2．1微分 *mw *z|-^V
I,/E.cRV<
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： }? CKE<#%
QqC-ztz
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 a0k/R<4
I
'ha=PeVn
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 R x@0EPV
:@Ml-ZE
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 ayg^js2,
QNZ #SG8
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 a 3[,3
F:Yp1Wrb <
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 Sq`Zuu9t
k5X-*^U=V}
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： 3my_Gp
*"V) h I5
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; $%1oZ{&M
G1SOvdq
>>S2 = 'sin(a)'; )SaMfP1=v
^ b{~]I
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; Ibv`/8xh
e=ry_@7
>>diff(S1) @f#6N u
fTG VG
ans=18*x^2-8*x+b 4 SIS #m
}gQn r;lv
>>diff(S1,2) O}z-g&e.U
7!
/+[G
ans= 36*x-8 G4EuW *~
MwD8a<2Dg
>>diff(S1,'b') L}t P_ *
\
Ju7.3.
ans= x WFfn:WSWU
M
~6 $kT
>>diff(S2) 3oApazH*
] &"01M~+K
ans= S0lt _~
xH>j
cos(a) j
HEt
Pu,2a+0N
>>diff(S3) cJ'OqV F
{Ok]$ 0L
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 "8\2w]"
CS;4 ysNf
>>simplify(diff(S3)) =DXN`]uN
mv#*%St5
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 rouaT
Bh65qHQO
2．2积分 Z)<lPg!YAR
,b t
j6hg
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 ` c "
Lwo9s)j<e
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： O_ v*,L!
U<6+2y P
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 Cr YPcvd6
wB"`lY
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 %0%T p
z6 .^a-sU5
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 M AL;XcRR
HnKXO
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 /1b7f'
yKC1h`2
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 G
BM8:IG \
V}Ce3wgvA
我们示范几个例子： f%rZ2h)
pz]! T'
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ]$I}r=
Em
YRU95K [
>>S2 = 'sin(a)'; !1/F71l DX
]l, ,en5V
>>S3 = 'sqrt(x)'; !i\ gCLg2_
_IWLC{%V
>>int(S1) #tA/ )Jvi
}ldpudU
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x I8uFMP
\;JZt[
>>int(S2) S:1g(f*85
#@F.wV 0
ans= -cos(a) ?/8V%PL~$
J|`.d46
>>int(S3) Z}.Z T EB
#\\|:`YV
ans= 2/3*x^(3/2) 1:J+` mzpl
hw=~ %f;
>>int(S3,'a','b') /O~Np|~ v
I {=Yuc
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) Os KtxtLO
6"R'z#{OF
>>int(S3,0.5,0.6) 9dWz3b1[]
2+ywl}9
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2)
w"C ,oo3
Nnq1&j "m
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 ~0@fK<C)O
x_r*<?OZ
ans= 0.0741 D " %>
BvUiH<-D
2．3求解常微分方程式 Fu 5c_"!
[v\m)5
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， ?:G 3U\M
$tej~xZK
condition则为初始条件。 RGrQ>'RL
bF5"ab0
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 iu3L9UfL[
&x UD (
y'=3x2, y(2)=0.5 Qxk & J
~S\> F\v6'
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 W#=,FZT
7*"Jx}eM
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 mh y='AQJ
E X#AJ>?V(
对应上述常微分方程式的符号运算式为： X-#&]^d
ESYF4-d +
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') >F s/Wet
*ifz@8C }
ans= x^3-7.500000000000000 keFH
CC
[c;#>UQMf
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 FRQ0t!b<M1
i1!1'T8
0[e!/*_V
PjH'5Y
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') ? ^W1WEBm
M&/%qF15
ans= atan(x^2+1) /K NDo^P
]!&$&t8.
