2．1微分 h>^jq{yu
Y\g90
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： svq9@!go
d[ RWk k5
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 E #{WU}
v_ nBh,2
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 ^Q)g sJY|I
^8-~@01.`_
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 t1 :S!@
TCK I
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 @maZlw1q
i9@;,4f
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 22Y!u00D
Ss<_K>wk
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： sPE)m_u
1^60I#Vr@
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 27*(oT
'e<HP Ni)
>>S2 = 'sin(a)'; Wq{d8|)1
r8
Zyld_@
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; Ql:
b1C,
LA;V}%y ?
>>diff(S1) 4l%?mvA^m
.e FOf V)
ans=18*x^2-8*x+b |auX*hb9
~D -JZx
>>diff(S1,2) p(H)WD
$||ns@F+
ans= 36*x-8 y= oVUsG
\=E Y@ *=
>>diff(S1,'b') 3I; xU(rv
s#+"5&!s
ans= x '!+ P{
\`P2Yq
>>diff(S2) <*A|pns
W? "2;](
ans= h+B' _ `(
E~<(i' :
cos(a) Y0Hq+7x
\tiUE E|k
>>diff(S3) +3/k/W
[V > :`?
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 daA47`+d
.# ! 'c
>>simplify(diff(S3)) j[m_qohd7
+7i7`'9pd
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 "}'8`k+d
J8GXI :y
2．2积分 RV0>-@/x
Xr @l+zr
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 93E ,
%k3NT~
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： S+) l[0
SE,o7_ k'S
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 J{Y6fHFi
1 a($8>
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 V- D}U$fw
#D|!
.I)
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 Xmap9x
0`VD!_`
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 YVQ_ tCC_!
krQ l ^~@
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 %sO Wg.0_
a )3O? Y
我们示范几个例子： /<3;0~#){
~w
Zl2I
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';
_'! aj +{
rao</jN.9
>>S2 = 'sin(a)'; j3*M!fM9
7ei>L]g m%
>>S3 = 'sqrt(x)'; _u:>1]
9">zdFC'
>>int(S1) *'U hlFed
U0NOU#
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x >.DF"]XM
F^ I\X
>>int(S2) 1*C:h g@
f,St h7y
ans= -cos(a) 89LpklD
w{k1Y+1
>>int(S3) (NGu9uJs
i0k+l
ans= 2/3*x^(3/2) Jt##rVN
rPRrx-A
>>int(S3,'a','b') $7Jfb<y
"KMLk
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) %xf)m[JU=
8|1`Tn}o
>>int(S3,0.5,0.6) |0tg:\.
UH5w7M
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) q>^h oW2$C
mgy"|\]
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 FJO"|||Y'|
Dc5bkm
ans= 0.0741 k1wCa^*gc
Vo #:CB=8
2．3求解常微分方程式 7S BM^r}
:ar?0
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， z )5S^{(
~_'0]P\
condition则为初始条件。 +IG1IF
NA+&jV
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 `'u Umyg
2< p{z
y'=3x2, y(2)=0.5 >Y} 7[XK
>4,{6<|
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 OQ6sv/
\;-qdV_JB
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 >B0D/:R9
;_iPm?Y8
对应上述常微分方程式的符号运算式为： ([Ebsj
9u?(^(.
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 4 _tR9 w"
Kaf>
ans= x^3-7.500000000000000 x Y| yI>
lj)f4zu
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 ^Z2kq2}a
Yj)
e$f
G-arnu)
[(1O"
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') u,f A!
3@G;'|z
ans= atan(x^2+1) -n$ew V
tVun h3-
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') i `+B4I8[
1 o|T
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) Sr&T[ex,.
vVAb'`ysv
}'lNi^"XL
Uan ,H1a
2．4非线性方程式的实根 yLW/ -%I#u
e&2wdH&
要求任一方程式的根有三步骤： vh
&G Ib
9 RxO7K
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， DF'8GF&Rp
;`kWpM;
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 H>?F8R_iq
!h>D;k6 e
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 1 ~'_K9eE
%fv)7 CRM
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 {rC~ P
-u|l }}bh
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 %,|ztH/ Q
!q A8Zky_
例一、方程式为 X2gz6|WJ
OC_M4{9 /
sin(x)=0 v)):$s?WB
|) Pi6Y
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： A
W)a">|
uUG*0Lj
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 o Eu> }JD
m" Qq{p|'
r=3.1416 s*Ih_Ag=:
0+EN@Y^dAV
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 ,)h)5o(?
