我们也设置切比雪夫曲面为矩形孔径，X 和 Y 的半宽度均为 16。

创建的优化函数可使光线投射到入瞳的多个位置，并将其映射到像面所需的 Y 高度，使用 REAY 操作数计算 Y 中的实际光线高度。

预期的最终设计形状应与偶次非球面相似且切比雪夫多项式的零阶和偶数阶与偶次非球面项数相似，故仅将其用作优化变量。

为进行优化，c(2,0) 上设置了一个变量，即切比雪夫 2x2-1 项。为求 X-Y 对称，将 c(2,0) 值拾取至 c(0,2)（即 2y2-1项数）。由于这些二阶项被设为变量，所以基面曲率半径不被用作优化变量，保留其数值为无穷大。

c(4,0) 和 c(6,0) 分别从 c(0,4) 和 c(0,6) 中拾取值，以此类推，直到第 14 阶，总计七个变量和 7 个拾取值。

使用阻尼最小二乘法优化 14 阶多项式后，可得到预期结果。可以看到像平面的照明十分均匀，呈矩形状：

得到的切比雪夫曲面各项参数如下所示。注意，对称已得到强化，c(2,0) 值等于 c(0,2) 值，c(4,0) 值等于 c(0,4)值，以此类推。为简化，已省略系数为 0 的多项式项。