2.1微分 !6@ 'H4cb=
n;Q8Gg2U
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: =6"5kz10
qMA-#
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 kxJ[Bi#
5,g +OY=\
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 %'Q2c'r
7')W+`o8eL
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 <c:H u{D
!2Z"Lm
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 =WBfaxL}
( }Bb=~
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 />/e
Gn_DIFa
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: z ynu0X
&>E gKL
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 4KnBb_w
Y?3tf0t/
>>S2 = 'sin(a)'; 1EEcNtpub]
OE9,D:tv
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; FO:L+&hr?>
&} `a"tYr
>>diff(S1) 2A[hMbL
LdN[N^n[H
ans=18*x^2-8*x+b |iUC\F=-
Jou*e%
>>diff(S1,2) %A=/(%T>
IDFzyg_
ans= 36*x-8 EwA*
oW6Hufu+o
>>diff(S1,'b') yNP4Ey
[H>u'fy:C
ans= x =CZRX'
+yN
dIlpo0; F
>>diff(S2) r]Wt! oHm5
C&MqH.K
ans= t'@mUX:-A
/Xb4'Qj
cos(a) /bB4ec8!
:TG;W,`.V
>>diff(S3) 3Z=yCec]
?X@[ibH6
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 '5De1K.\`
AJxN9[Z!N
>>simplify(diff(S3)) Opc szq5n
MK)}zjw
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 \&;y:4&l8
j2UQQFh
2.2积分 UGy3B)
i\ X3t5
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 #?>)5C\Hqy
dB0#EJaE
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: %\HPYnIe
^Z?m)qxvB
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 d$3md<lIB
m{ !$_z8:
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 ~1wt=Ln>
sIgTSdk
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 dR1IndZl
=-fM2oiI:
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 f(D'qV T{
v#%rjml[
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 x"e;T,c
J'X}6Q
我们示范几个例子: Sl,DZ!
@Xl(A]w%!
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 'WP~-}(
#xGP|:m
>>S2 = 'sin(a)'; vHcl7=)Q
bHnKtaK4c
>>S3 = 'sqrt(x)'; if|5v^/
G&{yM2:E
>>int(S1) l!88|~
PKrG6%
W+
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x >j hcSvM6
:p/=KI_
>>int(S2) %Tp
k1
`mz}D76~#
ans= -cos(a) ue@/o,C>
GEc-<`-
>>int(S3) 18rV Acj
y,x 2f%x
ans= 2/3*x^(3/2) (c0L
H
;QXg*GNAv$
>>int(S3,'a','b') cLf90|YFp
49=pB,H;H
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) Q^2dZXk~
5_E8
RAG
>>int(S3,0.5,0.6) }vZf&ib-
-^m?%_<50l
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) HZRFE[ 9nb
)Su>8f[?e
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 )y*&&q
ZL<X*l2
ans= 0.0741 x;u#ec4
g:Qq%'
2.3求解常微分方程式 &@oI/i&0B
zU&Iy_Ke.
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , @iuX~QA[9
(x2?{\?
condition则为初始条件。 h#r~2\q4ei
^t4^gcoZ4Z
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 g@>llve{
lu"0\}7X
y'=3x2, y(2)=0.5 :VlA2Ih&q
u>lt}0
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 Eu(QeST\
. J O3#
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 md+pS"8o;
}jCO@v;
对应上述常微分方程式的符号运算式为: 90W=v*
K^fs#7
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 6}E>B{Y
.yy*[56X
ans= x^3-7.500000000000000 =fRS UtX
,:(s=JN+
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 {UP[iw$~
d9S/_iCI
(7G4 v
A|f6H6UUx
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') rah"\f2
iuY,E
ans= atan(x^2+1) .ifz9jM'
VNWB$mM.2
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') iZn0B5]ikj
^>l <)$s
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) Mn
,hmIz
3XQa%|N(
V>QyiB
n3~axRPO
2.4非线性方程式的实根 bp9RF
d{
3!p`5hJd
要求任一方程式的根有三步骤: $}WT"K
B.G6vx4yp
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, !}h)
|
gaz7u8$A=
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 I^k&v V
c@[Trk m
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 %9>w|%+;U+
,A` |jF
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 95'+8*YCY
=8 @DYz'
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 8HKv_vl
e&
`"}^X;I
例一、方程式为 6m?<"y8]
!lfE7|\p
sin(x)=0 0`S{>G
"G@K(bnHn
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: c0Ih$z
s_y8+BJaV
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 htbE
Q NW
fPD.np}
r=3.1416 X,w X)9]J
W_M#Gi/AL
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 0V3dc+t)O
yq;[1O_9C
r = 6.2832 VrRF2(Kn?
