2．1微分 FJp~8
x=
u
z4P
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： 80&JEtRh
*Jmy:C<>
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 ygWo 9?
2^E. sf$f
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 NK$k9,
2u *o/L+
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 *(PGL YK
m/Q@ -
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 op/HZa
:hwZz2Dhi
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 l~!\<, !
-s,^_p{H
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： 0.~QA+BD:S
tTLD6#
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; (XX6M[M8
Ky8sLm@
>>S2 = 'sin(a)'; q+> {@tP9
cuB~A8H#}
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; |Eu_K`
z\sy~DM;>
>>diff(S1) O1ofN#u
J;Xh{3[vO
ans=18*x^2-8*x+b p'0j db :S
l|/ h4BJ'
>>diff(S1,2) g G> 1
A{bt
Z #k
ans= 36*x-8 P| !G XkS
4askQV &hj
>>diff(S1,'b') \A6MVMF8
~>VEg3#F
ans= x M$B9?N6
1y2D]h /'
>>diff(S2) _[<R<&jG
j #f+0
ans= w-C ~
Ik
*!$4
cos(a) V}. uF,>V
iKnH6} `?U
>>diff(S3) me_DONW
.0:BgM
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 h3Nwxj~E
J}c57$Z
>>simplify(diff(S3)) XI}
C|]#
Z3g6 ?2w6
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 *p`0dvXG 2
AjKP -[
2．2积分 HgvgO\`]
I L 'i7p
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 Uq5 wN05
`KqMcAW
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： m4 b fW
5+vCuVZ
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 \V
/s
% 6+J]U
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 3FT%.dV^
L$=@j_V2
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 (o~f6pNB,
7F5 t&
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 !C
* %,Ak
1t_$pDF}
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 7-6Z\.-
}`8g0DPuD9
我们示范几个例子： 9I0/KuZd
O
]sjYxe
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 1sl^+)z 8
BIEc4k5(
>>S2 = 'sin(a)'; M>D 3NY[,
IT!
a)d
>>S3 = 'sqrt(x)'; )z&0 g2Am
+-&N<U
>>int(S1) :@jhe8'w
)SQ*"X4"
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x )8kcOBG^L
]:i
:QiYD
>>int(S2) ,Xs%Cg_Ig
C9 E l {f
ans= -cos(a) .j:.?v
.F:qJ6E
>>int(S3) zWoPa,
YLmzMD>
ans= 2/3*x^(3/2) xT70Rp(2po
#P.jl pZk
>>int(S3,'a','b') ("0@_05O H
xB_F?d40T5
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) W.iL!x.B@
xoF]r$sC8
>>int(S3,0.5,0.6) e:hkWcV
`,i'vb`W#b
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) Vo}3E ]
lE:X~RO"~
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 nv1'iSEeOl
'bG L@H
ans= 0.0741
=]&?(Gq
Q];gC{I
2．3求解常微分方程式 !-b4@=f:
_+g5;S5
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， .Cda OWM7
La48M'u
condition则为初始条件。 2ME"=! &5
)k01K,%#)
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 Bzn{~&i?W:
x^ Tjs<#
y'=3x2, y(2)=0.5 f I>>w )5
4b=hFwr[?
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 hO(8v&ns3
Hy5_iYP5
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 {[G2{ijRz
JIvVbI
对应上述常微分方程式的符号运算式为： Kdh(vNB>
bhe~ekb
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') t5mI)u
3#huC=zbf
ans= x^3-7.500000000000000 Q W #]i
]UKKy2r.
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 W Xu:mv,'e
t W 53&q\=
,Q4 U<`ds!
0cZyO$.
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') ;l>
xXSB7$
}uo5rB5D
ans= atan(x^2+1) D5fJuT-bp
F>jPr8&
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') @?iLz7SPk
v ~. X
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) (-*NRY3*
r@FdxsCnGM
Mf7Q +_!
}qmBn`3R
2．4非线性方程式的实根 K];nM}<
R 5 47
要求任一方程式的根有三步骤： ,/6V ^K
y[[f?rxz>
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， t ^ L XGQ
w{k8Y?
