2．1微分 yb\ T< *
5_ !s\ 5
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个：
aJdd2,e
MA b*4 e#
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 >g+yw1n C
VK qIFM1b
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 }OL?k/w
/H3z~PBa
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 Pq u]?X
$KHw=<:)/
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 LDc?/
Z1
C9OEB6
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 Ve)P/Zz}^
K2|2Ks_CS
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： _Wg?H: \
:{B D/6
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; A#k(0e!O
= p{55dR
>>S2 = 'sin(a)'; Lz6b9W
Pw+ PBIGn4
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; XB0G7o%1
w IQ~a
>>diff(S1) =>3wI'I
G5A:C( r
ans=18*x^2-8*x+b UI2TW)^2
e<A6= }
>>diff(S1,2) 3u[m? V w
? TWve)U
ans= 36*x-8 - +y lJo[D
fJ<I|ZZ
>>diff(S1,'b') (w[#h9j
J,(@1R]KF:
ans= x 03p D<
N>
7sG(!'"
>>diff(S2) qtrN=c3x
%B}<5iO
ans= NVnId p
8FT]B/^&m
cos(a) A:b(@'h
Y N]xI
>>diff(S3)
B_Ul&V
aC90IJ8^
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 ~F"<N q
Ah 2*7@U
>>simplify(diff(S3)) #)r^ZA&E
Sy@)Q[A
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 [g<Y,0,J
YuX CRw9p;
2．2积分 t| PQ4g<
~ k"r
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 jlxY|;gZ-0
PfR|\{(
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： 0 i'bo*
yopC
<k
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 jFDVd;#CS
vmzc0J+3p
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 HVd y! J
m>{ a<N
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 VQ"Z3L3-4
?kI yo
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 ]z#+3DaH
CM%Rz-c
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 ;A6%YY
'aWqj+Wbh
我们示范几个例子： #My14u
l "zA~W/
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ;9CbioO
q4#$ca[_ak
>>S2 = 'sin(a)'; UY6aD~tD0
5jq @ nq6
>>S3 = 'sqrt(x)'; A` ~R\ j
2$OV`qy@?
>>int(S1) v,'k 2H
1=Kt.tuf
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x \ 5.nr*5
Sa[?B
>>int(S2) qRSoF04!R
6: ~<L!`&
ans= -cos(a) Oq^t[X'
/3#h]5Y"T
>>int(S3) E~@&&d U8
enx+,[
ans= 2/3*x^(3/2) eQz.N<f"
Gr UpATIx
>>int(S3,'a','b') )K8 ^}L,
4_ D
*xW
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) .-'_At4g
+z wS [P@
>>int(S3,0.5,0.6) #<~oR5ddlb
2"T
b><^"
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) K?nQsT;3p
TMGYNb%<bX
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 /mA\)TL|]
.i {yW
ans= 0.0741 w\mT ug
e*}*3kw)T
2．3求解常微分方程式 &q&~&j'[
[+d ~H e
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， !</U"P:L
lVuBo&
condition则为初始条件。 *LMzq9n3o
pIV |hb!G
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 /!J xiGn
_ &(L{cFx6
y'=3x2, y(2)=0.5 ^OV!Q\j.q
P*jiz@6
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 d~MY
z6"
] g<$f#S
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 H<}|n1w<
3ZC@q
#R
A
对应上述常微分方程式的符号运算式为： -Bq]E,Xf)
y #C9@C
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') q %j8Js
fW C(L s
ans= x^3-7.500000000000000 OLtXk
M3elog: M
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 yN)(MmX'1
$} IG+ ,L
ck%.D %=
'gXD?ARW
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') rg ; 4INs#
Z
t4q=
Lr
ans= atan(x^2+1) <2oMk#Ng^
e$teh`
p3
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') p0y|pD
skXzck
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) >Tjl?CS
nGwon8&]]
p s?su`
*- ~GVe
2．4非线性方程式的实根 am !ssF5s
YcV^Fqi!
