2.1微分 G3dA`3
S\L^ZH?[2
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: U(/8dCyyY
$O_{cSKg7
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 `z$=J"%? y
_E2W%N
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值
*I.eCMDa
=$SvKzN
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 IoZ_zz0
^cCNQS}r
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 9#E)H?`g
MU:q`DRr
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 <:4b4Nl
tMH2
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: @,m 7%,
t:"%d9]
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; CbwQbJ/v7
u#UtPF7q
>>S2 = 'sin(a)'; XT?wCb41R
57KrDxE}
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; G
> t
E24j(>
>>diff(S1) PD~vq^@Q
VTwQD"oB
ans=18*x^2-8*x+b /U})mdFm
45k.U $<|
>>diff(S1,2) +8Y|kC{9"
tUt_Q;%yC
ans= 36*x-8 !%[fi[p
AH-BZ8
>>diff(S1,'b') >pp#>{}
h_]*|[g
ans= x M:dH>
%|j8#09
>>diff(S2) eV~"T2!Sb
'S|7<<>4k
ans= {$#88Qa\-
jYvl-2A'
cos(a) )x~/qHt
{T-^xwc
>>diff(S3) GaV} @Q
9kB R /{
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 TY%=Y=
bDm7$ (
>>simplify(diff(S3)) )%PMDG|
ioEjbqD<
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 !8D>Bczq)
IMBjI#\
2.2积分 L|L|liWd
gVe]?Jva`
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 ~$C}?y^ a
Fq_>}k@fI
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: pwk Te
'MBXk2?b
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 _aBy>=2c$
?@7!D8$9
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 >{9VXSc
![nL/
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 tv`b##
g{i= $xc
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 Qc)i?Z'6
7qZC+x6_L
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 TOF V`7q;3
$(+xhn(O
我们示范几个例子: NL>Trv5
)QRT/, ;c
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 4(VV@:_%
)Tp"l"(G
>>S2 = 'sin(a)'; F_9
4k
,msP(*qoI
>>S3 = 'sqrt(x)'; WJu(,zM?G
U\B9Ab
>>int(S1) M.
%
p'^5
t72u%M6
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x `/`iLso&-
}Hq3]LVE
>>int(S2) /]'&cD 1
Bpm COA
ans= -cos(a) o $W@@aM
TfT^.p*
>>int(S3) LAo$AiTUR{
&M<"Fmn
ans= 2/3*x^(3/2) wpt$bqs|1
HR"clD\{Di
>>int(S3,'a','b') T4Vp0i
=0]K(p,
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) nOd;Zw
#b;k+<n[X
>>int(S3,0.5,0.6) F-rhxJd
a>W++8t1 ;
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) W_E^+Wl@
6E
K <9M
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 Hzm_o>^KC
%(p9AE
ans= 0.0741 "qF/7`e[
,7bhUE/VB
2.3求解常微分方程式 {*F
=&D
CEkUXsp
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , e+-#/i*
6'kQ(r>
condition则为初始条件。 _q#pEv
>A X_"Q~
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 H=,>-eVv*
i6k6l%
y'=3x2, y(2)=0.5 Z\`SDC
=TNFAt
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 $%\6"P/64
BRM `/s
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 G!sfp}qW
8g!79q\c4
对应上述常微分方程式的符号运算式为: |[iO./zP
D!Y@Og.
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') aV|VC$
R/"-r^j
ans= x^3-7.500000000000000 3Fn}nek
j>;1jzr2}
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 3e^0W_>6
X$\CC18
2IW!EUR
pXl qE,
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') 0Yq_B+IC
CSoVB[vS
ans= atan(x^2+1) AN:s%w2
/cx'(AT
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') +JC"@
.hxFFk%5
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) r`<e<C
p<'pqf
ca3zY|Oo
;%
KS?;%[
2.4非线性方程式的实根 *rw6?u9I
W&cs&>F#
要求任一方程式的根有三步骤: ^pu8\K;~
zfI{cMn'J
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, Q~ Ad{yC
wAW{{ p
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 q {
%7`eT^
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 x2&5zp
^4,LIIUj
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 2^`k6V!
|P&
\C8h
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 /SM 7t_
Q6URaw#Yt`
例一、方程式为 .
