2.1微分 #p*OLQ3~
E
jBEZL|_
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: bg[q8IBCd
m5f/vb4l
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 j}S
C6O1ype
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 3]<$;[Q
.ay
K+6I
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 H9nZ%n
0>Ecm#
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 fm:/}7s
}=7tGqfw
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 H6rWb6i
.U9NQwd
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: [-1Nn}
]@M$.msg@
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; U}7$:hO"dX
:]e:-JbT4z
>>S2 = 'sin(a)'; MdZ7Yep
F!j@b!J8
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; ~"brfjd|
6$@Pk<w
>>diff(S1) tSE6m -
\L6U}ZQ2V
ans=18*x^2-8*x+b rWi9'6
"t`r_Aw
>>diff(S1,2) yBht4"\Al
uoaF(F-
ans= 36*x-8 #y}@FG
M ~.w:~Jm
>>diff(S1,'b') Yy>%dL
z15(8Y@2]
ans= x :
bT*cgD{
7Dom[f
>>diff(S2) `H^Nc\P#
r/:s2oQ
ans= U-X
m'oVqA&
cos(a) lb`P9mbr+
sVaWg?=qs'
>>diff(S3) JB''Ujyi
^fXNeBj
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 ~ $!eB/6ty
_N9yC\
>>simplify(diff(S3)) oQWS$\Rr.
QH~/UnV
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 u#la+/
noh3mi
2.2积分 pRUN[[L
SX/yY
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 w*#TS8
\
(fm\kV
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: 1S0Hc5vw
tN";o\!}
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 D\N-ye1LE
>UWLT;N/W
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 <74q]C
z`>a,X
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 ^?&Jq_oU
REnRpp$
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 dUOjPq97
=u${2=
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 QVn!60[lj
/M v\~vg$1
我们示范几个例子: T*-*U/
L~I<y;x
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; <s]K~ Vo
A$Es(<'9g
>>S2 = 'sin(a)'; u0w2v+
V*U"OJ%
>>S3 = 'sqrt(x)'; i*W8_C:S
]A9Vh
>>int(S1) ~;wSe[
Wy)|-Q7
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x zP
rT0
[M@i,d-;A
>>int(S2) pWbzBgM?nU
UFouIS#L
ans= -cos(a) }@SZ!-t%rD
@bfaAh~
>>int(S3) \
$X3n\
QbxjfW"/+
ans= 2/3*x^(3/2) ;9=9D{-4+
$C,f>^1
>>int(S3,'a','b') qECc[)B
cS4e}\q,
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) 1g2%f9G
;T-i+_
>>int(S3,0.5,0.6) K34ca-~
qqS-0U2
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) ]$y"|xqR
(<itE3P
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 7s<v06Wo
o
PR^Z
pt
ans= 0.0741 >(`|oD`,Y
Y]&HU) u
2.3求解常微分方程式 Q(oWaG
uhQ3
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , j%]i#iqF
$M$oNOT}Y
condition则为初始条件。 f^:9gRt
:*1|ERGoay
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 PrDvRWM
Y\dK-M{$
y'=3x2, y(2)=0.5 F!c%&Z
xO"5bj
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 IDdhBdQ
1p+2*c
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 czdNqk.kh
8
6?D
对应上述常微分方程式的符号运算式为: B%^B_s
5t:4%
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') wvx
N6
1 (P>TH
ans= x^3-7.500000000000000 <IK8Ucp
8
E.u3eS
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 rZ w&[ G
YpL{c* M
N%_-5Q)so
o+/x8:
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') _S2QY7/
Z;7f
D
ans= atan(x^2+1) D
GOc!
fVb&=%e
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') )I.[@#-
9p>3k&S
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) [AE]0cO@
w/h?, L|
xI}]q%V
JgYaA*1X
2.4非线性方程式的实根 d[-w&[iy
Eq~&d.j
要求任一方程式的根有三步骤: 4q~+K'Z
fCO!M1 t
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, M6pGf_qt
M2my>
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 5<,}^4wWZ
.OXvv _?<
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 C1)TEkc"C
A;Xn#t ,(K
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 ;gK+AU
,F6i5128{
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 $N+a4
LPO3B W
例一、方程式为 H.|FEV@
wEQV"I
sin(x)=0 ]*ZL>fuD|
J@p[v3W
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: iNd8M V
:T5l0h-eC
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 [=S@lURzm@
%89f<F\V
r=3.1416 x_2
[+Ol
)z2Tm4>iql
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 h1FM)n[E7
<M7@JgC &
r = 6.2832 FUvZMA$
7MOjZD4?
