2.1微分 5t,W'a_
75^U<Hz-3{
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: D~(f7~c%
-$x5[6bN
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 ".Z1CBM(
;cFlZGw
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 6*{sZMG
{mkD{2)KQ
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 #835$vOe
w;p:4`
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 G1X${x7
<r8sZrY
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 cLZaQsS%
e[>c>F^
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: GY%2EM(
wa)E.(x
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; THOXs;
k0
PQ#zF&gL9t
>>S2 = 'sin(a)'; LE'8R~4.<
LdPA`oI3j
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; 1 m>x5Dbk!
;b-d2R
>>diff(S1) RqONVytx
R)>F*GsR
ans=18*x^2-8*x+b jQV.U~25Q
~8j4IO(
>>diff(S1,2) =!~6RwwwY
C{5bG=Sg~
ans= 36*x-8 ) ]y^RrD
d:_3V rRZ
>>diff(S1,'b') k*U(ln
<Rno;
ans= x q_R^Q>ZIe
(L2:|1P)
>>diff(S2) /`2t$71)
` 465
H
ans= T2%{pcdV/
vhEXtjL
cos(a) hd'JXKMy
88}=VS
>>diff(S3) "Q[rM1R
v)!C
Dpw
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 ;;Y>7Kn!u
V+Tu{fFF7E
>>simplify(diff(S3)) 1Fs:&* =
w]&
o]VP
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 S{l
>|N2q
B<
6E'
2.2积分 Vt[Kr
!e0OGf
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 /&eF,4
5?yc*mOZ
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: S+LS!b
jkrv2 `"
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 ;r1.Uz(
W,53|9b@
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 xV}ybRKV
7/UdE:~]*=
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 0c,)T1NG >
Vlka+$4!
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 (TF;+FRW
y?}R,5k
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 sT;:V
Tl%n|pc
我们示范几个例子: h=7eOK]
H*H=a
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; >(9"D8
@Q%g#N
>>S2 = 'sin(a)'; R3<2Z0lqy
X^%E"{!nU
>>S3 = 'sqrt(x)'; 8K;wX%_,
&UV=<Az{
>>int(S1) Nm;V9*5
:VvJx]
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x IW&.JNcN
K;NaiRP#k
>>int(S2) Lu6?$N57rC
_XP3|E;I/
ans= -cos(a) flr&+=1?D
nWzGb2Y
>>int(S3) 'y<<ce*
!vQDPLBL
ans= 2/3*x^(3/2) ~|!f6=
%
QKlvmI"
>>int(S3,'a','b') efnj5|JSV
I~f8+DE)
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) n@e[5f9?x
E~| XY9U36
>>int(S3,0.5,0.6) "?Mf%u1R
3L5o8?[
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) B;6N.X(K
(+=TKI<=
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 6z2_b wo
*]uj0@S
ans= 0.0741 v."0igMO
Z7@~#)3
2.3求解常微分方程式 h=`1sfz
{W5D)
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , <Ky6|&!
.:(N1n'>1
condition则为初始条件。 CNRiK;nQ
xSal=a;k
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 V1= (^{p8
<e%~K4KH
y'=3x2, y(2)=0.5 F87aIJ.pGN
w]Fi:kV
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 .}6Mj]7?i
H>/LC* 8-
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 ~H+W[r}
SyWLPh
对应上述常微分方程式的符号运算式为: x.:k0;%Q
*\5o0~~8J
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') C $r]]MSj
U if61)+!i
ans= x^3-7.500000000000000 0
3/<A ^
$sTvXf:g
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 ^9zFAY.|
RgQ;fYS
k"V@9q;*
V(LE4P1
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') w' gKE'c
IxxA8[^V
ans= atan(x^2+1) 5csqu^/y
PM
A61g
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') wV,l }Xb-
NL-<K
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) J% t[{
-UhGacw
ZvS|a~jO
?R;K`f9<
2.4非线性方程式的实根 DwL4?!E
,PyA$Z
要求任一方程式的根有三步骤: ~{O9dEI
%N, P?
