基于切比雪夫多项式的全新自由曲面设计与运用

概要

OpticStudio 中新增的全新 2D 自由曲面设计以切比雪夫多项式为基础，提升了自由曲面光学元件设计的灵活性，并推动了制造工艺多样性。我们的设计包括将高斯输入光束转化为均匀照明的反射镜和 TMA 望远镜。设计期间，我们将切比雪夫多项式、XY 多项式与泽尼克曲面类型进行了对比。在不同情况下，切比雪夫曲面得到的结果与其他两者相同，或是更佳。

 随着设计要求的日益复杂化，在光学和照明系统设计中使用自由曲面也变得更加普遍。虽然光学设计软件平台给用户提供了多种类型的自由曲面，但 OpticStudio 中的切比雪夫多项式组合非常独特，使其在多个设计情景中享有特殊优势。从定义上看，这些二维多项式与归一化方孔互不相关，这表示用于定义曲面几何形状的系数与线性无关。正因如此，曲面几何形状的优化通常不受局部极小值的影响，与使用其他类型的非球曲面相比，设计过程更加简单。

此外，切比雪夫多项式组合基于笛卡尔坐标，这不同于其他许多用于描述旋转对称系统的多项式自由曲面，能简单定义变形或非旋转对称系统和非椭圆孔径。如果用户无法在早期设计阶段确定要使用的曲面类型（因为可能事先无法得知最终设计与对称的偏离度），则切比雪夫多项式曲面会便是不二之选。它可以根据需要对多种不对称度进行建模。

使用切比雪夫多项式的另一个优势是曲面形状的边缘不会偏离到非正交多项式描述的曲面通常偏离的程度。在制造过程中，通常必须扩大孔径尺寸，所以边缘不会过度偏离的曲面类型会使制造过程简单得多。

切比雪夫多项式

第一类切比雪夫多项式由以下公式得出：

前几个切比雪夫多项式如下所示：

使用乘积基 tij (x,y)，可能转变为二维切比雪夫多项式方程组：

使用切比雪夫多项式项的有限和，可得到此自由曲面的矢高方程式：