2.1微分 +eD+Z.{
uvf}7
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: YV>]c9!q
4>W ov
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 `>cBR,)r
/__@a&9t
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 R7d45Wl
*_7%n-k
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 cfd7)(6
uDpCW}
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 2bk~6Osp
*
"Z5bKL
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 <) \
^5sO;vf
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: 6vQCghI
h|j$Jy
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; I
;Sm<P7*
nuip
>>S2 = 'sin(a)'; /G h?z
Qs5^kddz=
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; B#T4m]E/
G F-\WD
>>diff(S1) mew,S)dq!
TZk.?@s5
ans=18*x^2-8*x+b ]FNqNZ
r#%z1u
>>diff(S1,2) $kA'9Y
_3YuPMaN
ans= 36*x-8 S3iXG
@
%cl=n!T
>>diff(S1,'b') M_wj>NXZ
|99/?T-QW
ans= x N1 }#6YNw
MM*B.y~TxZ
>>diff(S2) 8(Ab
NQ
n@)Kf
A)&
ans= V9 dRn2- [
?B"k9+%5ej
cos(a) N%k6*FBp~
#ONad0T;
>>diff(S3) <n)J~B^
WDC+Jmlgp
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 U$fh ~w<[
Ip0~
>>simplify(diff(S3)) s?8vs%(l
+$-@8,F>
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ]b"Oy}ARW
]{Ytf'bG
2.2积分 V kA$T8
1gwnG&
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 I$Bu6x!
[zO:[i 7
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: Stkyz:,(
McRAy%{z
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 [<+A?M=
S4m??B
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 .>Gnb2
-_bnGY%,
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 gkJL=,
ZH:-.2*cj
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 ETw7/S${
p5C:MA~*
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 yM*-em
!\
IgTt,
我们示范几个例子: Df\~ ZWs!
^u?#fLr
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Uq:WW1=kh
`K ,{Y_
>>S2 = 'sin(a)'; Z r}5)ZR.
J4yL"iMt
>>S3 = 'sqrt(x)'; \>T+\?M
TSGJ2u5ie%
>>int(S1) E<j}"W$a
B}PT-S1l
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x Kw`{B3"
Nl[]8G};
>>int(S2) e7m>p\"
n9
LTrhLqp
ans= -cos(a) JnWG_|m)
_GoV\wGKl
>>int(S3) 9Q~9C9{+
gRnn}LL^
ans= 2/3*x^(3/2) fgiOYvIS2m
Tz\ PQ)!
>>int(S3,'a','b') DChqcdx~~
,buSU~c_Q
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) XX85]49`%
q c(R
/[
>>int(S3,0.5,0.6) uwQ~4
)\
`AD#
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) MI:
rH
B3+9G,or
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 Q[j'FtP%
DzfgPY_Py
ans= 0.0741 pyvH [
WH>= *\
2.3求解常微分方程式 }ZQ)]Mr
DjyqQyq~
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , B]KR *
}Y}f73-|
condition则为初始条件。 -YDA,.Ic?
~XzT~WxW
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 \#
p@ef
s+tPHftp
y'=3x2, y(2)=0.5 I_1(jaY
(yx^zW7
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 1@dB*Jt
YFJw<5&
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 *^ZJ&.
