2．1微分 S Rtw
SJ91(K
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： 'hE'h?-7
a:8 MoH 4
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 cZJ5L>ox
[]v$QR&u#v
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 hq&|
ue^HhZ9
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 h%U}Y5Ps~
[G PCd@
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 j+fib} 8}
W]oa7VAq
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 ^2H;
|h }4J
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： ZNne 8
n$`+03 a
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; J%-4ZB"
?JG^GD7D
>>S2 = 'sin(a)'; p^|6 / b
IMr#5
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; .%y'q!?
pHuR_U5*?
>>diff(S1) }K8 e(i6z
HCsd$M;Hbv
ans=18*x^2-8*x+b y>.t[*zT
m%
3 D
>>diff(S1,2) I?S t} Tl
k_{?{:X;y
ans= 36*x-8 67hfv e
^*i0~_
>>diff(S1,'b') Q5ff&CE
MT"&|Og
ans= x 'da
'WZG
V*ao@;s D
>>diff(S2) od {\z
&&m3E=K!^
ans= e@qH!.g)
O^3k PVr
cos(a) 4uzMO <
E_En"r)y
>>diff(S3) `<yQ`Y_X
gs;^SRE I
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3
_XT'h;m
~5`oNa
>>simplify(diff(S3)) |ZE^'e*k
l yX3'0c
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 E(j# R"
(w#t V*
2．2积分 !b7"K|
P Wyf 3
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 ! ig& 8:
n8F~! |lQ0
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： );':aX j
tH)j EY9
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 h Fik>B#!
GkX Se)#p
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 C&>*~
Bp_R"DS7A
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 k`Ifl)
')!X1A{
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 C= V2Y_j
YO .+-(
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 -z~!%4 a
' {UKO7
我们示范几个例子： >P:X\5Oj
R__:~ uv,
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Mn(i Asg
'"fJA/O
>>S2 = 'sin(a)'; V-}}?c1 F
IO)# O<
>>S3 = 'sqrt(x)'; @]vY[O!&;
-1,0hmn=+
>>int(S1) 1f}(=Hv{
4_k N';a4Q
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x #M16qOEw
/W$i8g
>>int(S2) *$ g!/,
8Rwk
o6x
ans= -cos(a) L)bMO8JH~m
l P3|h*
>>int(S3) ~_vSMX
Z t!A!Afu
ans= 2/3*x^(3/2) lb. Q^TghU
OALNZK P
>>int(S3,'a','b') SOhM6/ID2/
"0PrdZMx
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) \]V:>=ry>
IibrZ/n6
>>int(S3,0.5,0.6) Q+=pP'cV
P[ WkW #
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) ]a4U\ yr
o,`"*][wd
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 E(P
6s;LZ
h6
{vbYj
ans= 0.0741 kun /KY
3T)rJEN A
2．3求解常微分方程式 .how@>:P+
s2{SbOBis
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， ixu*@{<Z(
L'e^D|
condition则为初始条件。 Y pDJ(61+
'\I(n|\
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 {h@\C|nF
cjEqN8
y'=3x2, y(2)=0.5 yV!4Im.>
2bNOn%!
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 vd4@ jZ5
Io]FDPN
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 P35DVK S
=0=#M(w
对应上述常微分方程式的符号运算式为： HrBJi
m}uOB R+
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5')
=\o H=
f
Af;Pl|Zh[
ans= x^3-7.500000000000000 eBrNhE-[G]
KGy 3#r;Q
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 :Z//
fY!?rZ)$
g#J aw|N
NUFz'MPv
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') i)o;,~ee
<?nI O
ans= atan(x^2+1) );gY8UL^
Tn}`VW~
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') 0>sa{Z
!%G]~
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) r)iEtT !p*
JN0h3nZ_
Y@+Rb
xnY?<?J "!
2．4非线性方程式的实根 86r"hy~
!DZ=`a?y
要求任一方程式的根有三步骤： {]Hi T pn
>|QH
I
d8
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， Zhq_ pus"a
}`"}eN @,
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 |p6d]#z3
G(&[1V % x
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 PftK>,+,
G?W:O{n3
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 /f3 /}x!po
2LwJ%!
