2．1微分 T bE:||r?^
/jD-\,:L}
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： }GHxG9!z
UWG+#,1J.\
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 00vBpsZj2;
qFR dg V>8
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 z>vtEV))
va{#RnU
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 v%{0 Tyk
Ef7:y |?
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 ]j.k?P$U}
G`]w?Di4
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 PE@+w#i7*
4 \ $3
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： X} JOX9pK
OOy}]uYF`
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; =_=*OEgO]
Ya4?{2h@+
>>S2 = 'sin(a)'; :.IN?X
R"6;NPeo
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; 8<PKKDgbfd
QocQowz
>>diff(S1) 2:v <qX
~a+NJ6e1
ans=18*x^2-8*x+b y8s=\`~PR
LPE )
>>diff(S1,2) F RyPeZR
oNRG25
ans= 36*x-8 *v #/Y9}
]W9B6G_
>>diff(S1,'b') ] A:( L9
Pern*x9$
ans= x ,ECAan/@
i2F(GH?p[
>>diff(S2) T)\NkM&
INNAYQ
ans= &IQ%\W#aY
g6 ' !v
cos(a) $p 6N|p
q.oLmX
>>diff(S3) y lL8+7W
3VP $x@AV
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 L$JI43HZ
W);W.:F
>>simplify(diff(S3)) 9m!7|(QV
QrS$P09=\
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ~iTxv_\=6u
F' BdQk3o
2．2积分 sd!sus|( R
84`rbL!M
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 ^5)_wUf
x;U|3{I o
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： jH0Bo;
yh!B!v'
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 &va*IR
~I$ }#
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 `p|[rS>
#]zhZW4
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 +qE']yzm!
&z k sRX
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 W78o*z[O
AN10U;p/O
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 #:
hVF/
Tk+DPp^
我们示范几个例子： on5 0+)uN
BTs0o&}e
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 9.-47|-9C
x u,htx
>>S2 = 'sin(a)'; 1f;or_f#k?
F@<MT<TRf
>>S3 = 'sqrt(x)'; ;Ih Pvff
3ZN>9`
>>int(S1) u\5g3BH
+ (=I8s/
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x Z:^3Fm->+
$3:X+ X
>>int(S2) Bm<^rhJ9
F(0Z ]#+
ans= -cos(a) }} # be
^H'kH l'F
>>int(S3) "G kI5!
xN "wF-s4?
ans= 2/3*x^(3/2) `oPLl0
-pX|U~a[
>>int(S3,'a','b') x\]z j!
w .l|G,%=
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) `:3&@.{T(
WV kG 2
>>int(S3,0.5,0.6) &%:*\_2s
- fQX4'3R
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) 3.~h6r5-
x
Ty7lfSe
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 N1s.3`
#'iPDRYy
ans= 0.0741 c.-cpFk^L&
oB}K[3uB:t
2．3求解常微分方程式 '2xcce#
>F|qb*Tm7
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， &/D OO ^
o oDdV
>
condition则为初始条件。 8.-S$^hj~6
&58 {
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 rFO_fIJn o
;x16shH
y'=3x2, y(2)=0.5 K+-z Y[3
{70 Ou}*
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 h-,?a_
' DeW<Sa~
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 WN1Jm:5YV
" Ac~2<V
对应上述常微分方程式的符号运算式为： <oZ(n g@X
i.F8
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') i<Q&
D\Pv
iA&oLu[y3
ans= x^3-7.500000000000000 !^]q0x
qK A_ A%
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 j7,13,t1-
F6Dxv yANr
MN\i-vAL8
p!QR3k.9s
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') sl% #u9r=
X;(oz]tr$
ans= atan(x^2+1) Fdr*xHx$P
gU u&Vy\
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') l$=Gvb
i'Wcf1I-=
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) Q|Nzbmwh
JR!Q,7S2!N
R/ Tj^lM
:| zp8 |
2．4非线性方程式的实根 m'3OGvd
|1lf(\T_
要求任一方程式的根有三步骤： xSx&79Ez<*
fJvr+4i4k
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， J-b~4
Kq8 (d`g}
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 Y' 2-yB
3_C98Cl E
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 F9v)R #u~
=obt"K%n
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 ?ISI[hoc
=A$Lgk>|
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 Bl=nj.g
)nJzSN=>$
例一、方程式为 =jsx (3V
YGfA qI
y
sin(x)=0 h\ /^Aa0
(_s;aK
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： .mC~Ry+t
~w a%fM
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 -hQ96S8
<zfO1~^
r=3.1416 b=V)?"e-
j kZ_c!