B
wC+ov=
r = 6.2832 ;LRW
8 W d
$b>}C= gt
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： 5h8o4
Z)&D`RCf
>> x=linspace(-2,3); cS|VJWgTZ
z856 nl
>> y=humps(x); =Ikg.jYq&F
6GYtY>
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 4DLq}v
-[R!O'N9
nxaT.uF d1
Bf]$X> d
+;q.Y?
`.=sTp2rbc
_8><| 3d
n#*`!#
t`G)b&3_O
'<@=vGsye
;;V\" 7q'
47UO*oLS
+ a|/l
}nu d
jtKn3m7 +p
>> r=fzero('humps',1.2) ~]WVG@-
] ,lV}Mlg*
r = 1.2995 [B^ G-
!e3YnlE
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 X=~V6m
`cr(wdvI
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： ._ CP%
R
9"sDm}5%
% m-function, f_1.m S wH2$: f
#Hu~}zy
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 PlCc8Zy
_:J*Cm[q
y=x.^3-2*x-5; S >Z|) I
k0H#:c}
>> x=linspace(-2,3); c
~F dx
-<N&0F4|*
>> y=f_1(x); o a<q /
8#LJ * o
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 j@1)K3Hga
%<Q*Jf
eT hy+
Yrn"saVc,
F}X0',
mBk5+ KyT
!/I0i8T
]hTb@.
SEF6B45}1
@Doyt {|T
Z=+03
ii4B?E
\ijMw
c3xl9S,5
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 Hs0pW5oZ
?tYpc_p#
r = 2.0946 rwqv V ^
&35|16z%@
>> p=[1 0 -2 -5] U G[e//m
\4bWWy
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 `M@Ak2gcR+
cF+ X,]=6
r = 8 i 0
&M"ouy Zo9
2.0946 [}o~PN:sT(
<GIwRVCU
-1.0473 + 1.1359i F0dI/+
/"#4T^7&
-1.0473 - 1.1359i `
2%6V)s
/c-nE3+rn
2．5线性代数方程（组）求解 KCR N}`^
M##';x0
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 JMyTwj[7
bEH
de*q(
AX=B rT7^-B*
$Ua56Y
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 =Hu0 v }i/
B BL485`
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 t[C1z
OtUr GQP
如果将原方程式改写成 XA=B }ot"Sx\.
y?z\L
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 _p}xZD\?,
hR)2xz
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 x:z0EYL
/iM$Tb5
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 <8o(CA\
1]OSWCEm*[
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： }NmNanW^
45+ {nN[
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 ;e s^R?z
-l*g~7|j
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 >|udWd^$3
\cySWP[
>> X=A\B % 先以左除运算求解 ;# anZC;
lF4u{B9DM
X = % 注意X为行向量 zQ8!rCkg4
I4e+$bU3
-2 ^PqF< d6
l?E|R Kp
5 hKe30#:v
8 %Sb+w07
6 >)4YP*qIPb
+1`t}hO
>> C=A*X % 验算解是否正确 vv5i? F
Jh@_9/?
C = % C=B t9
F=^ )s
'ZHdV,dd
10 jPJAWXB4a
.b>TK
5 %|IUq jg
M7dU@ Ag
-1 SgM.B
W{Q)- y
>> A=A'; % 将A先做转置 *e4TSqC|
NoDZ5Z
>> B=[10 5 -1]; a W;aA'!
E_:QS y5G
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 f`P9ku#j}
C7qYiSv
X = % 注意X为列向量 YD_]!HK}
Y
62r
10 5 -1 ujzW|HW^v
<Oz66bTze
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
