2.1微分 FZpKFsPx
m:Go-tk
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: K_-d(
gd@p|PsS^
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 BRG|Asg(
@nV5.r0W}B
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 `BZ&~vJ_
0>6DSQq~t(
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 mjnUs-`W|
6er(% 4!
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 MN;/*t
}ZZ5].-a<D
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 ^DAa%u
eo#^L}
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: @fn6<3
zz$q5[n
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; R
-elIp
i&+w _hD
>>S2 = 'sin(a)'; v$|mo;6
Yig0/"
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; )+O r
h!]"R<QQdu
>>diff(S1) 17UK1Jx,
>X Qv?5
ans=18*x^2-8*x+b +`| *s3M
p_terD:
>>diff(S1,2) 1-;?0en&0
zDBD .5R;
ans= 36*x-8 ]= x
1`j
?p8Qx\%*
>>diff(S1,'b') @6xGJ,s
&&RA4
ans= x KHj6Tg;)
~\_T5/I%
>>diff(S2) 2g`[u|
)BV=|,j
ans= x(r+P9f\<
p%RUHN3G[
cos(a) KXBL
eR&^
L=1~ f-
>>diff(S3) )@PnTpL*
mA{#]Yvf1
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 iK}v`xq
0o/B{|rv
>>simplify(diff(S3)) !;}2F-
J1 tDO?
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 {/UhUG
,w\ wQn>]K
2.2积分 03E3cp"
wL
eHQ]
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 N~#D\X^t.
u(vw|nj`
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: kV^?p
W8/(;K`/
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 (:} <xxl
Va9q`XbyO
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 #MM&BC
,t~sV@ap
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 G,DOBA
!k h{9I>M
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 E%*AXkJ'dZ
3q~Fl=|.o
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 Y+|PY?
~
Dc:DY:L^
我们示范几个例子: PNmF}"
6&],WGz
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; kMS5h~D[
v>I<|
>>S2 = 'sin(a)'; 9.8,q
IQ{?_'
>>S3 = 'sqrt(x)'; T +\ B'"
nVTM3Cz
>>int(S1) ;eR{tH /4
Qp 69Sk@H{
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x Q&wYc{TUbm
7|~:P$M
>>int(S2) x^2 W?<
V_M@g;<o
ans= -cos(a) AQn[*
'^1o/C
>>int(S3) OX)BP.h#
"`]'ZIx[R/
ans= 2/3*x^(3/2) Kw*~W
i
Vj7Hgc-,
>>int(S3,'a','b') _S<?t9mS
kknhthJ
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) NEg>lIu<~
x vJ^@w'
>>int(S3,0.5,0.6) |$Xf;N37t
[Pqn3I[
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) }z{wQ\
%#4 +!
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 P8]ORQ6ZF
g
2#F_
ans= 0.0741 u2,H ]-
]c,l5u}A$
2.3求解常微分方程式 V
Qh/
pg5&=
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , eEie?#Z/6
q-uLA&4
condition则为初始条件。 R}.3|0
>DS}#'N4l
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 .J:;_4x
|Ib.)
y'=3x2, y(2)=0.5 m|`VJ0
:'ihE\j
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 T8mY#^sW_
/[L)tj7B
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 `
Rsl]
GB
PuU*vs3
对应上述常微分方程式的符号运算式为: iGQ n/Xdo
K
/8qB~J*
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') y\z*p&I
>OTl2F}4 !