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 'c 5#M,G~
K y~
9's
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 kB1]_v/
W[PZQCL}K)
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 ( 1H_ V(
},'hhj]O
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 g0Qg]F5D~
1rh\X[@
例一、方程式为
hh<5?1
jC+>^=J(
sin(x)=0 }MP2)6
1)(p =<$
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： ha
P`6
T;|VDk
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 @QI]P{
y _J~n 9R
r=3.1416 #<f}.P.Uc
-v?,{?$0
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 6 G X'&z
^@l_K +T
r = 6.2832 rubqk4
#n %?}
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： 58zs% +F
?GqFtNz
>> x=linspace(-2,3); 0CS^S1/[B`
#@H{Ypn`
>> y=humps(x); EquNg@25W
MbLG8T:y
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 C>7Mx{ !H
t+}@J}b
(y|{^@
[W=%L:E a
wpu]{~Y
&b,.W; +
pC(AM=RY!
hKtOh
8= gr F
r4t|T^{sl
}Bw=2 ~
]Vhh x`0
T[a1S ?_*T
z
V\ch0i
1
>> r=fzero('humps',1.2) q_>DX,A
\<|a>{`7]i
r = 1.2995 AKx\U?ei7
gXI_S 9 z
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 Djx9TBZ5
/eDah3%d
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： U#G
uB&V
I@cKiB
% m-function, f_1.m G+4a%?J H
OzBo *X/p
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 a1ZGMQq!
1pXAPTV
y=x.^3-2*x-5; 95(c{
l/
[ /*$?PXt
>> x=linspace(-2,3); m hJ>5z
(HLy;^#R
>> y=f_1(x); i051qpj
JeMhiY}
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 w$A*|^w1
5{ #9b^
FU!U{qDI
m#,
F%s
hw_7N)}
0LoA-c<Ay
v3S{dX<
H ;*:XLPF
X X{:$f+
L3Ry# uw
T7m rOp
)ty
*_@N0
;Iw'TF
0'^? m$
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 6#N1 -@
0VoC|,$U
r = 2.0946 ~F ZLA}
PNT.9 *d
>> p=[1 0 -2 -5] `]5XY8^kI
8(KsU,%d
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 ~/3cQN^
g%j z,|
r = po=*%Zs*T
dyWW gC%A
2.0946 - 2> L*"^
p: sn>Y
-1.0473 + 1.1359i b_V)]>v+
FD| R4 V*3
-1.0473 - 1.1359i LU?#{dZ
rorzxp{
2．5线性代数方程（组）求解 d q:M!F
~l6e&J
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 }E>2U/wpXY
U {>!`RN
AX=B )yJe h
2: pq|eiF
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 >z^T~@m7l
ys+?+dY2
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 l*'8B)vN2
pKEMp&geo
如果将原方程式改写成 XA=B q6j]j~JxB
2d.I3z:[
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 BC@"WlD
IZAbW
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 a pY m,_
d_5h6C z4
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 TlBLG.-^
^D.B^BR
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： B|, 6m 3.
}O1F.5I1
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 S^x9 2&!
rEAPlO.Yp
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 +nJ}+|@K
w_U5 w
>> X=A\B % 先以左除运算求解 ;F5B)&/B
*D<sk7
X = % 注意X为行向量 2tWUBt\,g
Ce_Z
&?
-2 ;quGy3
` gss(o1}
5 v(: VUo]H
;U7 \pc;S
6 k*!J,/=k
DJn>. Gd
>> C=A*X % 验算解是否正确 '6 /uc :zv
S0 yPg9v
C = % C=B t?0=;.D
YF:NRY[i
10 Ak_;GvC!
fi?[ e?|c@
5 3c9[FZ@ya
}`_2fJ6
-1 E'r*
g{,
G*"N}M1)
>> A=A'; % 将A先做转置 -%t0'cKn,
d!gm4hQhl
>> B=[10 5 -1]; ^mz_T+UOe
J,~)9Kh$
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同
6&u,.
-8pHjry'q
X = % 注意X为列向量 tICx Ap:
JI*ikco-
10 5 -1 lN1zfM
7=<PVJ*/
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
