2.1微分 :;w#l"e7<
wu0q.]
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: Wfsd$kN6{
d*LW32B@
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 !{b4+!@p
;esOe\zjE
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 (J.k\d
Pk`3sfz
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 6P02=
1P G"IaOb
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 WIw*//nw
wAc;{60s]
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 X?'pcYSL
!d1a9los
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: ZQ_AqzT3D
yVyh\u\
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; a" L9jrVrw
ggy9euWV
>>S2 = 'sin(a)'; h*\u0yD)
[$z-
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; ~P'i
/*:
eaDG7+iS
>>diff(S1) @el
]&X}C{v)G
ans=18*x^2-8*x+b )Cd.1X8
\%&eDE 0
>>diff(S1,2) N{uVh;_
!1/F71l DX
ans= 36*x-8 'i4L.&
bP&1tE
>>diff(S1,'b') ]#vi/6\J
dd*p_4;
ans= x xcH&B%;f
[gj>ey8T
>>diff(S2) U+&Eps&NI
[OR"9W&
ans= bbT$$b-
iWIq~t*,H]
cos(a) kq@~QI?9
Pk;YM}
>>diff(S3) \jx3Fs:Q
#@F.wV0
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 ?/8V%PL~$
J|`.d46
>>simplify(diff(S3)) Z}.ZTEB
#\\|:`YV
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 1:J+`mzpl
I
moxg+u
2.2积分 8#/y`ul
45WJb+$
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 ilAhw4A
_tE55X&
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: JX{_,2*$
nkf7Fq}
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 9*r^1PRc
bAwKmk9C
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 {(I":rt#
: [7O=[pk
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 KD?b|y@
Udq!YXE0
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 mi[8O$^iJ
h`iOs>
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 ;%;||?'v
Xt
+9z
我们示范几个例子: GxEShSGOE
m=SI *V
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; <>728;/C
`46z D
?
>>S2 = 'sin(a)'; nv\K!wZI=b
7Gy:T47T\@
>>S3 = 'sqrt(x)'; ?'_6M4UKa
AQmHa2P
>>int(S1) 216$,4i
O8SE)R~
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x {`,)<R>}
ZJ.an%4
>>int(S2) u@CQ+pnf:(
b` va\'&3
ans= -cos(a) Qj*.Z4ue
*QV"o{V
>>int(S3) 'C]Yh."u
A\#z<h[>
ans= 2/3*x^(3/2) ncMzHw
L#zD4L
>>int(S3,'a','b') ~clX2U8u`
6?;z\AP&
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) cnI5G!
_^NyLI%
>>int(S3,0.5,0.6) 3bYjW=_hA
1GqSY|FSGp
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) B(k tIy
4QTHBT+2`
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 f 9Kt>2IN
eLnS1w2
ans= 0.0741 n,2
*mbzK*
2.3求解常微分方程式 CS~_>bn
7ej u%d
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , o+7)cI
Ikw@B)0}
condition则为初始条件。 8|)^m[c&
F"UI=7:o
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 9@yF7
JWI Y0iP
y'=3x2, y(2)=0.5 "RN]
@p#m
&lLfVa-l
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 0%dOi
ko
23WrJM!2N
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 ]%FAJ\
qz{9ND|)
对应上述常微分方程式的符号运算式为: ir/uHN@
f&mi nBU
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 6-fv<Pn
)*>wa%[-q
ans= x^3-7.500000000000000 ninWnQq
`Y5LAt:
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 f!`?_
[&PF ;)i
`SsoRPW&$
}#7rg_O]>
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') 66,(yxg
UaF~[toX
ans= atan(x^2+1) Z|%h-~
75zU,0"j
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') !@F { FR
hHU=lnO
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) X<$Tn60,
oDMPYkpTu
^`'\eEa
%DYh<U4N
2.4非线性方程式的实根 VMRfDaO9
Y=O+d\_W
要求任一方程式的根有三步骤: T\uIXL?3
abQ.N
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, zMFTkDY
E|"SMA,
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 94BH{9b5
"TZY)\{L
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 +w^,!gA&
i[IFD]Xy!j
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 G?'^"ae"Z
0Eb4wupo
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 t{jY@JT|
:LY.C<8
例一、方程式为 L)J1yw
'E3T fM
sin(x)=0 <VKJ+
MmN{f~Kq9
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: ;v@ G
tfGs|x
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 5 ix*wu`,
PJC(:R(j
r=3.1416 LJ/He[r|[
.iRKuBM/
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 IDH~nMz
>] 'oN
r = 6.2832 'NhQBk
wWb>V&3
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: Hyy b0c^=
_w4G|j$C
>> x=linspace(-2,3); |VWT4*K
at_*Zh(
>> y=humps(x); v"o"W[
<J&S[`U!
