2.1微分 |(77ao3
@r=v*hu
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: Q$lgC
v^M
.bloaeu-
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 o7=#ye&P
vn(ji=
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 y 13Y,cz~B
@:%p#$V
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 :HW\awv
J_eu(d[9
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 #WqpU.
$z48~nu@j
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 =Owr
l'@|T
ScCA8JgY
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: Iy8fN"I9D
odsLFU(
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; x*7Q
0Q4i<4 XW
>>S2 = 'sin(a)'; -~=?g9fGm6
MR3\7D+9y
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; iRK&-wn
Sk7sxy<F'
>>diff(S1) @t{`KB+
^
UVlh7w jg
ans=18*x^2-8*x+b #ni:Bwtl{
VqL#w<A%
>>diff(S1,2) `)WC|= w2
U!O"f
ans= 36*x-8 'dvi@Jx
^{{0ajI9C
>>diff(S1,'b') f~t5[D(\Q,
dKJ-{LV
ans= x =Vat2'>+
W87kE?,
>>diff(S2) &qyXi[vw
vTsMq>%,<
ans= V:<Z
;6}> Shs
cos(a) K3xt,g
FFq8LM8
>>diff(S3) <i~=-Z(
^/ZNdwx
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3
-^ R?O
76(/(v.x
>>simplify(diff(S3)) ?<efKs
>J) 9&?
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ?M BOd9
y&L Lx[8^
2.2积分 XImX1GH
V>(>wSR
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 SQT]'
YkF52_^_
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: 3g87i r
p\22_m_wd
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 g&r3;
%:N;+1
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 Xmw%f[Xl
{J*|)-eAw
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 X:m m<4
Vl/fkd,Z
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 F60?%gg
=wznkqyhi
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 y*e({fio_
$CDRIn50
我们示范几个例子: p0Pmmp7r
#O N^6f2
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ${{[g16X
_0o65?F
>>S2 = 'sin(a)'; KM9H<;A
N{H#j6QW
>>S3 = 'sqrt(x)'; GG
%*d]
x}~Z[ bx
>>int(S1)
PckAL
HdRwDW@7=
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x -ND1+`yD
A [_T~+-G
>>int(S2) 2oo\ SmO]
bFVY&
ans= -cos(a) vLpIVNA]]Y
#<d'=R[AK
>>int(S3) ,z~"Mst
l
p|`n
ans= 2/3*x^(3/2) D< 0))r
DD}YbuO7
>>int(S3,'a','b') 7LsVlT[
45H9pY w
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) `SQobH
xAr&sGMA
>>int(S3,0.5,0.6) oG\lejO
r-No\u_
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) a5 pXn v]A
;Kh?iqn^
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 C(vQR~_
fo~>y
ans= 0.0741 <8^ws90Y
DDj:(I?,w
2.3求解常微分方程式 v >s,*
EUW>8kw0
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , OVGB7CB]S
wQ8<%qi"L
condition则为初始条件。 e?pQuF~
N]-skz<v
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 %~[@5<p
X6=o vm
y'=3x2, y(2)=0.5 Js^(mRv=
%<`sDO6Q?
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 vy-q<6T}:p
rDGrq9
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 #'n.az=1
<fHN^O0TS
对应上述常微分方程式的符号运算式为: D^6Q`o
WLiF D.
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') z:=E-+
$xis4/2
ans= x^3-7.500000000000000 yb,$UT"]
;rV+eb)I
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 )4N1EuD6
FiSx"o
&Zjs
<d O~;
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') #kE8EhQZ
'F3@Xh
ans= atan(x^2+1) WWC&-Ni
ihekON":
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') L`(\ud
6 X'#F,M
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) O*lE0~rJ
P9 y+rF.
