2.1微分 'ySljo*It
z wL3,!t
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: -B1YZ/.rz"
Ys-Keyg
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 e(yQKwVD
z,{e]MB)M
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 #(%t*"IY;
~{L.f94N
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 yjEI/9_
fokwW}>B[f
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 #B @X
5x8'K7/4.
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 Yd'H+r5b
07x=`7hs}
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: %
f2<U;ff
"7Eo>g
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; %O#)Nq>mp
,e9CJ~a
>>S2 = 'sin(a)'; ?75\>NiR
(/"thv5vT{
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; g b -Bxf
W*k`
>>diff(S1) &Hv;<
9Z&?R++?
ans=18*x^2-8*x+b YgCc|W3{
[?-]PZ
>>diff(S1,2) cV-i*L4X
Oqpp=7
ans= 36*x-8 $[,l-[-+
Qi_&aU$>lM
>>diff(S1,'b') #wr2imG6
,Ij=b
ans= x D%-{q>F!gf
Qh\YR\O
>>diff(S2) )S^z+3p
e1Ob!N-
ans= TMK'(6dH
Vu}806kB
cos(a) qgtn5]A
PdT83vOCE
>>diff(S3) @0$}?2
O@s{uZ|A6
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 Q:mZ" i5
RU6KIg{H
>>simplify(diff(S3)) [g#s&bF
[OzzL\)3l
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 lzEb5mg
[[w2p
2.2积分 | H8^
q/$GE,"
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 <;%0T
xK|U
t:>x\V2m
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: a5a1'IVq
P*YK9Hl<
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 =L"^.c@
i2*d+?Er
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 H'EY)s Hi
u,eZ6
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 z>G;(F2
qIh #~
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 Z'Q*L?E8M
i}B;+0<drx
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 r0\?WoF2C
}p=g*Zo*C;
我们示范几个例子: EWA;L?g|A
)Vg2Jix,]
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; If;R?j0;Q
0 " y%9
>>S2 = 'sin(a)'; JS!*2*Wr
\5~;MI.Sq
>>S3 = 'sqrt(x)'; dAL3. %
?g3 ]~;#
>>int(S1) ]9*;;4Mg
Hd%!Nt\u
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x 'z5h3J
L,?/'!xV
>>int(S2) $w)~xE5;
.%'Z~|K4
ans= -cos(a) {oUAP1V^
b{M}5~e=B
>>int(S3) OQScW2a&
FW#P*}#
ans= 2/3*x^(3/2) 44HiTWQS?l
K"\MU
>>int(S3,'a','b') &cu!Hx
jJBnDxsA
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) YTQps&mD.
EB!daZH,
>>int(S3,0.5,0.6) [
]^X`R
KzphNHd
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) u[")*\CP
=X-Tcj?3g
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 yfEb
nWJ:=JQ i"
ans= 0.0741 zE|Wn3_sd
ufrqsv]=
2.3求解常微分方程式 ghAi{@s$)
!VP %v&jKm
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , zN~6HZ_:^
oY=1C}
condition则为初始条件。 bA@P}M)X
R-rCh.
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 }$kQs!#
?WpenUWk
y'=3x2, y(2)=0.5 1ibnx2^YB
!MVj=(
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 <G~>~L.E
p'f%%#I
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 r-IT(DzkD
g=l:cVr8y
对应上述常微分方程式的符号运算式为: u6Je@e_!