&YY`XEG59O
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: rB".!b
flPS+
>> x=linspace(-2,3); ,]1f)>
lW|=rq-|
>> y=humps(x);
iKo2bC:.&
4E.9CjN1>
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 2|bt"y-5r
<?B3^z$
;'{7wr|9
5.VPK 338A
m'}`+#C%)
:-jbIpj'
}MOXJb @
5 I_ :7$8
F 6sQeU
t)W=0iEd9
#@DJf
SWzqCF
;&=jSgr8
-*mbalU,J
/lECgu*#69
>> r=fzero('humps',1.2) crv#IC2
`\VtTS
r = 1.2995 fd *XK/h
X:s~w#>R
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 8:& !F`o
$CMye; yL
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: i_N8)Z;r
Kfb(wW
% m-function, f_1.m "T=j\/Q
AwG0E`SU
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 8i[TeW"
@H`jDaB9
y=x.^3-2*x-5; pZS]i
"
g "Du]_,
>> x=linspace(-2,3); X8m-5(uW
[4#HuO@h
>> y=f_1(x); ~4+Y BN
_fk}d[q0
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 7u;N/@
E\D,=|Mul
pv0|6X?J"
RTlC]`IGT
b/[X8w'VP
p+~Imf-Jk
^^}htg
2o(O`;z
"=DQ { (L
cz IEkm
h^rG5Q
ykbfK$jz
?<4pYEP
JfkEJk<
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 OD7A(28
&*/= `=:C8
r = 2.0946 \\ItN
TY%c`Q5
>> p=[1 0 -2 -5] Fq~Zr;A
=KQIrS:
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 %' WC7s
Pteti
r = cr -5t4<jK
! xM=7Q
k
2.0946 !x-__[#
=_=%1rI~
-1.0473 + 1.1359i KKk~vwW
u\ 7Y_`8
-1.0473 - 1.1359i [?N,3
j xI;clr
2.5线性代数方程(组)求解 iC
hIW/H
to).PI?
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 G HQ~{
#tg\
bb
AX=B <EqS
,cO^
K?,?.!ev
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 rr,A Vw
}=f\WWJf0
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 8Ys)q x>7'
kVZs:
如果将原方程式改写成 XA=B fr`#s\JKw
<LH6my
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 $W}:,]hoj
0 ;LF>+fJ
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 8aHE=x/TL
>!Y#2]@}o
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 *VXx\&
*>?N>f"
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: PdVY tK%
pvl];w
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 !L;_f'\)6
VTR4uT-
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 'wFhfZB1!B
mI<s f?.
>> X=A\B % 先以左除运算求解 "4xo,JUf
XBX`L"0
X = % 注意X为行向量 4/{pz$
lE%KzX?&
-2 Chl^LEN:
13 L&f\b
5 jQ7;-9/~N
%VB4/~ "
6 +fM8
,)U%6=o#}
>> C=A*X % 验算解是否正确 C8v
.nEMd/pX
C = % C=B @$kzes\
S=kO9"RB]
10 ;Q&9t
fup?Mg-
5 #ZP F&u"
/C'_-U?
-1 |Wck-+}U
5`&@3
m9/
>> A=A'; % 将A先做转置 I+W,%)vb
?z|Bf@TJ[+
>> B=[10 5 -1]; W\0u[IV.x
#a@ jt
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 L Y4bn)Qf
M`Wk@t6>
X = % 注意X为列向量 -#;ZZ\fdj
_IEbRVpb
10 5 -1 JXww_e[
!S7?:MJ?p\
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解