2.1微分 k]yv#Pa
!-q)9K?
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: /UiB1-*b
(h%xqXs
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 ou[Wz{
:A`jRe.
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 N1X;&qZDd
E# *`u
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 8PvO_Gz5
q:G3y[ P
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 B{lL}"++0
wKAxUPzm
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 .KF(_
92
qim|=
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: )|<g\>/
]H=P(Z-
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; SW=%>XKkh
'jBtBFzP-
>>S2 = 'sin(a)'; _H$Z}2g<z
[I%'\CI;
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; A9M/n^61
&Y$)s<u8.
>>diff(S1) DWu~%U8
~)]n67Or~
ans=18*x^2-8*x+b /5C>7BC
k 1;Jkq~
>>diff(S1,2) 2Q[q)u
@1)C3(=A
ans= 36*x-8 l
?gh7m_ej
5
OF*PBZ
>>diff(S1,'b') l u V_
rvBKJ!b0
ans= x Q?-u J1J
30L/-+r1
>>diff(S2)
h]?[}&
mbZg2TTy
ans= -/J2;AkGH
Oa-~}hN
cos(a) {aWfD XB1
sys;Rz2
>>diff(S3) Axx{G~n! [
Zz56=ZX*_
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 ceNJXK
(r$QQO)/
>>simplify(diff(S3))
"'mr0G9X
3G-f+HN^E
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 jX
6+~
$
iU~p
2.2积分 "aeKrMgc6V
? p^ ':@=
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 Y'M}lv$sa
|NaEXzo|qY
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: u^&,~n@n7
~aRcA|`
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 w0$l3^}z
Lcy>!3q3~
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 e+P|PW
-Khb
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 ED
R*1!d
%'<m[wf^ o
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 D_Cd^;b
i@`T_&6l
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 XX'Rv]T
VWcR@/3
我们示范几个例子: Cr%6c3aQ
{t&+abY
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 2[$` ]{U
MA5BTq<&
>>S2 = 'sin(a)'; SZ"^>}zl=
Ue]GHJ2
>>S3 = 'sqrt(x)'; zj9aaZ}
XW9
[VUW~
>>int(S1) e+>&?
x
+ Ek('KOF
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x Oz_|pu
j 1#T]CDs
>>int(S2) Z
)dz
p3(&9~s
ans= -cos(a) t=oTU,<
@Xe[5T
>>int(S3) `jB2'
sy.U]QG
ans= 2/3*x^(3/2) v_Y'o
_
2d Px s:8&
>>int(S3,'a','b') za@`,Yq
3xz{[ 5<p
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) cYMlcwS
b?FTwjV+#
>>int(S3,0.5,0.6) (~FLG I
r)SwV!b
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) =1Mh%/y
9K
F`9Y
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 1p9+c~4l:
#.n%$r
ans= 0.0741 l+1GA0'JP
N/fH% AtM
2.3求解常微分方程式 Pkw` o #
@7aSq-(_l*
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , +#! !
'XP
wFJ?u?b0Q
condition则为初始条件。 ij=}3;L_!
A_WtmG_9
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 Z[{ :
`
?=h{`Ci^ $
y'=3x2, y(2)=0.5 qSWnv`hL
:h+gSvn:
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 va/$dD9
8+<vumnw
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 *0`oFTJ
s~(iB{-
对应上述常微分方程式的符号运算式为: Ya)s_Zr7
8Dq;QH}
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') Jh'\ nDz@e
g qRwN p
ans= x^3-7.500000000000000 w&7-:."1i
WwF4`kxT
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 (fjAsbT
O0gLu1*1v
?X.MKNbp
3:h9cO/9
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') hd2 X/"
.hxcx>%
ans= atan(x^2+1) f:h.O# d>
kMHupROj
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') dik+BBu5z
t-$R)vZ}M
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) ,/;mK_6
|QvG;{!
o0p%j4vac
w-%H\+J
2.4非线性方程式的实根 q1Si*?2W
Oop;Y^gG}
要求任一方程式的根有三步骤: oO4
Wwi
bV#U&)|
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, y4HOKJxI
zOpl#%"
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 6N&S3<c4JO
2@
>04]
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 ,HEx9*E/s
onM ~*E
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 -BNlZgk-^
$Wy7z^t
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 Q)c$^YsI
aPq9^S*
例一、方程式为 d]OoJK9&&
pHFh7-vj
sin(x)=0 H V`{YuP
,*2%6t`N?
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: Ds$8$1=L=k
\guZc}V]:\
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 -~A7o3k35
P nsQ[}.
r=3.1416 8z^?PZ/
_=1SR\
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 Tw{H+B"uVz
I)E+
r = 6.2832 ${#5$U+kI
EdA_Hf
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: q!k
F
GqI^$5?
>> x=linspace(-2,3); "-y\F}TE
]],6Fi+
>> y=humps(x); Wiqy".YY
JEX{jf
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 C|Bk'<MI
>w jWX{&?
)^uLZMNaI
ch<Fi%)
cve(pkl
e0HG"z4
R0;c'W)
$EbxV"b+
36JVnW;
=iRi9r'l
5nr}5bum
|EaGKC(
^ 3LM%B
-gh',)R
]nN']?{7PW
>> r=fzero('humps',1.2) PGMu6$
|H5){ 2V>K
r = 1.2995 {a9Z<P
?L#C'Lz2+
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 Qp<?[C}'W
M}}9
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: qt}vM*0}V
epm
t
% m-function, f_1.m 2GcQh]ohc
+DM+@F
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 RMDs~
;u,%an<(
y=x.^3-2*x-5; Z;XR%n8
=2bW"gs
I
>> x=linspace(-2,3); \SnW(,`o X
fyx-VXu
>> y=f_1(x); kmM_Af&
whoz^n3N E
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 8[,,Kr)-
oo3ZYA
ExI?UGT
zY(*Xk
N{iBVl
*-Y77p7u
<8!mmOK1
JrseU6N
6 -gx ba
P
/wc9Yt
eGvHU ;@
b=-<4Vu*\
Kom$i<O?48
ZP*Hx
%U
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 tQ'E"u1
9+9}^B5@A
r = 2.0946 I'BoP
5bv(J
T
>> p=[1 0 -2 -5]
k$}XZ,Q
q+dY&4&u
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 6YrkS;_HS
u7fae$:&