2.1微分 TW>GYGz
tqpO3
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: XQn1B3k+
^CLQs;zXE
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 hsrf 2Xw[
mrRid}2
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 g/f6N
z
aOd#f:{y
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 ]w>o=<?b
V'{\g|)
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 ^wWbW&<Tg
Q;VuoHj!
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 3%5YUG@
FHU6o910
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: P~{8L.w!>W
DFWO5Y_
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Wgh@X B
V6P-?Nd
>>S2 = 'sin(a)'; uU3A,-{-
9o5D3
d
K
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; MuOKauYa
+Mijio
>>diff(S1) F<b'{qf"
[HYr |T
ans=18*x^2-8*x+b 1Zn8CmE V
Q*T'tkp
>>diff(S1,2) @~$"&B
$2h%IK>#G
ans= 36*x-8 >-N(o2j3
WqF,\y%W*
>>diff(S1,'b') zsJ# CDm
*'{-!Y
ans= x #PD6LO
gm)Uyr$
>>diff(S2) LE<J<~2Z
M]r?m@)
ans= ;_"|#
3:nBl?G<
cos(a) FiiDmhu
HQm_ K0$
>>diff(S3) A/<u>cCW
z4SJxL
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 '+_>PBOc
gEj#>=s
>>simplify(diff(S3)) ]S&ki}i&
P!|Z%H
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ??p%_{QY~b
G~<UP(G
2.2积分 nte?a e
0uDDaFS
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 i$E [@
Q"qI'*Kgt
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: #_35bg4h{
W#<1504ip
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 r+Ki`HD%
`RnWh9
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 WChP,hw
V+Tv:a
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 nFn!6,>E
ac l<dY6
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 -Ty~lZ)TDT
v,ssv{gU
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 |2q3spd
]Orx%8QS!
我们示范几个例子: JaY"Wfc
{zAI-?#*u
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; oa:YAqT
:82h GU
>>S2 = 'sin(a)'; sWYnoRxu
~+dps i
>>S3 = 'sqrt(x)'; YGyv)\
{=[>N>"
>>int(S1) : ZrJL&
1.!U{>$
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x >-A@6Qe_
|EE1S{!24m
>>int(S2) Q|AZv>'!
cFL~<
[>_
ans= -cos(a) kMQ
/9~
ZUQ
_u
>>int(S3) C[^V\?3ly:
h+g\tYWGP
ans= 2/3*x^(3/2) o&q>[c
{]^Ixm-,f
>>int(S3,'a','b') ss)x
fG
gN=.}$Kfu
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) Ym6d'd<9(
{zFME41>g
>>int(S3,0.5,0.6) "@UQSf,
3%Y:+%VE
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) &$
h~Q
8?+|4:#=*J
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 y"JR kJ
=j,WQ66r3
ans= 0.0741 B ?VTIq>
LCHMh6
2.3求解常微分方程式 j<<d A[X
+"?+Be
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , q\0/6tl_
I/dy^5@F
condition则为初始条件。 CFaY= Cy
!$Nj!
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 (&:gD4.
~Bzzu %S
y'=3x2, y(2)=0.5 IP62|~Ap
ShB]U5b:k
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 s6bsVAO>
j#](Q!
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 (>v'0RA
R+M&\ 5
对应上述常微分方程式的符号运算式为: c5YPV"X
&3Zq1o
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') |9I)YD
8-2`S*
ans= x^3-7.500000000000000 Y9+_MxC"
0xB2
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 wX,V:QE
%=aKW[uq]
?5C'9 V
TekUY m!G
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') #4^d#Gj
|YJ83nSO~
ans= atan(x^2+1) I~GF%$-G
ZwmucY%3
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') <S@jf4
Wc3z7xK1@
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) H9cPtP~a)
P$)g=/td1
^ Bx[%
$T'!??|IF
2.4非线性方程式的实根 /at7H!
ZitM<Qi&y
要求任一方程式的根有三步骤: `3+i.wR
Z>rY9VvWD
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, mayJwBfU
L44m!%q
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 *%j$i_
4DA34m(
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 XjX
7;'33Bm*
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 >L7s[vKn
t[^$F,
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 Zj`WRH4
rpR${%jc
例一、方程式为
n>M`wF>
+ ?1GscJ
sin(x)=0 uDF;_bli)H
G.W !
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: kBu{ bxL
7},A.q
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 )pnyVTKt
,^(]zZh
r=3.1416 mDB
Zi!Ta"}8
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 $NXP)Lic)
F@w; .e!
r = 6.2832 xs$$fPAQ
3*b5V<}'|
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: bF'rK'',
%`Re{%1;
>> x=linspace(-2,3); {28|LwmL
4=zs&
>> y=humps(x); zkQ[<
_VtQMg|u
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 P]_d;\
!"v
ZCiCZ)oc
A4K.,bZ
^J!q>KJs
(i1JRn-f
!vnQ;g5
-yYdj1y;
@mp`C}x"0&
A'WR!*Yt
?pDr"XH~
[K!9xM6
KyvZ?R
?$ r`T]>`2
d0cL9&~qW
NFK`,
>> r=fzero('humps',1.2) $6hPTc<C
1<@SMcj>
r = 1.2995 I.2J-pu}
x&}]8S)
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 ny={OhP-
~Bd=]a$mj
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下:
H}@:Bri
k9|5TLXq?
% m-function, f_1.m cNs'GfD}
G
dgL}"*F
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 6_LeP9s )
H=t"qEp
y=x.^3-2*x-5;
Ucj?$=
d_RgKdR )k
>> x=linspace(-2,3); 5of3&
"
\$^j#o
>> y=f_1(x); r-2k<#^r
sE1cvAw9l
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 8a)AuAi?!
V7ph^^sC}
Uv^\[
)8Va%{j
NE995;
+2tQFV;
5{Cz!ut;tE
!<bwg
E+td~&x
k3\N.@\
N^^0j,
#cbgp;,M{I
1^iBS
*O?c~UJhhV
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 )P$(]{
,Q`qnn&
r = 2.0946 Bq0 \T
0,
UZZJtQt
>> p=[1 0 -2 -5] X/!_>@`7?
O&`.R|v
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 WJ7|0qb
HpwMm^
r = ${Z0@G+
}5 o?7}?
2.0946 pYO =pL^Q
MvVpp;bd
-1.0473 + 1.1359i R>'
%}|v/
"kg`TJf=
-1.0473 - 1.1359i Lu.zc='\
gN&i&%*!
2.5线性代数方程(组)求解 eH&F gmU
yNu_>!Cp5
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 @Z)|_
u\R?(G&
AX=B ^xo<$zn
UA[`{rf
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 dZM^?rq
V35Vi6*p
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 0D-`>_
!^J;S%MB:K
如果将原方程式改写成 XA=B j!;LN)s@?
)7q$PcY
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 7Z-j'pq
7]{g^g.9-
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 9hp&HL)BOa
Uqr>8|t?
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 yzK;
"> uN={Iy
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: /-=fWtA
{>&~kM@
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 De $AJl
ju~$FNt8R
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 b0P3S!E
dBWny&
>> X=A\B % 先以左除运算求解 Z9{~t
[g}Cve#i
X = % 注意X为行向量 MqmQ52HR
Ik G&
-2 ZR.k'
0RR |!zEu
5 Mk!Fy]3
4;`z6\u9-
6 rb?7i&-
MlO OB
>> C=A*X % 验算解是否正确 bQ<qdGa
f}otIf
C = % C=B y]9R#\P/
)'shpRB;1
10 =?sG~
w,{h9f
5 X2w)J?pv
;Iu _*U9)
-1 0b&