ans= x^3-7.500000000000000 -UTV:^
^Bn1;
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 u<C$'V
2gH_$
vQcUaPm\$
l)%mqW%
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') GGp{b>E+
#
DUQ9AT#3
ans= atan(x^2+1) uh1S
7!^
e-jw^
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') rF'<r~Lw
fvO;lA>`
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) ` )]lUvR
.h a`)@MsZ
a.1`\$]d
4"z;CGE7
2.4非线性方程式的实根 h9U+%=^O
,Z?m`cx
要求任一方程式的根有三步骤: 9Dy)nm^
>Rr!rtc'x
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, l-Fmn/V
cJ2y)`
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 y3Y2QC(
# UjEY9"M
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 \y@ eBW
{GAsFnZk
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 ,R8n,az
\N6<BS
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 j_(?=7Y3g
n}42'9p
例一、方程式为 AVU7WU{
N:twq&[Y
sin(x)=0 >Sh0dFqeT
nhp)yW
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: Ls lM$
.fbYB,0w
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 ]}_p3W "Y9
&^AzIfX}Gw
r=3.1416 8
H,_vf
j1W
bD7*8
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 gYRqqV
=z+-l5Gu"
r = 6.2832 i'U,S`L6>
fmtuFr^a1
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: tsB.oDMP
Z4=_k{*
>> x=linspace(-2,3); tP&{ J^G
gv`%Z8u(
>> y=humps(x); hT\p)w
_F! :(@}
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 mi*:S%;h
Y"r3i]
?Ozk^#H[
P0a>+^:%
" vv$%^
M4R%Gr,La
qxRT1B]{Wx
MoZU(j
w2.qT+;v
U+:S7z@j?
Pw0{.W~r
<{3q{VW*
=c
:lS&B
?psOj%
K!pxDW}
>> r=fzero('humps',1.2) ?IL!
X-xx
y.L|rRe@P
r = 1.2995 cpP.7ZR
a.5zdoH_
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 Uh<H*o6e 9
U@1#!ZZ6
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: %iHyt,0v2
Tb>IHoil
% m-function, f_1.m ,e}mR>i=e
J R8 Z6
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 " 8~f
8 /:X&
&
y=x.^3-2*x-5; 3Yn:fsy
}dV9%0s!
>> x=linspace(-2,3); AJJ%gxqGq
EKeBTb
>> y=f_1(x); S-H-tFy\\
jM|YW*zNZ
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 n_e}>1_
k1~nd=p
+z~!#j4Q
HYa$EE2
Pf^Ly97
\@iOnRuHn9
f(@"[-[
G}Qk!r
Z<$E.##
F$"MFdc[
6!gtve_
yg-L^`t+B5
p@!@^1j=
&r5&6p
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 B.C H9M
J?|K#<%
r = 2.0946 Tye$na&$}
'p|Iwtjn>
>> p=[1 0 -2 -5] V'f&JQA
C7XS6Nqu
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 .f?qUg
Lk8W&|;0|
r = hPEp0("
YI? C-,
2.0946 HL}sqcp
E'Fv *UA
-1.0473 + 1.1359i ~|0F?~eR7
#buV;!_!E?
-1.0473 - 1.1359i h1G*y
xqi*N13
2.5线性代数方程(组)求解 /w}B07.
!?us[f=g%
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 o\=i0HR9
T?p`Y| gl
AX=B FJwZo}<6E
8-y: == C
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 R|Q_W X
7am/X.
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 67KRM(S
+ 8K1]'t$
如果将原方程式改写成 XA=B JPoK\-9NT
"`$'tk[
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 9wYtOQ{g
#$vhC u<I
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 HIWmh4o/.
kS\.
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 |)72E[lL
7S~9E2N
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: DS,FVh".|
EZwdx
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 -'p@ lk
"o5gQTwb
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 l:5CM[mZ
057G;u/
>> X=A\B % 先以左除运算求解 w?$u! X
*3etxnQc
X = % 注意X为行向量 R6WgA@Z|r
>kDdWgRQ
-2 XnI
;7J
x[O#(^q
5 ?3"D|
cS1
BHJ'[{U*w
6 mJDKxgGK
7N59B z
>> C=A*X % 验算解是否正确 {i%xs#0h
eE.5zXU3R
C = % C=B sG1]A:_<C
D8D!1 6_
10 s
eZ<52f2
mTuB*
5 \gI:`>-
x
;iC'{S
-1 ID)gq_k[8,
&fd4IO/O
>> A=A'; % 将A先做转置 6nWx>R<
b\0Q:
>> B=[10 5 -1]; J"2ODB5"
nwZr3r
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 D"] [&m
q[|`&6B
X = % 注意X为列向量 #!d^3iB2
548[!p4
10 5 -1 ]20"la5
/E4 }d=5L
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解