2．1微分 %ua5T9H Z
bsDUFXH]
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： 9&jNdB
q| \Cp
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 ywBo9|%T
fQ ) ;+
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 yFv3>\
)f|6=x4
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 &Kwt vUN{
,bg#pG!x Q
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 ,]' !2?
~<-h# B
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 x Jlq2cK
}3e+D
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： 1k(*o.6
j'cS_R
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; rZ7 Ih of
}Qo8Xps
>>S2 = 'sin(a)'; v.J#d>tvf
Dbd5d]]n3
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; K> ~l6
Y TA &G
>>diff(S1) uLht;-`{n
|M&/( 0
ans=18*x^2-8*x+b sIe(;%[`
U^I'X7`r
>>diff(S1,2) h[?28q$
XFYl[?`G
ans= 36*x-8 /PlsF
j=LF1dG"
>>diff(S1,'b') 9 R1]2U $|
=X B)sC%
ans= x ;2~Q97c 0
D=$<E x^p
>>diff(S2) wXnt3)e
D c2 eY.
ans= oB@ C-(M
VdgPb (
cos(a) hJM0A3(Cm
Q)/q h;R u
>>diff(S3) |ou k;r24V
TM;)[R@
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 -mF9Skj
cE[lB08
>>simplify(diff(S3)) 5;*C0m2%i
OZD/t(4?6s
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 q Z.\GHS
`y( 3:##p
2．2积分 [ 0Sd +{Q
/uWON4
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 N C& 1l]
jn'8F$GU
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： <|@9]>z
bhRpYP%x
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 SzDi= lY
>JhQ =j
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 "x)W 3C%*S
l)H u.1~
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 *MNY1+RJ
R!=XMV3$PH
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 #"|Ey6&
_1 a2Z\
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 }z[se)s
NZ#z{JI =+
我们示范几个例子： P-C_sj A7
Z,z^[Jz
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; !Kis,e
QB7<$Bp
>>S2 = 'sin(a)'; F=# Wf l-o
f"Z2& Y@
>>S3 = 'sqrt(x)'; `'/8ifKz
9"rATgN1
>>int(S1) n1ICW 9
1/ a,7Hl
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x |7 argk+
vc<8ApK3V
>>int(S2) 9 }=Fdt
*\/ U T
ans= -cos(a) `?)i/jko"
b#b#r
>>int(S3) CAX U
#
bvoR?D\-"
ans= 2/3*x^(3/2) ojaZC,}
}\@*A1*X2
>>int(S3,'a','b') ms?h/*E<H
rO C~U85
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) FY'f{gD^
0wx`y$~R
>>int(S3,0.5,0.6) #q\C"N5ip
vXc<#X9
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) pCq{F*;
0P|WoC X
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 Mqq7;w@(J
#pIb:/2a_
ans= 0.0741 c 9Cp!.#*E
gw H6r3=y(
2．3求解常微分方程式 \t}!Dr+yN
@~"0|,6VC
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， N-^\e)ln
1&dWt_\
condition则为初始条件。 [P^ .=F
&ha39&I
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 r A9"CN
Agl[Z>Q
y'=3x2, y(2)=0.5 /t816,i
)msqt!Ev
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 Uu
G;z5
Ij" `pdp
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 us/x.qPy2
o/Z?/alt4
对应上述常微分方程式的符号运算式为： k }/0 B
-Z @ cj
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') E0GpoG5C
U:_&aY_
ans= x^3-7.500000000000000 8tsW^y;S
_KK G^
u<
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 291v
R]
I &4|T<j
Nl1& na)K}
!.9NJ2'8
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') gz eG5p
Oq[t gmf
ans= atan(x^2+1) q
K]Wk +
m#Rll[
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') @@+\
P>:"\I[
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) 'y@0P5 [se
[N{Rd[{QTL
^"l4
xm bkn}@A
2．4非线性方程式的实根 syMB~g
hMdsR,Iq
要求任一方程式的根有三步骤： h T4fKc7P
H$Q_K<V
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， X mLH Z,/
rNd ap*.