,U
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, ;Npv 2yAab
\s[/{3
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 r,` 5 9
jP-=x(
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 o@d+<6Um
_#nP->0)
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 Y.<&phv
A`D^}F6
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 i7m=V T
Dn#GoDMJ[
例一、方程式为 nO d'$q
vX'@we7Q{
sin(x)=0 bLHj<AX#>|
mN9Uyz5G
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: t[.wx.y&0
y+C.2 ca
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 LcA~ a<_
N9M''H*VS
r=3.1416 iSZiJ4AUq
DB^"iof
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 ^rDT+ x
2`o}neF{
r = 6.2832 Ifc}=:nr
Y\qiYra
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: {c3u!}mW
;bZIj`D(
>> x=linspace(-2,3); 4l2xhx
as{^~8B
>> y=humps(x); % 1+\N
l[2 d{r
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 nVTCbV
_V9 O,"DDc
G2nL#l~@)
qXGAlCq@
9 pGND]tIi
O>E2G]K]\
9P3jx)K
"\'g2|A
o@o6<OP^
M=n_;3,o
#>|l"1
Qr/8kWa0C
z_dorDF8`>
',MiD=_
|vZ\tQ
>> r=fzero('humps',1.2) %r<c>sFJN
6;lJs,I1w{
r = 1.2995 }@*Me+
wXc"Car)
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 #nE%.k|R~
PC| U]
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: .oJs"=h:m
Sd3KY9,
% m-function, f_1.m m\h/D7zg
*ay>MlcV2=
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 1$q>\
ICD(#m
y=x.^3-2*x-5; gz K"'4`
VWlOMqL995
>> x=linspace(-2,3); s<I[)FQVr
/`3^?zlu"
>> y=f_1(x); NX$S^Z\QI
N#;k;Z'iL
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 w$9aTL7
oRM,_
LF'M!C9|
fq){?hk~O
jb' hqz
y(K?mtQ
.(Gq9m[~8H
d9XX^nY.
y)W.xR
gY],
(*v
<}RU37,W
()}B]?
8c m,G
t6;Ln().Hw
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 /3*75
A#W%ud4
r = 2.0946 @L%9NqE`O
_C v({m&N
>> p=[1 0 -2 -5] rl^_RI
+igFIoHTM
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 P-L<D!25
5|ih>? C/(
r = L&qzX)
{m9OgR5U
2.0946 VVdgNT|}W
Yn,dM~|Cc
-1.0473 + 1.1359i DJeP]
+[9~ta|j
-1.0473 - 1.1359i ]6{G;f$
"v-\nAu
2.5线性代数方程(组)求解 :K&
J{=by]-rD,
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 3LZ0EYVL
fbSl$jn.
AX=B U S+PI`
93%U;0w[Nw
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 NYD#I{h
w\pD'1e
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 ,MwwA@,9-
$|!VP'VI
如果将原方程式改写成 XA=B y &\ J
wobTT1!|
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 "k\W2,q[
h"KN)xi$
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 &yzC\XdA
ARW|wXhyf
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 + )?1F
u0h {bu
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: -IJt( X|
F]3iL^v
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 $=n|MbFl
w,]cFT
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 6
$%^
i% k`/X;
>> X=A\B % 先以左除运算求解 (F_Wys=6
p^+k:E>U
X = % 注意X为行向量 \$s<G|<P
%;9f$:U
-2 .O'S@ %]
o[^% 0uVF
5 XU.ZYYZ=
3a9Oj'd1M
6 lyKV^7}
j& f-yc'i-
>> C=A*X % 验算解是否正确 zt!mx{l'
5xP\6Nx6&5
C = % C=B ["GC
fR!'i):u
10 wFpt#_fS
|UM':Ec
5 !l@IG C
DqrS5!C
-1 NFPW#-TF
lRnst-inlI
>> A=A'; % 将A先做转置 q~.\NKc
A\lnH5A
>> B=[10 5 -1]; +Tde#T&[
URmx8=q
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 _S/bwPj|~y
4p&qH igG
X = % 注意X为列向量 }S3m
wp<Y
I-4csw<Qy
10 5 -1 vn~DtTp/
O9oVx4=
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解