2．1微分 L~6%Fi&n4
G\gjCp?!
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： _Q5mPBO
`DY
yK?R
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 ]j3> =Jb;
Dx-P]j)4x
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 wD9K\%jIr!
>R F|Q
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 EH |+S
j?2~6W/[
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 Wi&v?nm
uxf,95<g)
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 E@SFK=`
6YM X7G]
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： dQj/ Sr
"0CFvN'4
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; aO&U=!
tY"eo Pm e
>>S2 = 'sin(a)'; bTD?uX!^@
zgAU5cw
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; @N Yl4N
kZw"a*6
>>diff(S1) LL( xi )
t*(b F[?
ans=18*x^2-8*x+b (T T=i
x0<;Rm [u=
>>diff(S1,2) -+WAaJ(b
!vwio!
ans= 36*x-8 *?X &Y8Kf
Q>{$Aqc,e
>>diff(S1,'b') b&rBWp0#
B#V""[Y9
ans= x LIID(s!bX
r wq
>>diff(S2) ;_cTrjMv\
8 Rj5~+5
ans= *igmi9A
$@z77td3
cos(a) ?6:qAFw
P~\rP6
;
>>diff(S3) &O' W+4FAc
A%8
Q}s$<s
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 XJ<" S
p
0/Q_%
:
>>simplify(diff(S3)) dtR"5TL<~}
h[remR# 3\
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 V+`kB3GV
x4q}xwH
2．2积分 layxtECP(
hZ4 5i?%
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 !P A:#]J
gnp.!-
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： |*{*tW C1
#p(gB)o:l
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 {lds?AuK
Dd?G4xUG
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 _5p$ #U`
WzzA:X
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 TUp\,T^2
|=}+%>y_
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 :xsZz$
G+c&e:ip<
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 bsQ 'kBD
`LkrG9KV{
我们示范几个例子：
| #yu
| xB`cSu(
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Ij#mm j NW
|nQfgl=V
>>S2 = 'sin(a)'; kZ%
AGc
M1Q&)am
>>S3 = 'sqrt(x)'; ]ae(t`\l ^
1`8s
"T
>>int(S1) +
f6LG 0q
zB%~=@Q^6
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x o26Y }W
$J6
.0O
>>int(S2) H9T~7e+
k[x-O?$O@
ans= -cos(a) q'jOI_b
1GN^ui a7
>>int(S3) q-z1ElrN7u
V>Jr4z
ans= 2/3*x^(3/2) IUOf/m M5
2* g2UP
>>int(S3,'a','b') S|=)^$:
B!&5*f} *
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) I=L[ "]
]xv A2!) Q
>>int(S3,0.5,0.6) g (&cq
R2) @Q
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) goR_\b
SU
I "x'
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 )>ff"| X
aqSOC(jU
ans= 0.0741 1EV bGe%b
?6 2zv[#
2．3求解常微分方程式 [4yHXZxza
1L <TzQ
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， wiI@DJ>E
*9n[ #2sM<
condition则为初始条件。 !> Nlp,r&~
.w4| $.H
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 @ 51!3jeu
CAc]SxLh
y'=3x2, y(2)=0.5 9'( _*KSH
rai'x/Ut}+
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 T.#_v# oM
>"/TiQt
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 0s`6d;
k)knyEUi
对应上述常微分方程式的符号运算式为： t3$ cX_
$@VJ@JAe
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') fS} Eu4Xe
Uv59 XF$
ans= x^3-7.500000000000000 $l ,U)
q;AD#A|\
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 %ZRv+}z
TD\TVK3P
*l d)nH{
`
,T .
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') " 0!#De
MO ~T_6
ans= atan(x^2+1) $idToOkw
rE*y T(:w
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') %#% YU|4R
>XZ2 w_
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) _ U*R_2aV
di_ N}x*
x6>WvF Z
}*XF- U
2．4非线性方程式的实根 ~/4j& IG
, JH*l :7
要求任一方程式的根有三步骤： WA}'[h
6 w!qZ4$
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， |%4nU#GoB
AY Nz {9
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 SMvlEj^
a\-5tYo`u
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 fCa
lR7!