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 QH;1*
^lf)9 `^U
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 _Nlx)Y R
e)O6k7U$
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 lr=*Ty(V
D/rKqPp|!
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 zcDVvP
@va6,^)
例一、方程式为 +tl&Jjdm
)0YMi!&j`
sin(x)=0 t-e:f0iz
flnoK%wi
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： R aKL KZn
@32JM S<
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 C}%g(YRhb
X]M)T
r=3.1416 a~WtW]
3}2'P C
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 0OP6VZ\
MY DAS-
r = 6.2832 :(N3s9:vz
\f05(l d
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： ?=-18@:.ss
u+kXJ
>> x=linspace(-2,3); !'[f!vsyM{
?FxxH*>"
>> y=humps(x); BNnGtVAbZ
$s5LzJn
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 YOy/'Le^:
skf7Si0z
7jvf:#\LtL
>XM-xK-=
n'K,*
!D!Q]M5oU
ULNU '6
%[l5){:05
vg5i+ry<
N[~ RWg
?Bno?\
M|w;7P }
Vr+X!DeY
r8 A
nn5tOV}QE
>> r=fzero('humps',1.2) D37N* 9}
@2na r<
r = 1.2995 >,yE;zuw
%4 *-BCP
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 S-NKT(H)c
5B< em
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： m0DD|7}+
b3N1SC:Wn
% m-function, f_1.m kI<;rP1S|
2v\,sHw+-
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 G~5 EAeG
'_N~PoV
y=x.^3-2*x-5; JK) )Cuh
o$)pJ#";F
>> x=linspace(-2,3); 9)9p<(b $
fkbHfBp[(A
>> y=f_1(x); >4
4 A
c6.S jV
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 >slD.rb]
P MV;A{T
SVB> 1s9F
T a8;
7Ko<,Kp2b
c5C 2xE}T
jM]B\cvN
Tw JiYXHw?
i I\ bD
6Lj= %&
K9O%SfshF
Aj#bhv
Jmg<mjq/G
Yz7H@Y2i
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 <q\OREMsq
v8
r K \
r = 2.0946 m.!n|_}]
>n3w'b
>> p=[1 0 -2 -5] `s1>7XWf
.\)`Xj[?
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 T-,T)R`R
6bPoC$<Z
r = sT8(f=^)8F
t 7#lRp&
2.0946 bvn %E
H
"}ibH{$lM
-1.0473 + 1.1359i v 3\
|
\"k[y+O],4
-1.0473 - 1.1359i 9|BH/ &$
ufl[s j%^|
2．5线性代数方程（组）求解 _C"=Hy{
\EI<1B
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 NSs"I]
fL$U%I3
AX=B ]] Bq te
R%Xhd cn7
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 *~ Y$8!ad
2-G6I92d
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 >%6a$ r~@
vtx3a^
如果将原方程式改写成 XA=B \G4L+Q/13
py|ORVN(Z
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 XS #Jy
n
~t=73 fwB
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 <DeC^[-P
!V.2~V[^M
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 j(xVbUa
b6(LoN.
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： !m {d6C[
` |uwR5
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 v[l={am{/
ccR#<Pb6q
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 OkNBP 0e}
#!. 26RM:P
>> X=A\B % 先以左除运算求解 WNnB
s
qQN|\u+co
X = % 注意X为行向量 Z-U-n/ 6I
]`+J!G,
-2 o|en"?4
dgEH]9j&
5 Q$bi:EyJXc
]nIH0k3y
6 f[ 'uka.U
r'F )8%
>> C=A*X % 验算解是否正确 Uf,f d
B+VD53 V
C = % C=B BT *z^Z H
6lAHB*`
10 cM ?i _m
Z>l%:;H
5 ?+P D?c7
{,X}Btnwp
-1 F`Ld
WA
%|izt/B
>> A=A'; % 将A先做转置 XG!s+ShFV
)JsmzGC0
>> B=[10 5 -1]; w}rsboU
xg.o7-^M
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 ']&rPv kL
<rn26Gfr
X = % 注意X为列向量 Z#vU~1W
."u
DM<
10 5 -1 OD8{
/7
3:g~@PB
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
