2．1微分 @dp1bkU
+i.b&PF'H
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： ^7&0P m
HOY9{>E}z
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 t(F] -[
kN,WB
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 j2"Y{6c
yNu%D$6u7
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 |`yzH$,F
;Z( ~;D
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 4yu ^cix(
;
(;J
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 jboQ)NxT!,
"3Z<V8xB
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： 3U73_ =>=&
m+/-SG
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 1*Ui=M4
WxF rqUz
>>S2 = 'sin(a)'; Z2dy|e(c
h f1f
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; "x$RTuWA9
bs_"Nn?
>>diff(S1) y~N,=5>j
]
x_WO_
ans=18*x^2-8*x+b 32*FI SH^
j!H\hj/]
>>diff(S1,2) GL_a`.=@
(mJqI)m8
ans= 36*x-8 tT;=l[7%
Q`]E l<$
>>diff(S1,'b') G;%Pf9 o26
f uxBoB
ans= x \KaWR
O} !L;?
>>diff(S2) 3e g<)
_ .%\czO
ans= aQEMCWxZ
wZECG-jr/
cos(a) 2\z "6
Eqg(U0k0
>>diff(S3) RJ_ratKN*g
<M1XG7_I
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 .FnO
Odr @ 9MJ
>>simplify(diff(S3)) !(hP {k ^g
{da Nw>TH
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 Ha\q }~_
x hFQ jV?V
2．2积分 }V3 p <
O\ T
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 q)ygSOtj
PomX@N}1
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： :ji_dQ8k
b+NF: -fO
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 %3i/PIN
byv(:xk|'e
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 7"r7F#D=G
dy jzF`H
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 8Us5O i
N1KYV& 'o
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 -0Q:0wU
~$f +]7
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 '!!w|k d
TD-d5P^Kek
我们示范几个例子： q0
:L b
X9nt;A2TU+
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; -uiZp !
u KqN
>>S2 = 'sin(a)'; }(-R`.e;
xyx.1o
e!
>>S3 = 'sqrt(x)'; +b] g ;
'
%OQd?MhL
>>int(S1) {W } .z
4T6d ju
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x GljxYH"]#
+|Q8P?YD_
>>int(S2) Xt /T0.I
nD.4c-hd$q
ans= -cos(a) xkOyj`IS
v I ]|
W
>>int(S3) FpfOxF6A3
A $W,#`E
ans= 2/3*x^(3/2) .*D~ .!
'r4 j;Jn
>>int(S3,'a','b') fL"-K
KEsMes(*
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) '@HW p 8+
W)V"QrFK
>>int(S3,0.5,0.6) pq>"GEN
El0| .dW
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) IQdiVj
l{aXX[E&1
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 ?D\6CsNp(2
v%V$@MF
ans= 0.0741 vN 7a)s
R3&W.?C
T
2．3求解常微分方程式 G F,/<R #
T eG5|`t],
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， rO 6oVz#x
6ndt1W
z
condition则为初始条件。 e UVE8pZl
+|Xx=1_?BK
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 V?HC\F-
_i:yI-jA
y'=3x2, y(2)=0.5 3Zdkf]Gh
j * g5f
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 SwG:?T!"}
HlPf
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 s{K wO+ UW
4'?kyTO~
对应上述常微分方程式的符号运算式为： a7nbGqsx
k%/Z.4vQG
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') D>~z{H%\
v l2!2 X
ans= x^3-7.500000000000000 )fpZrpLXE
S!2M?}LU
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 lE AN N u
yFshV\
QOEcp% 6I}
?H0 #{!s
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') L=VJl[DL
;->(hFJt
ans= atan(x^2+1) 7
\!t/<
$=TFTSO
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') G TNN4
$dgY#ST%
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) fZ ]Y
>"{3lDy q-
| OUr=b
65\'(99y U
2．4非线性方程式的实根 gE0k|Z(RF
d11 ~ mU\
要求任一方程式的根有三步骤： =\ iV=1iB
My76]\Psh
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， |(*ReQ?=
F# y5T3(P
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 \d2Ku10v[
),mKEpf
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 S
j)&!