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 E]@&<TFq
p;+O/'/j
例一、方程式为 =} `d
v~nKO?{
sin(x)=0 ku]5sd >b
A[Mke
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： b>07t!;
3B1\-ry1M
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 O?e9wI=H
VE )D4 RL
r=3.1416 L/8oqO|
op6]"ZV -C
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 5)#j }`6
cJ4My#w
r = 6.2832 >fBPVu\PA
aCG rS {
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： B.8B1MFm
b RR N
>> x=linspace(-2,3); is<:}z
#1<m\z 7l
>> y=humps(x); N*Aw-\Bk
WPNB!" E98
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 B7 %, D}
8}'iEj^e
$C[z]}iOi
hi 8q?4 jE
f8Hq&_Pn
cE\w6uBR 1
E|@C :ghG
bY~K)j
v3&
|bnd92fvks
)d3
09O
:5k* kx#y
;(NTzBq!1
fCY|iO0.t
'm`O34h
HWjJ.;k}a
>> r=fzero('humps',1.2) 7<j!qWm0
y3o q{Z>
r = 1.2995 q<09]i
\Id8X`,eD
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 u+)!C*ho
KX PCkNIN!
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： fQoAdw
r^ ,_m,s'<
% m-function, f_1.m L=<xTbY
('z=/"(l
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 Z518J46o
QV[&2&&^<<
y=x.^3-2*x-5; c ~T {;
6qZQ 20h
>> x=linspace(-2,3); 3p# UEH3
s\ *p |vc
>> y=f_1(x); e9p/y8gC
[MeivrJ+
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 Il =6t
eXl?f_9
c^|8qvS $
#]Vw$X_S
^A ]4
~A0AB
`7
2f(`H SC'
+ wQ5m8E
N<JI^%HBgP
Sq Az((
I"]E }n d)
2tz4Ag
u$w.'lK
kHK<~ srB
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 W 8<QgpV*
br\3}
r = 2.0946 IsE&k2 SD
wG O-Z']i
>> p=[1 0 -2 -5] ca=MUm=B
r,eH7&P9{
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 }%KQrlbHJl
&tOo[U?
r = rbf5~sw&8+
h x^@aI
2.0946 ZPf&4#|
R5sEQ| E
-1.0473 + 1.1359i 8 8u[s@
u&y> '
-1.0473 - 1.1359i .3EEi3z6z
WGV]O |
2．5线性代数方程（组）求解 `_ ^I 2
nu^@}|UG
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 X}B] 5
eHx {[J?
AX=B f TmJDUv+
,vR>hyM
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 T3b0"o27
i(A `'V8GY
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 z7fX! '3V
1dr g5
如果将原方程式改写成 XA=B 6 X ]I`e
e ,XT (KY
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 &'\-M6GW
K%9!1'
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 ?r ;F'%N=
%~eu&\os
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 (ht"wY#T<(
a[t"J*0
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： 1sUgjyGQ
b?k,_; \
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 ?(s9dS,7wZ
qPu?rU{2
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 %m|BXyf]_B
)~)T[ S
>> X=A\B % 先以左除运算求解 Njo.-k
u}'m7|)8
X = % 注意X为行向量 dnANlNMk?
*h?*RUQ
-2 |$8N*7UD
=j_4!^
5 1 % @i4
^g'uR@ uU
6 J? p|Vy|9
}lk9|U#6*`
>> C=A*X % 验算解是否正确 UXa%$gwFw
i [/1AI
C = % C=B ; {m;CKHI
BAqwYWdS
10 B
\V ;{:
$7-4pW$ y
5 eT F s9$
JpQV7}$
-1 Lxa<zy~b
PtjAu
>> A=A'; % 将A先做转置 ]<},[s
?:PF;\U
>> B=[10 5 -1]; 7vqE @;:dt
5"#xbvRS0H
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 a/d8_(0
F0xm% ?
X = % 注意X为列向量 BQMo*I>I
B(@uJ^ N
10 5 -1 R<T5lkJ\/
B)DtJ f
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