[GyPwb-
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 >o"s1*
{
UHY)+6qt]
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 hpOY&7QUTD
Iv7BIK^ 0
例一、方程式为 >CCy2W^W
XPYf1H
sin(x)=0 \sGJs8#v][
!6.LSY,E
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： =[4C[s
/ pe.?Zd
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 !/2kJOSp
L_Z`UhD3{
r=3.1416 =]Y'xzJuu
+L?;g pVE&
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 l7ES*==&@0
2 QHu8mFU
r = 6.2832 1b =\l/2
cL %eP.
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： -}qay@cDt
mznE Cy
>> x=linspace(-2,3); 9MRe?
/\jRr7 Cd
>> y=humps(x); \XY2s&"
g[2[
zIB=
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 C/"Wh=h6
Z _<Wr7 D
H_JT"~_2
Ft2 ZZ<As
:v-,-3AG
G* mLb1
0/+TQD!L
{flxZ}
_#U hXXD
2\}6b4
M> Ws}Y
\LS s@\$
g
mpCKF=KL.
P>6wr\9i[
Q!Dr3x
>> r=fzero('humps',1.2) 53 ^1;
9hwn,=Vh)
r = 1.2995 ``?Z97rH
() HIcu*i
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 \ U `rF
a6 7N WH
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： ~f2-%~
=dC5q{
% m-function, f_1.m +QrbW
{u7_<G7
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 &_6B{Q
u|8V7*)3
y=x.^3-2*x-5; :'dH)yO
7^8<[8
>> x=linspace(-2,3); k3"Y!Uha:
_Ai\XS
Am
>> y=f_1(x); _1Iw"K49Qx
0j~C6 vp
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 wvSaq+N
s2+s1%^Ll
G5 x%:,n
cbA90 8@s
*j=
whdw%J
bl B00
2}R)0][W
93N:? B9
;,]Wtmu)7
\xaK?_hv
t"'aQr
& mvC<_1n
w+ow x(mN@
5AT[1@H(_
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 O7RW*V:G@
c z9T,
r = 2.0946 ?g' ? Ou
RV:%^=V-
>> p=[1 0 -2 -5] |q\:3R_0
dj cC m5m
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 UYb:q
Hlq#X:DCn
r = v i Y &D
_gF )aE
2.0946 13P8Zmco
F\;G'dm
-1.0473 + 1.1359i 7fJWb )z!k
toCT5E_0=
-1.0473 - 1.1359i Fn!kest
s k_Q\0a
2．5线性代数方程（组）求解 t |aBe7t7
It@.U|
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 e[7n`ka
'
+H~})PeQ
AX=B "V;M,/Q|
q>*+.~
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 V}kZowWD
.qCD(XZ+
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 %9A6c(L
!7lS=D(?
如果将原方程式改写成 XA=B zj^Ys`nl
V1j5jjck
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 5[Yzi> o[
Q=%1@ ,x"
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 Q0_UBm^f
=q( ;g]e
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 K Zw"?%H[
m. G}# /
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： xCM cS~
3/
{?
jr
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 IgOo 2N"^l
4cni_m]
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 n%]1p36
w"O^C R)
>> X=A\B % 先以左除运算求解 [ENm(e$sI
v'*#P7%Kf
X = % 注意X为行向量 IR,`-
wYJ. F
-2 uf (`I
shOQ/
5 M3350
^6 F-H(
6 $4y;F]
\4`~ J@5Y
>> C=A*X % 验算解是否正确 '@h5j6:2
CCO d4
C = % C=B 5uu Z t0V\
`)FSJV1
10 P OQRq%w
p*8LS7U T
5 Lmx95[#@a
y8uB>z+#+;
-1 |"vUC/R2&
N*N@wJy:5
>> A=A'; % 将A先做转置 NZSP*# !B
j^}p'w Tu{
>> B=[10 5 -1]; Tp&03
o })k@-oL
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 e.%`
tK3 J
6u`E {$
X = % 注意X为列向量 TpLlbsd
^<#08L;
10 5 -1 =l
TV2C<
8S[`(]
)
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