M(I%QD
*=tA },`\7
2.4非线性方程式的实根 {$>.I
B>c2 *+Bk
要求任一方程式的根有三步骤: "&o"6ra}
eZD"!AT
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, .m.Ga|;
nm_4E8&X
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 pH(X;OC9S
Z?'?|vM
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 *j=58d`n
E)wf'x
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 Qg0%rbE
ZXXJ!9-&+J
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 rjj_]1?K
bjI3xAs~
例一、方程式为 X_!km-{
brG!TJ
sin(x)=0 lM#,i\8Q
?9>wG7cps7
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: 1K(mdL{m5
(?TK P 7
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 5>UQ 3hWo
0g HV(L?
r=3.1416 A%x0'?GU
%dzO*/8cWo
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 M8$eMS1
UZ "!lpg
r = 6.2832 |'I>Ojm
EhW"s%Q
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: q*tGlM@R?
{:3:GdM6
>> x=linspace(-2,3); U| ?68B3
y4$$*oai&
>> y=humps(x); ?\(qA+iP0
_1mpsY<k
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 HF"TS*
\S1W,H|
$ M/1pZ
z30 mk
k+*pg4'
/W .G-|:
=F}qT|K
m )rVzL
qkz|r?R)
q2'}S
A/
)l.uj
-~4r6ZcA
ew~?&=
T>7N "C
ofw&?Sk0
>> r=fzero('humps',1.2) *|y$z+g/
sINf/mv+
r = 1.2995 m*CW3y{n)
yla-X|>
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 Vh2uzG
_0FMwC#DY
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: [\Nmm4
12?!Z
% m-function, f_1.m -84%6p2-
5j$&Zgx51
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 I/!AjB8W4
R9Wr?
y=x.^3-2*x-5; 5S_fvW;
s6Dkh}:d
>> x=linspace(-2,3); V6'u\Ch|
`(`-S
md
>> y=f_1(x); |K;9b-\
+P Dk>PdEt
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 x X[WX#'f
-Eig#]Se3
VzIZT{
6({)O1Z
z5@i"%f
pZlt4
6 C
O5:\
ao=e{R)
C.":2F;-e
'DNxc
TQ:5@1aT
lJ]QAO
u\=
05N6G
X}i2 qv
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 DpeJx
l4.ql1BX@y
r = 2.0946 JZ![:$:
!g6=/9
>> p=[1 0 -2 -5] &JKQH
j~V$q/7S
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 n7G`b'
3c7i8b $
r = OcPgw/
I
S)wP];]`K
2.0946 GnUD<P=I
LyNmn.nN
-1.0473 + 1.1359i 9}a$0H
h
r|*_KQq
-1.0473 - 1.1359i s8 MQ:eAP
rc<Ix
2.5线性代数方程(组)求解 n1JV)4Mv
.9=4Af
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 \'[tfSB
]s^+/8d=
AX=B F[%k;aJ
`''y,{Fs
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 8>
$=p4bf
<82&F
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 q+oc^FD?@
9ZU^([@D
如果将原方程式改写成 XA=B (~{Y}n]s
k'N``.
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 J?X{NARt
p=A,yGDV
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 2gkN\w6zQ
j<~T:Tk
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 D}X6I#U'/
sR83e|4I
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: H
lM7^3(&
E@xrn+L>-
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 }N(gP_?n
3@ Fa
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置
kSc~gJrne
4ytdcb
>> X=A\B % 先以左除运算求解 `{h)-Y``
z,E`+a;
X = % 注意X为行向量 {47l1wV]
hDSf>X_*_G
-2 GH-Fqz
IvkYM`%
5 GiM-8y~
#\}FQl6
6 7=u
Gf$/
V>Z4gZp5sc
>> C=A*X % 验算解是否正确 NyRa.hgZ;
~CV.Ci.dG
C = % C=B PWx%~U.8~j
+a|Q)Ob
10 }v|_]
Nb
!i_@m%s
5 Q4LPi;{\
tN\I2wm
-1 KN657 |f
0x5Ax=ut
>> A=A'; % 将A先做转置 F@q9UlfB-
,lvG5B\0
>> B=[10 5 -1]; ^t7u4w!
uI?Z_
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 \n,L600`q
n
YUFRV$
X = % 注意X为列向量 ~@l4T_,k
V,Nu!$)J
10 5 -1 BgT ^
CR9wp]-Vd
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解