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: "Z& {
hi`\3B
>> x=linspace(-2,3); -P(q<T2MV'
)O#>ONm^
>> y=humps(x); 4F)z-<-b
z<sf}6q
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 wu/]M~XwI
~ NKw}6
A^bg*t,
tm#T8iF
]wER&/v"
Do=*bZ;A
[ -{L@
mI@E>VCV[
kbM 4v G
`5=0f}E
Gv?'R0s
mxGa\{D#y
_F;(#D
2|qE|3&{'
Y3mATw 3Wh
>> r=fzero('humps',1.2) z,X
^;
?h<I:[oZ
r = 1.2995 f+Pu t
9"I/jd0B
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 XB50>??NE
2%rAf8=
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: 6wqq"6w
O)Nj'Hcu
% m-function, f_1.m Tm.(gK
* G.6\
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 z"Gk K T
BN|+2D+S
y=x.^3-2*x-5; rgRh ySud
4 "@BbVYR
>> x=linspace(-2,3); NMJ230?
dSS_^E[{
>> y=f_1(x); Q|"{<2"]U0
8N'`kd~6[
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 iKv{)5
U*(m'Ea
gk>A
1YTnOiYS1
z5=&qo|f9l
"qu%$L
HZ>Xm6DnC5
K9mL1 [B
d-#MRl$rtK
vAy`8Q
#?@k=e\
zEl@jK,{$
QDzFl1\P
Y 'Yoc
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 so9h6K{qcp
c#<v:b
r = 2.0946 5$`i)}:s
JY"<b6C^
>> p=[1 0 -2 -5] 2w $o;zz1
=4RnXZ[P0
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 %i]q} M
zRx-xWo
r = G)?VC^Q
KA0Ui,q3
2.0946 :5L9tNr{_
VuN=
JX
-1.0473 + 1.1359i IR;lt 3
#VgPg5k.<
-1.0473 - 1.1359i )Jz L
od"Oq?~/t
2.5线性代数方程(组)求解 pUZbZ
U
JpvE c!cli
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 w6F4o;<PR
;_@u@$=~
AX=B 1[
ME/r
nAZuA]p}S]
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 5%mc|
!_QE|tVeR
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 7{
(t_N>
jqPQ=X
如果将原方程式改写成 XA=B GPy+\P`
il(dVW
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 v/
dSz/<]
?\L@Pr|=Dr
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 Du k v[/60
8{Bcl5]<
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 h\Ck""&
(|(#~o]40t
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: I dgha9K
ow,I|A
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 aze}koNE
x6d+`4
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 )`!i"
K9\`Wu_qL
>> X=A\B % 先以左除运算求解 h|$.`$
8_US.52V
X = % 注意X为行向量 3Kc
8
;y N
-2 NRe{0U}nO
|QHDg(
5 R#eY@N}\
w[~O@:`]<o
6 O~N0JK_>
_5 Zhv-7
>> C=A*X % 验算解是否正确 9!6sf
GZ
%e.tAl"!$
C = % C=B 8@^=k.5IK
Oz<{B]pEul
10 P!q!+g
FGo{6'K(:
5 u )cc
0"]N9N;/
-1 {hr>m,O%
*Hx{ eqC
>> A=A'; % 将A先做转置 )F
Q
'^
49q\/
>> B=[10 5 -1]; tu8n1W
P~/Glak
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 o,dO.isgh>
T~@$WM(
X = % 注意X为列向量 c193Or'6Y
gM~dPM|
10 5 -1 ^}vL ZA
$a|C/s+}7>
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解