2.1微分 `pS9_NYZ}
mzKiO_g}
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: XS{Qnx_#
~2N"#b&J
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 1Z2HUzqh.
({)+3]x
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 9uO 2Mm
.},'~NM]
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 su(1<S}
gp?uHKsM
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 EwT"uL*V;
[Ek7b*
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 QXFo1m
$G+@_'
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: vF+7V*<
]Sz:|%JP1
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; )[IC?U:5I
RJ&RTo
>>S2 = 'sin(a)'; MUc$j&
7"x;~X
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; rfJz8uF%
j0aXyLNX
>>diff(S1) -20bPiM$A
KC6.Fr{
ans=18*x^2-8*x+b b3[!V{|
9T9!kb
>>diff(S1,2) w3_>VIZJl
3M7/?TMw{6
ans= 36*x-8 fOGFq1D
itP,\k7>d
>>diff(S1,'b') qgHWUwr+n
KYI/
ans= x $GcqBg-Hi
C2I_%nU Z1
>>diff(S2) ~jk|4`I?T
p)-^;=<B3
ans= mdg8,n
ZJJY8k `
cos(a) ..5CC;B
f~R(D0@
>>diff(S3) tSUEZ62EY
^
VyKd
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 exUFS5d
[l??A3G
>>simplify(diff(S3)) lb3bm)@:
RSRS wkC
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 #gN&lY:CFn
,w4(kcg%iQ
2.2积分 T3<4B!UB&
7xlkZF
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 xLajso1g69
U'_Q>k
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个:
Pmx-8w
J]'zIOQ
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 f'RX6$}\1X
^[`%&uj!g
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 h,N?Ab'S
V1zmG y
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 Dx?,=~W9
O=t_yy
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 Nh|uO?&C6
uH^-R_tQ
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 &r/Mi%
eo?bL$A[s
我们示范几个例子: t=iIY`Md%
O0v}43J[
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ]F~dlH1Wp
?l{nk5,?-Y
>>S2 = 'sin(a)'; t3_O H^
M|h3Wt~7
>>S3 = 'sqrt(x)'; %sP*=5?vA
H*R"ntI?w
>>int(S1) >tr}|>
q3!bky\
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x B9z?mt'|r)
(?c"$|^J
>>int(S2) ZMlm)?m
+ &Eqk
ans= -cos(a) j,eo2HaL
&p@O_0nF
>>int(S3) ZLejcYS
#c!lS<z
ans= 2/3*x^(3/2) 03Ycf'W
d7upz]K9g
>>int(S3,'a','b') "KpGlY?^
/([kh~a
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) _B<X`L
=
k y7Gwc
>>int(S3,0.5,0.6) kTgEd]^&D
x 9fip-
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) 1Pu~X
\sO
8nV+e~-w
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 <]2w n
T8$y[W-c
ans= 0.0741 R-$!9mnr
CD~.z7,LC
2.3求解常微分方程式 Svmy(w~m
99QU3c<.
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , U5de@Y
/J;Kn]5e
condition则为初始条件。 8l`*]1.W<
(\x]YMLH
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 qX{+oy5
VI86KJu
y'=3x2, y(2)=0.5 sO@Tf\d
xb8!B
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 NBGH_6DROw
W'TZ%K) I
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 kxv1Hn"`{E
}|=|s f
对应上述常微分方程式的符号运算式为: |CyE5i0
sPIn|d
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') a:w#s}bL
iH@UTE ;
ans= x^3-7.500000000000000 > ~O.@|
_t^&Ah*
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 <LiPEo.R
RA
L~!"W
dy[X3jQB
P*j|.63
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') wibNQ`4k
D&y7-/
ans= atan(x^2+1) 0g8NHkM:2a
gB33?