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 mgk64}K [n
r(PJ~8)(=
r = 6.2832 9cl{hdP{
7qW.h>%WE
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： Gs^(YGtU
O)Xd3w'
>> x=linspace(-2,3); M P6 \r
}~myf\$
>> y=humps(x); q2[+-B)m
un.G6| S
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 5wT' ,U"+
;Gjv9:hUn
s'R~ r
qJ#L)
0Ei\VVK>
#&;m<%
iSnI Bs9\
}K#iCby4
rd|@*^k
(3 )C_Z
THrc
H
xmCm3ekmpC
|U8>:DE l
c2tEz&=G
HY*l 4QK
>> r=fzero('humps',1.2) ~,(0h:8
\W3+ VG2cA
r = 1.2995 oA(. vr
i n[n A a
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 fs]#/* RR
=YS!soO
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： *O"%tp6
rU/-Wq` B
% m-function, f_1.m E#yCcC!wMY
^4n2
-DvG
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 dbf^A1HI
u i s:\Uc
y=x.^3-2*x-5; 9$B)h rJo
@ef//G+Z"
>> x=linspace(-2,3); P^'>dOI0w
|HKHN? )
>> y=f_1(x); | U;w !0
#o(?g-3
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 ~$ cm 9>
GV `idFd
I v 80,hW
E9~&f^ f
$i1>?pb3
,*9#c*'S
Yke<Wy 1
e8WPV
aufcd57
g7E`;&f
g4BwKENM
Z7K!"I
LbtlcpF*~5
FvtM~[Q
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 S4@117z5
>X@.f1/5X
r = 2.0946 $=;bccIob
LN,$P
>> p=[1 0 -2 -5] ;DT"S{"7
ThT.iD[
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 Q!BkS=H30K
+#i ,87
r = P~b%;*m}8
X:zyzEhS
2.0946 y$;zTH_6j
YV2pERl
-1.0473 + 1.1359i IArpCF/"8
h:US]ZC^Z
-1.0473 - 1.1359i qZyt>SAx
A7I8Z6&
2．5线性代数方程（组）求解 1 *eWvYo1
Z;dw n~Tw
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 MRxo |A{
52q!zx E
AX=B 2yVGE p^
mtHi9).,y|
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 Ri%Of:zZ
CM@"lV_
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 s>"WQ|; 6
n=#[Mi $ Y
如果将原方程式改写成 XA=B st1M.}
":ws~Zep
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 sov62wuqU
sV Z}nq{
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。
hE?GO,
l*V72!Mv
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 s3fG X|;
u0$5Fd&X
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： Qg8eq_m(
`(w kqa
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 0 ^-b}
07HX5 Hd
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 ]T28q/B;k
6b1 Uj<
>> X=A\B % 先以左除运算求解 Q=9VuTE
cR@}
X = % 注意X为行向量
=}1 ~ ~
a} I z
-2 "M VN /Gl
H"Em|LX^
5 rO2PbF3
&`9bGO
6 Yh!\:9 @(
9i xnf=$Jp
>> C=A*X % 验算解是否正确 *Sp O|*'
rt4|GVa
C = % C=B N '1 [t
v(WL 3[ y;
10
61 HqBa
kv`3Y0R-"
5 %>QSeX
]`+"o[
-1 i OA3x 8J
JO;` Kz_$
>> A=A'; % 将A先做转置 /)HEx&SQmZ
B\ ~3p4S
>> B=[10 5 -1]; r;s3( @[,@
i _Q4bhVj
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 b9!J}hto,
pz z`4VS:
X = % 注意X为列向量 ;R-Q,aCM}
'"NdT7* +
10 5 -1 l[ OQo|_
Ffqn|} gb
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