fl!8 \4
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 \&`S~c V9
x/#* M
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 u= 5&e)v3
"b8<C>wY
例一、方程式为 OySIp[{tJ
{PnvQ?|Z
sin(x)=0 /w^}(IJ4
6x^#|;e>lI
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： ly7\H3
d0"Hu^]
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 "6w- jT
Z O5_n
r=3.1416 (Gp/^[.%&
btJ: Wt}
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 M^AwOR7<
(y[+s?;WyB
r = 6.2832 MxD,xpf
[
p$f)'
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： *8M 0h9S$
`|P fa
>> x=linspace(-2,3); T
]hVO'z
+ )h *)
>> y=humps(x); 3s<~}&"
7#S XqyP[
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 WUm8 3"
6oMU) DIa
eRKuy l
N_rz~$|@9
RSC^R}a5
{?!=~vp
J]yUjnQ[h
l=ehoyER
XZD9vFj1Z
r: ]t9y>$<
[nZf4KN
5ltEnv N
`U?"
{;j
{
d]{wZ#x
>?aPX C
>> r=fzero('humps',1.2) 8yij=T*
b;G3&R]
r = 1.2995 Q>Voa&tYn
2fFZ70Yh
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 ]r GZ
:,Z'/e0&
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： ;rXkU9
%Hx8%G!
% m-function, f_1.m z* n
h_#x@p
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 v EppkS U1
qWX%[i%
y=x.^3-2*x-5; kDbDG,O
v;m`d{(i2
>> x=linspace(-2,3); kZ7\zbN>
.' foS>W=t
>> y=f_1(x); cCx@ VT`0
$cjwY$6
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 ;w>Dq em
zG-pqE6
a,mG5bQ!
\ OPJ*/U
7QV@lR<C2R
)45~YDS;t
]nPfIBoS
&U*MLf83`
#J=^CE
ASGV3 r (
^u2unZ9BK!
QA|87alh
]JDKoA{S0
%G6Q+LMwm
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 s/Ne,v
QguRU|y
r = 2.0946 -c %#Hd
cdd6*+E
>> p=[1 0 -2 -5] HGycF|]2
, e^&,5b
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 oF'_x,0
<MK4# I1I
r = s Zn@y e^
)<ig6b%
2.0946 LV}Z[\?
]bcAbCZ@
-1.0473 + 1.1359i unX mMSz(
!AR@GuQPE
-1.0473 - 1.1359i ?,XrZRF
3R|Ub G`
2．5线性代数方程（组）求解 :O?+Ywn
813 t=A
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 \d-H+t]
MS5X#B
AX=B Cx~,wk;=
bi{G
:xt
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 7a0T]
0*J},#ba$
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 k2 -+3zx
3A&:
c/
如果将原方程式改写成 XA=B F)8M9%g5m
2^aXXPC
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 m>FP&~2
"udA-;!@&
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 Dpb prT7_
JnE\z*NB
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 3g79/ w
_-=yD@;[D
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： O 'rz
x@*RF:\}
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 ,7:? Du}
!8Y $}
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 0{^ 0>H0
#i;y[dQ
>> X=A\B % 先以左除运算求解 PenkqDc}
R4_BP5+
X = % 注意X为行向量 [iXk v \
Mg~62 u
-2 9P1!<6mN\
zhZ!!b^6<
5 Mni@@W
.;J6)h
6 B;64(Vsa8
zI7iZ"2a
>> C=A*X % 验算解是否正确 jR[b 7s
[gaB}aLn
C = % C=B P=<>H9p:o
()MUyW"S#`
10 0/5{v6_rG
b3.}m[]
5 d-{1>\-_
y9U*E80q{
-1 ^aI$97Li
9dCf@5]
>> A=A'; % 将A先做转置 /Ue_1Efa
h+DK
.$
>> B=[10 5 -1]; ) :V F^"
2n3!p Z8
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 [R0E4A?M
Ba}<X;B }
X = % 注意X为列向量 3 f-J%!aH
(zml704dI)
10 5 -1 s 9n_s=w
FY9nV nIoI
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