.tdaj6x
对应上述常微分方程式的符号运算式为: F@]9oF
,4Q1[K35B
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') M_I.Y1|
yt'P,m
ans= x^3-7.500000000000000 fY4I(~Q
3X;k c>
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 e(=() :4is
B\73Vf
=JkPE2mU
%E R"Udh
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') l&/V4V-
43VBx<"
ans= atan(x^2+1) |rgp(;iO
lZ'WFFWLE
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') 5}3#l/
{\WRW}iO
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) JdM0f!3
\,AE5hnO
kqH:H~sgD
'mELW)S
2.4非线性方程式的实根 d-sT+4o}
W? F Q
要求任一方程式的根有三步骤: Ybk ydc
u |mTF>L
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, qkM)zOZ^
C09rgEB\B
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 `SH14A*
O"GuVC}B
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 ^Q\Hy\
`pYyr/
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 j|KjQ'9
Ol
sX
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 /fSsh;F
)n&6= Li
例一、方程式为 {>3J 96
AI^!?nJ%'
sin(x)=0 9+iz+
Y#5v5
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: `53S[8
O**~ Tj
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 *mJ\Tzc)
z:ZXdB)L)
r=3.1416 4;bc!>
sfC
Z[9t?ePL
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 [[#R ry
l;SXR <EU
r = 6.2832 bzXeG;c<7
_P`
^B
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: <}p]0iA
noso* K7
>> x=linspace(-2,3); !,^y!+,Qy
&qzy?/i8
>> y=humps(x); %Z3B9
SsEpuEn
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 K))P
2ss
OQIr"
}1DzWS-hh
=)s~t|@v
iR!]&Oh
hD[r6c
@6
a'p
AtUt E#K
f5Hv![x
Hr7?#ZX;e
?iZM.$![
+c8t~2tuN
73_=CP"t
4H^ACw
!9{hbmF#
>> r=fzero('humps',1.2) 1cc~UQ
njZJp|y6
r = 1.2995 }4T `)
'1rGsfp6In
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 2acTw#
ZWni5uF-c
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: ORM3oucP
2+/r~LwbK
% m-function, f_1.m zBK"k]rz
73B[|J*
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 6<9}>Wkf
%{7*o5`
y=x.^3-2*x-5; 5NC77}^.
}.pqV
X{d
>> x=linspace(-2,3); F!phTu
NJSbS<O
>> y=f_1(x); Fe
%Vp/
p>i8aN
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 pN)x,<M)
&Nh
zEl1
A|4om=MO
M7T*J>i
aOw#]pB|
8#HnV%|N
/CH]'u^j
pY[b[ezb
}& W=
>tPf.xI|l
vQp'bRR
:?j=MV
R?;mu^B
zy%0;%
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 ^pH8'^n
ll1N`ke
r = 2.0946 `d^Q!QxE
M>|ZBEK
>> p=[1 0 -2 -5] C7G,M
`"}).{N]C
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 ^>F[aT
hJ]Oa7r
r = =4'V}p
$./aKJ1B
2.0946 l$pz:m]Id
Zj-U^6^L
-1.0473 + 1.1359i :*&c'
l*OR{!3H$
-1.0473 - 1.1359i RD"-(T
9od*N$
2.5线性代数方程(组)求解 Xp9I3nd|
|U;O HS
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 :hs~;vn)
+or<(%o @
AX=B DO*
'tw
]jMD
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 n42\ty9
3N-pND0>p
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 4ryG_p52l
I<CrEL<5}~
如果将原方程式改写成 XA=B d{Jk:@.1
[520!JhZY
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 i0$*):b
O1c:X7lHc
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 -z+,j(@
,dTmI{@O
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 $A9Pi"/*z
P{UV3ZA%
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: $l"%o9ICG
?RS:I%bL
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 z`t~N
+|d]\WlJ
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 Lo_+W1+
)dX(0E4Td/
>> X=A\B % 先以左除运算求解 'nGUm[vh
~a[/l
X = % 注意X为行向量 #:0-t!<0C
3m!tb)
-2 `j@1]%&z
ZHN'j ]?
5 dt:$:,"
r!dWI
6 _3@5@1[s
ap )B%9
>> C=A*X % 验算解是否正确 "lw|EpQk`
5Y^"&h[/
C = % C=B F/BR#J1
jhf3(hx&F
10 El5} f4sl
"}qs+
5 Y2QX<
^@AyC"K
-1 <C&|8@A0
#l4T/`u'9!
>> A=A'; % 将A先做转置 $~.YB\3
[z2UfHpt~
>> B=[10 5 -1]; 2=NaqHt(
s2G9}i{
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 lJ-PW\P
YPI)^ }
X = % 注意X为列向量 iOURS
kJ FWk
10 5 -1 UTyV6~
n_km]~
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解