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') |<5F08]v
0Qq<h;8xEc
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) ~$J(it-a
+vaA
P=
tW/g0lC %
cR_ pC
9z
2．4非线性方程式的实根 7e AV2.
y.c6r> }
要求任一方程式的根有三步骤：
-0x Q'1I
DA.k8M
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， +{RTz)e?*
".N+nM~
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 ,w3-*z
o~)o/(>ox
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 mO ;QT
[
'lu;1-,
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 }Sbk qd 5
HE%/+mZN
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 WFh.oe8
sQac%.H;`U
例一、方程式为 %l!?d`?
ao"2kqa)r
sin(x)=0 6]Is"3ca
(u} /( Ux
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： #$x,PeG
PPr Pj^%z=
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 #Uu,yHMv:;
.JXEw%I@
r=3.1416 ,1#? 0q
H8FvI "J
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 ]i$ y ;]f
R`Z"ey@C
r = 6.2832 +tT"
d \l{tmte
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： hdH z", )
[
gM n
>> x=linspace(-2,3); Z K+F<}
Y?NL|cW4
>> y=humps(x); H3<tsK=:
P:4"~ ]}
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 5@m
,*n&[
LhbdvJAk@
Sv{n?BYq
)>:~XA|?
jRU: un4
`\62 iUN
W~;Jsd=f
dX cbS<
B[GC@]HE
Q_0+ N3
fq6Obh=A#
eTvWkpK+
'7sf)0\:<p
mG&A_/e!9
&/]en|f"
>> r=fzero('humps',1.2) @"MYq#2c$
1"ZtE\{
"
r = 1.2995 /=m AVA
["EXSptB
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 'Z4}O_5_
n9+33^ PT
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： 0vm> *M*p
O D}RnKL
% m-function, f_1.m CvY+b^ ;
Bdt6 w(`^
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 `|ie#L(:7/
5
3%>)gk:
y=x.^3-2*x-5; qg
o B}n%
1l$Ei, 9
>> x=linspace(-2,3); ?7 aZU
+)sX8zb*gY
>> y=f_1(x); 8Agg%*Qs}
H`CID*Ji
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 \FVfV`x
f ,cd=vGj
4`5yrC d
{JgY-#R?{(
d&j
5g7@Dj,.
7&ED> Bk
rL{ R=0
1|MRXK
,2S!$M
k7CKl;Fck
F^u12R)
|sZqqgZ-
Q1,sjLO-a
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 l{k_;i!D
R/hI XO
r = 2.0946 D<S C
`
Y,}_LS$f
>> p=[1 0 -2 -5] L.He BeO
wh8';LZ>R
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 b7QE
YaC%69C'
r = U] LDi8
Nc:s+ o
2.0946 N[e,){v
Huev D y4
-1.0473 + 1.1359i $v0,)AL i
entU+O r
-1.0473 - 1.1359i \R#SoOd
%j7b0pb
2．5线性代数方程（组）求解 CvoFt=c$jE
;+9OzF ;
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 Oidf\%!mvR
o:Fq|?/e
AX=B T }#iXgyx
} s~c(sL?;
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 Q\$3l'W
T`&z QQ6F'
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 ']M/'CcM
dHnCSOM<
如果将原方程式改写成 XA=B uz8LF47@:-
( \AN0_
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 Xh 9QfT ,
@aIgif+v
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 cLtVj 2Wb
(> al-vZ6A
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 XiW1X6
;l$$!PJ
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： 2 JfSi2T
WK{`_c
U^
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 ^tB 1Nu %
T c WC r
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 s3 >a
p*
>z:=
>> X=A\B % 先以左除运算求解 :`bC3Mr
aO' #!k*R
X = % 注意X为行向量 G/_IY;
"=h1gql'
-2 .biq)L e
' )m!48
5 <Ky-3:pxeM
Pe,>ny^J1
6 \x<8
c!6D{(sfh
>> C=A*X % 验算解是否正确 S6~y!J6Ok4
( @?mm
C = % C=B CFtQPTw
Sc<dxY@w7-
10 DHO]RRGV
o4Q?K .9c
5 A}9Z%U
(5y M%H8 :
-1 j}+3+ 8D
LF dvz0
>> A=A'; % 将A先做转置 n$i X6Cd
&o:5lxR{
>> B=[10 5 -1]; R/hf"E1
3jx%]S^z|
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 HbTVuf o
W`>|OiuF
X = % 注意X为列向量 Rh=" <'d
k&Pt\- 9on
10 5 -1 1/DtF
'.A!IGsj
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