4RU'9M
KwaxNb5
sin(x)=0 J,:;\Xhl
f$5pp=s: n
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: xH`
VX-X3
pN9U1!|uam
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 m*B4a9f
AZik:C"Q
r=3.1416 P~lU`.X}
GNuIcy
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 C .B=E"e
/%jX=S.5h<
r = 6.2832 KrG,T5
n,s7!z/
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: nTtEv~a_n
KlS#f
>> x=linspace(-2,3); WPpO(@sn
* Wp?0CP
>> y=humps(x); _4nm h0q4
%#&njP
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 kmu`sk"
<ty]z!B
bd}[X'4d
&\cS{35
!kb:g]X
\ %MsG
KkpbZ7\@
o6~JAvw
yVXVH CB
zAklS 7L
3XDU(#
%-K5sIz
EVaHb;
Q}<QE:-&E
&!WRa@x0I
>> r=fzero('humps',1.2) E 11C@%
kF,ME5%
r = 1.2995 jpZq]E9`P
$$o(
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 BB69U
#$2/<
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: Qhc;Zl
6P>}7R}
% m-function, f_1.m cbm;45 L|
0MxK+8\y
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 QE)zH)(
z9OpxW@Ou
y=x.^3-2*x-5; -+Yark
SRk!HuXh
>> x=linspace(-2,3); O
j:I @c
sb8bCEm-\
>> y=f_1(x); gg%)#0Zi
r`EjD}2d
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 E7@Gpu,o
{}Is&^3Z
]plp.f#av
<1>6!`b4
2@2d
|
W
a9{NAyl<oo
oxL<\4)WJ
~@xPoD&
`W~
CyYr5 Dz
Q25VG5G
;l @lA)i
_FE uQ9E
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 Jx}-Y*
o
K#X/j'$^
r = 2.0946 9oO~UP!ag
FE,mUpHIR
>> p=[1 0 -2 -5] (y.N-I,
{dpDQP +!
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 P3|s}&
][?J8F
r = vVa|E#
[
C&vi7Yx
2.0946 _Q
I!UQdW
;xzaW4(3
-1.0473 + 1.1359i JVy|SA&R
[yQ%g;m
-1.0473 - 1.1359i ~).D\Q\
_r\M}lDh*
2.5线性代数方程(组)求解 |H_WY#
YuknZ&Q
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 o&%v"#H2
9ABU^ig
AX=B ={oNY.(Q
;]=w6'dP!
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 EC,`t*<
Nv36#^Z
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 =cjO]
/^nIOAeE
如果将原方程式改写成 XA=B d8jH?P-"
\uPzj_kU6
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 &Z]}rn
= N*Jis
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 eP>_CrJb
\M\7k5$
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 BK%B[f*[OA
o(jLirnk
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: \~%+)a%%
+X^GS^mz
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 'A:Y&w"r
/y-D_
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 OU,FU@6,7w
l6HtZ(
>> X=A\B % 先以左除运算求解 hp'oiR;~w
jC>ZMy8U)4
X = % 注意X为行向量 X#$ oV#
[6mK<A,/
-2 )Ac,F6w
:wIA.1bK}
5 GE!nf6>Km
}?Y -I>
w
6 F-|DZ?)k5
[l5jPL}6
>> C=A*X % 验算解是否正确 ,nteIR'??
nb/q!8
C = % C=B a[~[lk=7
fL2P6N@
10 Q;3`T7
7Fo^:"
5 vf3) T;X>
M8WjqTq
-1 PdO"e
aYa`ex
>> A=A'; % 将A先做转置 ?fy37m(M}
d {U%q
d
>> B=[10 5 -1]; 0 j!<eN=
SzpUCr"
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 a%`Yz"<lQ
rwj+N%N
X = % 注意X为列向量 NHyUHFY
p)B/(%
10 5 -1 SV t~pE+Y
m@+v6&,
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解