2.1微分 j8{i#;s!"
dx{bB%?Y\=
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: oiT[de\S
Ed,~1GanY
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 6@ IXqKz
ju8q?Nyhs
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 >xYpNtEs
)<;Y-u.UW
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 KNpl:g3{<Q
g:D>.lKd
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 a85$K$b>
(\hx` Yh=>
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 [{<`o5qR
5Y'qaIFR
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: X0H!/SlS
2%@4]
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; E=CsIK
mD0f<gJ1
>>S2 = 'sin(a)'; 2U\u4NO{
A8fOQ
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; so)[59M7
>WQMqQ^t@
>>diff(S1) (*nT(Adk
6YLj^w] %
ans=18*x^2-8*x+b QP^Cx=
3kIN~/<R+7
>>diff(S1,2) 1 s2>C!\
_jI,)sr4ic
ans= 36*x-8 +[A QUc
4Lh!8g=/
>>diff(S1,'b') k_qd|
}=UHbU.n~!
ans= x 6]_pIf
t?ZI".>
>>diff(S2) M7a.8-!1
o]` *M|
ans= ,o{9$H5{
S)k*?dQ##R
cos(a) ] =xE
3yY}04[9<
>>diff(S3) D},>mfzF
D>@I+4{p
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 +0%w ;'9z
Av$^
>>simplify(diff(S3)) 1N^[.=
kg~mgMR+w
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 :q7Wy&ow
ARVf[BAJ-*
2.2积分 5C*Pd
Wpl
[b<oDX#
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 YTpSHpf@
trA4R/
&
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: Xy&A~F
GT!M[*[
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 el<s8:lA
ooL!TSGD
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 mpEK (p
$s c
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 <#y[gTJ<'>
)!Z*.?
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 p8H'{f\G
D/B8tf+V
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 u+e{Mim
*74MWF@IY
我们示范几个例子: 5 +YH.4R
D|L9Vs`
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; fZzoAzfv2
Oo8VeRZ
>>S2 = 'sin(a)'; `$<.pOm
[M}{G5U.
>>S3 = 'sqrt(x)'; S6M}WR^,
)?naN
>>int(S1) eIEeb,#i
E *6Cw
l
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x H8zK$!
IH&|Tcf\
>>int(S2) >`mVY=Hi
\0I_<
ans= -cos(a) f:,DWw`B
[{,T.;'<j
>>int(S3) 4Zddw0|2
GL0L!="!
ans= 2/3*x^(3/2) "]x'PI 4J
d-ZJL6-
>>int(S3,'a','b') D~iz+{Q4
AW'0,b`v
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) ]BZA:dd.G
8oseYH
>>int(S3,0.5,0.6) rjAn@!|:+
9C9oUtS
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) {n.PF8A5X
k[YS8g-Q
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 "1*:JVG
|?xN\O^#}
ans= 0.0741 ?V.cOR`6
^4hO
2.3求解常微分方程式 O`\;e>!t
tBWrL{xLe
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , \<>ih)J@tt
b<ZIWfs
condition则为初始条件。 I@~QV@U
JPUW6e07o
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 ^j7Vt2-
({)+3]x
y'=3x2, y(2)=0.5 fk>aqm7D!
.},'~NM]
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 On.{!:"I/
gp?uHKsM
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 EwT"uL*V;
[Ek7b*
对应上述常微分方程式的符号运算式为: QXFo1m
$G+@_'
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') vF+7V*<
]Sz:|%JP1
ans= x^3-7.500000000000000 )[IC?U:5I
RJ&RTo
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 B{#I:Rs9
7"x;~X
rfJz8uF%
j0aXyLNX
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') -20bPiM$A
{9pZ)tB
ans= atan(x^2+1) wv1iSfW
9T9!kb
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') gO- _
,PW'#U:
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) >Q;l(fdj
2- h{N
gPO}d
'KL0@l
2.4非线性方程式的实根 JR21>;l#2
@n /nH?L
要求任一方程式的根有三步骤: eJ-xsH*8
m?}6)\ob
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, M"Hf :9Rk
()?(I?II
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 1(R}tRR7 R
@Uvz8*b6
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 _ <V)-Y
Gj?t_Zln
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 1n8/r}q'H
MKk\
u9
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 P3=G1=47U
-@2iaQ(5a2
例一、方程式为 |SSSH
pYEMmZ?L
sin(x)=0 rXP,\ ]r+
8kIksy
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: ? :%@vM
*:7rdzn
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 +TL%-On
JPHL#sKyz
r=3.1416 ~G&dqw/.-U
%aCqi(.7
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 _;y9$"A
{}przrU^c
r = 6.2832 Q3~H{)[Kq
Hvi49c]]
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: &6!)jIWJ
;H*T^0
>> x=linspace(-2,3); g:@#@1rB6
(5YM?QAd
>> y=humps(x); s ll\g
.~;\eW [
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 Sz`,X0a
2]*OQb#O6e
!;A\.~-!G
$h"\N$iSq
PC8Q"O
Bsvr?|L\
cuITY^6
lUZ+YD4
JH9J5%sp
FVKTbvYn
bAqA1y3=
r l%
Zu[su>\
</zEg3F\
\M^bD4';>
>> r=fzero('humps',1.2) p6V0`5@t
d7upz]K9g
r = 1.2995 {;1\+f
Wac&b
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 _B<X`L
=
k y7Gwc
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: \R_C&=
x 9fip-
% m-function, f_1.m S=5o
< 1
d#FQc18v}k
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 a1lh-2xX
d$!RZHo10V
y=x.^3-2*x-5; 73;GW4,
*GPiOA
a
>> x=linspace(-2,3); }Sv:`9=
$U~]=.n
>> y=f_1(x); TvbE2Q;/UL
usF.bkTp
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 gM:".Ee
ON(kt3.h
y<Ot)fa$
%h!B^{0
(!WD1w
X \/#@T
8d'0N
~9@UjQ^)F
)SGq[B6@I
t{{QE:/
R\[e!g*I
G"t5nHY\.
j\M?~=*w
z2GY:<s
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 G 3ptx!
D
VOLj>w
r = 2.0946 NzvXN1_%
\9T7A&
>> p=[1 0 -2 -5] nu%*'.
OneY_<*a<
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 M\BRcz
=I_'.b
r = 3bI9Zt#J%&
;$g?T~v7
2.0946 Nh44]*
sW\!hW1*x
-1.0473 + 1.1359i w7L)'9
$XH^~i;
-1.0473 - 1.1359i h<QY5=SF
~k5W@`"W
2.5线性代数方程(组)求解 C3g_!dUs
Nh+ H 9
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 dM@1l1h/
4*;MJ[|
AX=B F#E3q|Q"BS
_+MJ%'>S
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 W(p_.p"
8&dF
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 T)_hpt.
J'r^/
如果将原方程式改写成 XA=B $*m-R*kt
_yR^*}xJb
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 "m>81-0
COlaD"Y
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 uB?ZcF}Tk
veECfR;
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 x,'!gT:j
dj%!I:Q>u
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: zm;C\s rF
>yDZw!C
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 qqU 64E
`Q,H|hp;k;
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 d #wVLmKZ
],].zlN
>> X=A\B % 先以左除运算求解 _o~nr]zx
Dvln/SBk
X = % 注意X为行向量 *X}`PF
?Mfw]z"\C)
-2 ySI!d|_
w4Z'K&