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') eaU
"w<#^d_6
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) W"{N Bi
BI@[\aRLQ
|FRg\#kf%
p!%pP}I
2.4非线性方程式的实根 FS.L\MjV]U
xAm6BB
c
要求任一方程式的根有三步骤: Q3?F(ER@
Nh+ H 9
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, #RLt^$!H
X:{!n({r=
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 f$QNg0v
_+MJ%'>S
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 :ShT|n7
Ow,b^|
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 FS1z`wYP
w0unS`\4
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 9Mcae31
lyhiFkO
iH
例一、方程式为 Wd
ELV3
Tlr v={
sin(x)=0 1o>xEWt:0K
6Kz,{F@
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: ~gt@P
u ^RxD^=L
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 M',?u
%;!.n{X
r=3.1416 _q^E,P
FpU>^'2]
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 DtnEi4h,
xgtR6E^k
r = 6.2832 /Z4et'Lo
3Zh)]^
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: ;dhQN}7
Cgc\
ah
>> x=linspace(-2,3); zbPqYhJzA
Z3!`J&
>> y=humps(x); 9N3eN
Rf1x`wml
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 Xn
;AZu^'R
)`D:F>p*
R G`1en
FN73+-:n:j
@KAI4LP
IE~ |iQ?-
?
=+WRjF
B>.qd
T[j,UkgGo
dgePPhj
?bu>r=oIO]
[0e_*
{l>hMxij
>o,TZc\
GPkpXVm
>> r=fzero('humps',1.2) ,Y48[_ymm
Y
nZiTe@
r = 1.2995 YK~%x o
H>@+om
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 n(]-y@X0_
uW3!Yg@
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: ,7b[!#?8
>F&47Yn
% m-function, f_1.m 7VI*N)OZ8
S21,VpW\
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 mj@13$=
N}YkMJy
y=x.^3-2*x-5; #R
RRu2
}o{(S%%
>> x=linspace(-2,3); 8HdAFRw
2f_:v6
>> y=f_1(x); ;jTN| i'
3oG,E;(
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 =mmWl9'mJ
!0E&@X:-
RCLeA=/N@0
'A[dCc8O
N)>ID(}F1
t&Og $@
A.w:h;7
L4?IHNB
H 7
^/q7
=E{`^IT'R
k-""_WJ~^
2VCI 1E
&]-DqK7
R_xRp&5
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 Jpo(Wl
9Lfv^V0
r = 2.0946 Fea(zJ_
FNId;
>> p=[1 0 -2 -5] mlS$>O_aX
Q)z8PQl O
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 ]"1DGg \A
eKqk= (
r = $,fX:x
f'3$9x
2.0946 -o
EW:~y
$
o#V#
-1.0473 + 1.1359i 9@)O_@=
Q.c\/&
-1.0473 - 1.1359i N$:8,9.z
B^jc3 VsR
2.5线性代数方程(组)求解 -`TEVS?`l
$]2vvr
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 O!bOp=
^L&iR0
AX=B `x%>8/
*siFj
CN<
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 5d!-G$@
S?BG_J6A7
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 tIS<U(N;
Nu~lsWyRI5
如果将原方程式改写成 XA=B 0Z]!/AsC
VTHH&$ZNq
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 ]L}dzA?:
|)/aGZ+
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 4]}'Hln*U
yyy|Pw4:Z
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 !m?-!:
i8HTzv"J
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: NSA-}2$
}?v )N).kW
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 ;@E$}*3[>V
}|5Pr(I
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 fL7xq$K
>t_6B~x9
>> X=A\B % 先以左除运算求解 dzrio-QU~
! #2{hQRu
X = % 注意X为行向量 Y% 5eZ=z
4)o
-2 b<gr@ WF
SGlNKA},A
5 vd4ytC
cD'V>[h
6 |*tp16+6
Z0r?|G0
>> C=A*X % 验算解是否正确 W#3Q ^Z?
gCY';\f!
C = % C=B "@,}p\
]~hk6kS8Q
10 I`4*+a'q&
cDH^\-z
5 s.NGA.]$
a-L;*
-1 G+|` 2an
hTi$.y!k
>> A=A'; % 将A先做转置 K:30_l<
wz ~d(a#
>> B=[10 5 -1]; 001FmiV
vTw>JNVI
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 t |A-9^t'!
)U{Qj5W+F
X = % 注意X为列向量 RQu(Wu|m.
_/5H l`
10 5 -1 QWHug:c
d <JM36j?
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解