2．1微分 5qGGu.$Ihi
eVTO#R*'|
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： T{ok +$w 2
rYbCOazr
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 #0(fOHPQ
}lH;[+u3
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 4AJ9`1d4
`nKJR'QC
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 Il|GCj*N
Q
Qi@>v|d
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 0Qt~K#mr/
y`({ .L
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 T=.-Cl1A
ATo}FL 2
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： $%B5$+
6I"C~&dt
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; (p^S~Ax
JXL'\De ;
>>S2 = 'sin(a)'; [~t yDLC
::ri3Tu
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; KLW&bJ$|j
KA?v.s
>>diff(S1) !h?=Wv
==]
Q~8y4=|#CY
ans=18*x^2-8*x+b QOd!]*W`?m
v3~FR,Kl
>>diff(S1,2) `6UtxJSx
,^HS`!s[ E
ans= 36*x-8 yYg
.3( ;9};
>>diff(S1,'b') l`* ( f9Q
X h`"
ans= x u" \=^F
pG~'shD~Dn
>>diff(S2) 4AuH1m)<
w?*j dwh,'
ans= :4U0I:J#
x`#22"m
cos(a) 1b8c67j[
,b4g.CV
>>diff(S3) L*9H#%3
9Eu #l V
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 xuF5/(__
^:+Rg}]W^
>>simplify(diff(S3)) dok) Je
V\"1wV~E
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2
RvR:e|
22|"K**3J|
2．2积分 'd+ :D'
l YP~3wp99
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 [t$4Td d
[1Uz_HY["3
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： BD4`eiu"
V!W1fb7V
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 rtus`A5p
_=?2 3
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 W~<m[#:6C
7pP+5&*
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 so*/OBte
4
A5 t*e
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 =tn Tdp0F
/7x\;&bc
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 z,avQR&
:pb67Al29
我们示范几个例子： /h7.oD8CU
ODek%0=
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ~GA8_B
jFG5)t<D
>>S2 = 'sin(a)'; p&\K9hfi
e6 2y
>>S3 = 'sqrt(x)'; BKX 9 SL]
>(OYK }ZN
>>int(S1) \q,s?`+B
i%MA"I\ 9
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x -,|ha>r
g}m+f] |
>>int(S2) c_Tzyh7l4
Qm; BUG]
ans= -cos(a) JN|VPvjE
> T QZk4$
>>int(S3) rd">JEK;;
xD4$0Ppu
ans= 2/3*x^(3/2) +aj^Cs1$
rFfy#e
>>int(S3,'a','b') 0E1=W 6UZ
Z}+ yI,
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) I-bF{
1AT'S;`
>>int(S3,0.5,0.6) -;U3w.-
5uttv:@=
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) _Z.cMYN
~z`/9 ;
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 '#<> "|
; y OD
ans= 0.0741 ;NP[_2|-,
y?Onb 3%
2．3求解常微分方程式 : ~D]; m
ABZ06S/
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， Hd374U<8]T
[;Fofu Z
condition则为初始条件。 cQn)^jx=
R 6<4"?*r
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 a,cC!
n,sY \=vB
y'=3x2, y(2)=0.5 > H~6NBd5D
2( _= SfQ
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 wVE:X3Ei
(6clq:c7j
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 )
$#(ZL^m
b2s~%}T
对应上述常微分方程式的符号运算式为： :".w{0l@
+Vy_9I(4Z
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') :XYy7x z<
s:b" \7
ans= x^3-7.500000000000000 C_Gzv'C"L
'evv,Q{87
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 Yf= FeH7"
sOz sY7z3Z
5(#-)rlGj
VaJfD1zd1
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') uy9 !qk
t!t=|JNf{
ans= atan(x^2+1) H`el#tt_
)*D 'csGc
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') + K k@Q
?ZX!7^7
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) F~R7~ZE
GO~k '
B6%&gXr\
jI0]LD1k
2．4非线性方程式的实根 y<*-tZV[
l[*sHi
要求任一方程式的根有三步骤： @c]Xh:I
6p m~sD
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， 2*Q3 .2 Z
u* 2JUI*
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。
W_}/ O'l{
L;yEz[#xaT
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 Xm@aYNV
t 7^D-l
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 w+=Q6]FxJ
$
S~%Ks C
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 pBU]=[M0
kFwxK"n@C
例一、方程式为 Nv3tt
? d5h9}B
sin(x)=0 hVf^
>qpqQ;
bm
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： lD3)TAW@o
> UWStzH<
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 N9`97;.X
iRs V#s
r=3.1416 ^1VbH3M
OoM_q/oI
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 c/'M#h)"
X+at%L=
r = 6.2832 r0Z+ RB^I
jb 3.W
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： i| 4_ m
TPK @*9rI
>> x=linspace(-2,3); |D<+X^0'
S &01S X6
>> y=humps(x); j sZY{s=
n$W"=Z;`
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 xlw 2g<s
" 5|\X<f
WIG=D{\Yx
,R~eY?{a
g ;LVECk
k* Pz&8|
fYn{QS?