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 s Z[[ymu8
~{/M_
=
wS*r<zj
b?i+nhqI
d^aVP
o{sv<$
ls^Z"9P
Snf_{A<
8~C_ng-wn
H~+A6g]T
e
c&Y2
>>P5 4|&
S\).0goOW
U"k$qZ[
P"_/P8
>> r=fzero('humps',1.2) 5)!g.8-!
;|5-{+2 U%
r = 1.2995 5[
zN M
;t{q]"? W
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 u1%URen[x
'[{<aEo
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: H{*Dc_
6eV#x%z@v'
% m-function, f_1.m 7&ED>Bk
A`Z/B[)
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 eO!9;dJ
]y0Y (
y=x.^3-2*x-5; ]c/E7|0Q
' P?h?w^T
>> x=linspace(-2,3); >NKJ@4Y
p'K`K\X
>> y=f_1(x); j<p.#jkT
_?
gCOr
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 ,QcS[9$
m-Eh0Zl>Z
8>v_th
Du+W7]yCl
8<6H2~5<
p~$cwbQ!
MET9rT
UHZuH?|@
h[mT4e3c
|THpkfW
%2}fW\%'
&xnQLz:#
entU+O r
\R#SoOd
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 %j7b0pb
za_b jE
r = 2.0946 "n%s>@$
IO\4dU)
>> p=[1 0 -2 -5] <u64)8'
c#n
2!
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 f<YYo
c7e,lgG-
r = AFrJzh:V[
r]3-}:vU
2.0946 ^D+J
k8
K zWo}tT
-1.0473 + 1.1359i y)G-6sZ/
yb`PMj j15
-1.0473 - 1.1359i s<O$
Y
$YSXE
:
2.5线性代数方程(组)求解 -YA,Stc-
n:5M
E*
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 @-$8)?`q
U$OZkHA[
AX=B GKBoSSnV&
=Hi@q
"
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 4>KF`?%4
Zy}tZ RG
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 GK@OdurAR
,Bk5(e
如果将原方程式改写成 XA=B /F0q8j0
>i/jqT/
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 cQU/z"?+
5hrI#fpOR
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 Vb0T)C
Gl~l
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 )Qbd/zd\U
gmGK3am
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: N^L@MR-
D-gH_ff<]9
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 KkJqqO"EL
?
#K|l*
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 /v{+V/'+
/_C2O"h
>> X=A\B % 先以左除运算求解 P'W} ]mCD
4V+bE$Wu
X = % 注意X为行向量 .~]|gg~
|2(q9j
-2 UC!mp?
|L2>|4
5 ?cV,lak
{;yO3];Hqw
6 <FT7QO$I
R<|\Z@z
>> C=A*X % 验算解是否正确 a'J0}j!
pjeNBSu6
C = % C=B E7 Cobpm
U&^q#['
10 kCBtK?g
q
W(@p`
5 QS#@xhH
T ,lM(2S[
-1 OH`a3E{e
`|t,Uc|7!
>> A=A'; % 将A先做转置 &YhAB\Rw
p Cz6[*kC
>> B=[10 5 -1]; =KE7NXu]-
:qzg?\(
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 G%W9?4_K
R5HT
EB
X = % 注意X为列向量 74%vNKzc~
ptCF))Zm'
10 5 -1 WogUILB
.3
EZk86
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解