W3rl^M=r
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') &|Np0R
W^\d^)
ans= x^3-7.500000000000000 Q@-ovuxi
gSt`%
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 X!tf#tl
h}L}[
@5VV|Wt=
<>Y?vC
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') j1-,Sqi
ZA(T
ans= atan(x^2+1) %ow^dzW
"TS
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') '+Xlw
a9U_ug58
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) 'ZP)cI:+X
;V5yXNQ
Vj?DA5W`'
r0]4=6U
2.4非线性方程式的实根 |=dC
)Azs
-JT/9IQ
要求任一方程式的根有三步骤: nFRsc'VT
o0It82?RN
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, mQ~:Y
NbRn*nb/T
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 nBItO~l
$s5a G)?7
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 i38[hQR9a
Q.U$nph\%d
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 M*eJ
JY
s{bdl[7
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 3)=c]@N0
@Xp~2@I=ls
例一、方程式为 ``U^COD
a->3`c
sin(x)=0 bGF7Zh9
dt}_D={Be
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: E:`v+S_h
O$u"/cwe*
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 t2HJsMX
6NWn(pZ]p
r=3.1416 R(Kk{c:-@
5ExDB6Bx@y
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 ufV!+$C)is
txgQ"MGA%
r = 6.2832 Q Fm|-j
_ *f
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: ?:{sH#ua
^5GW$
>> x=linspace(-2,3); +HT1 ct+dI
a|7a_s4(
>> y=humps(x); M=qb^~ l
jnB~sbyA
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 !TM*o+;
q$(5Vd:
#|GSQJ$F)`
'G\XXf%J
6z0@I*
Vwk #qgnX
w;UqEC V
0|&\'{
0& >H^
94skkEj
o2z]dTJ}o
G;NF5`*4mc
]?O2:X
j>uj=B@
;W>Cqg=
>> r=fzero('humps',1.2) [r+ZE7$2b"
>_OYhgs1w
r = 1.2995 ,)PiP/3B
WrPUd{QM
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 6 DG@?O
9O{b]=>wq
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: fXI:Y8T
Q+4tIrd+
% m-function, f_1.m X@@8"@/u|*
.itw04Uru
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 8
C [/dH
BH]Yn u&o
y=x.^3-2*x-5; ^7zu<lX
1f",}qe;
>> x=linspace(-2,3); !Z
VU,b>
xGTP;NT_H
>> y=f_1(x); kmzH'wktt
lj+u@Z<xA
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 V%$/#sza
pym!U@$t
4DZ-bt'
"-@[R
Z{&cuo.@<]
SBA?^T
CLvX!O(~
|5Xq0nvCe
>pUtwIP
*m?/O}R
{( r6e
q6YX M
&0f5:M{P
\&U>LwZd?
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 q,
O$ %-70
:y7c k/>
r = 2.0946 %|s+jeUDn|
2UGsYQn
>> p=[1 0 -2 -5] 2eMTxwt*S
fb^fVSh>
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 MEB it
<b,~:9*?
r = pz"0J_xDM
x.S3Zi}=
2.0946 ~69&6C1Ch
|sJSN.8
-1.0473 + 1.1359i &b:1I7Cp*
.W js~0c
-1.0473 - 1.1359i 13taFVdU
kc0E%odF.v
2.5线性代数方程(组)求解 #%DE;
s[UHe{^T
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 T=ev[ mS
6j
~#[
AX=B UX7t`l2R
dAuJXGo
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 G^ :C+/)
K6R.@BMN
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 9T<x&
KCs[/]
如果将原方程式改写成 XA=B #ep`nf0x
~@}Bi@*
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 yqPdl1{Qr=
]q4rlT.i
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 A0Qb 5e
\-g)T}g,I
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 V:joFRH9
(!:,+*YY
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: WPQ fhr#|
s7F.sg
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 $&=S#_HQS
5 aCgjA11
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置
094o'k
+U3DG$
>> X=A\B % 先以左除运算求解 'tH_p
')cMiX\v
X = % 注意X为行向量 F%RRd/'
[TmIVQ!B
-2 U>Slc08N
iUN Ib
5 #"G]ke1l$
e~=;c
6 9P+-#B
:/nj@X6
>> C=A*X % 验算解是否正确 'DCTc&J['
%WjXg:R
C = % C=B ?82xdpg
Wi)_H$KII
10 |Y,b?*UF
.(cw>7e3D
5 Fww :$^_ k
b0Ps5G\ u
-1 ,?^ p(w
k5'Vy8q
>> A=A'; % 将A先做转置 sYI-5D]
0Qf,@^zL*
>> B=[10 5 -1]; [M=7M}f;
{8W'%\!=
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 V Y7[)
I 7{T
X = % 注意X为列向量 Pd_U7&w,5
[1Qo#w1
10 5 -1 ivJ@=pd)B
SE1=>S%p
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解