WgPgG0VJE
H%C\Uz"o
$T/#1w P
f~*K {7
HamEIL-l.
)E~ _rDTl
ppFYc\&=
:'Xr/| s
>> r=fzero('humps',1.2) {82rne `[
MWhwMj!:m
r = 1.2995 6w!e?B2/%
o8tS
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 /{R3@,D[]
OpqNEo\
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： }$:#+
(17
lR}%)3_k
% m-function, f_1.m PY -+ Bf
gQR1$n0
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 +f|6AeE
MHl^/e@
y=x.^3-2*x-5; 5m`[MBt2g
T<M?Pl ED
>> x=linspace(-2,3); 1 7i$8
z{M8Yf |
>> y=f_1(x); oAnigu;
lC2?sD$
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 e`AUYl i"
IXJ6PpQLv
B.6`cM^
*:j-zrwu&
3KT_AJ4}
{U6" ]f%
M8zE3;5
AWL[zixR
~lk@6{`l|1
3 &9zGy{V+
( Com,
f8#*mQ
E NyAF%6
$l#{_~
"m7
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 o$\tHzB9!A
V Y_f =
r = 2.0946 ~$ *`c O
V4EM5 Z\k
>> p=[1 0 -2 -5] O8[k_0@
[
t$AavU.
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 3`ml;
L? D
[9HYO
r = =%L@WVbM
/sV?JV[t
2.0946 0#
l#,Y6#I
9M]^l,
-1.0473 + 1.1359i Ph
Ttx(!
[G=:?J,P
-1.0473 - 1.1359i u>m'FECXj
Vpw[B.v
2．5线性代数方程（组）求解 on_H6Y@B52
T*R{ L
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 hMWo\qM
wB 2}uk7
AX=B c(E,&{+E
vs \|rLa
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 UFIjW[h
zu C5@jy.x
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 L:i+}F;M)s
sNf
+ lga0
如果将原方程式改写成 XA=B e z+yP,.#
19) ! $Hl
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 Y!it!9
c(CJ{>F%
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 EZ `}*Yrd
1xIFvXru
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 r*]uR /Z$
? o sfL
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： VW~Xbyf
Zsgi{
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 s_v }=C^
s|E%~j[9
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 @ce3%`c_
9GE]<v,_[
>> X=A\B % 先以左除运算求解 pW7kj&a_.
mQL8QW[c
X = % 注意X为行向量 -aT=f9u
}|,EU!nDi
-2 7g8B'ex J
`T`c@A
5 #.b ^E3#+
gLV^Z6eE
6 YMK> +y[+4
I X?@~'
>> C=A*X % 验算解是否正确 l)H9J]
p8_2y~ !
C = % C=B a 1NCVZ
#]igB9Cf)w
10 n-W?Z'H{r
Z<I[vp 6{
5 o:4CI
'/dTqg*W
-1 ^h`!f vyH
Y6+k9 $h
>> A=A'; % 将A先做转置 sb 8dc
hg{ &Y(J!U
>> B=[10 5 -1]; XA ?WUR[e
s
8Jj6V
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 lR, G;
F-$Kv-f
X = % 注意X为列向量 uO 6c3|Zjs
\ x:_*`fU
10 5 -1 )S#j.8P'B
yTP[,bM
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