要求任一方程式的根有三步骤： .%dGSDru
`\|@w@f|;
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， l]~9BPsR
x4 PzP
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。
B|V!=r1%
Tt9 cX}&&
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 K2e68GU
e`U
6JzC
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 "+4Jmf9
WO{7/h</
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 0 'THL%lK
Kxa1F,dZ
例一、方程式为 l.]wBH#RS
3UmkFK<
sin(x)=0 "g)bNgGV}
5 !S#}=f=
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： {chZ&8)f
mn=b& {')e
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 TDbSK&w :s
q5S_B]|
r=3.1416 <wb6)U.
6$:Q]zR#'H
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 IiRQ-,t1
&;pM<h
r = 6.2832 z. X
hE \
[B`4I
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： /\<x8BJ
bM5V=b_H
>> x=linspace(-2,3); LLT6*up$
^fe,A=k~1
>> y=humps(x); 16]Ay&Kn!
~4Gc~ "
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 TmftEw>u
iPV-w_HQ
KAD2_@l
8m=R"
%h
%FM26^
ja~Dp5
R) :Xs .
@k)J
i!7
)+'=Zvgej=
GDC@s<[k
?H,f|nc
=n ,1*
R`DzVBLl
+jZa A/
J5F @<vi
>> r=fzero('humps',1.2) 1kpw*$P0
WEX7=^k9
r = 1.2995 <9
^7r J
&L5
)v\ z
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 kppi>!6
~XP |dn}
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： mjg@c|rTG
O I6 Mx$
% m-function, f_1.m *xpn-hCp<
2Sa{=x
N)
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 ?D2a"a$^
~GX
]K H
y=x.^3-2*x-5; Yq51+\d
+>1?ck
>> x=linspace(-2,3); c1i:m'b_5
1goRO
>> y=f_1(x); 8<T~AU8'*
*yw!Y{e!9
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 _0gdt4
d>mZY66P
- E GZ
J
;z`bk^
#BcUE?K*N
g.di3GGi
*S.FM .r
gCPH>8JwS0
[pp |*@1T
r,.j^a
,aUbB8
f 42F@M(:
/;Hq v`X7
ogQfzk
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 .TdFI"Yn
CUG"2K9
r = 2.0946 !*~QB4\2b
^78N25RU(
>> p=[1 0 -2 -5] { V(~
W!\%v"
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 a}f /<-L
5NN;Fw+
r = )4qs py3
sT!?nn3O`
2.0946 |;~2y>E
Or?c 21un
-1.0473 + 1.1359i W ) .Kq-
'{.4~:
-1.0473 - 1.1359i R\&z3<-S
U7j Dm>I
2．5线性代数方程（组）求解 Q <D_ QJ
+FadOx7X$
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 b :~#;$g
K n1; =k
AX=B f&^"[S"\f
!idVF!xG
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 ;T0X7MNx
ohx$ ;j
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 @J 5TDq @
# }}6JM
如果将原方程式改写成 XA=B Dzu//_u
s:xJ }Ll
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 GXD<X_[
Tq )h AZ
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 <Fx%P:d
V[*>}XQER
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 bfncO[Q ,?
gfI S
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： 11#b%dT
TW(X#T@Z6I
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 wzx V)1jT
/({oN1X>i
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 N;-%:nC
J
%A=
>> X=A\B % 先以左除运算求解 )7+z/y+[n
eXnSH$uI
X = % 注意X为行向量 5 RWqHPw+
iZ}c[hC'3`
-2 ^W@8KB
Xr8fmJtg'
5 dr&G>
2!W[ff@~7
6 >\:GFD{z
Ths~8{dMb
>> C=A*X % 验算解是否正确 <Rn-B).3bs
B-KMlHe
C = % C=B _U4@W+lhX_
O9?.J,,mVh
10 P* &0HbJ
7 qn=W
5 w[ 3a^
Btzes.
-1 ?<N} Xh
(*6 .-Xn
>> A=A'; % 将A先做转置 z>,t P
hPz=Ec<zW
>> B=[10 5 -1]; WH39=)D%u
,66(*\xT
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 p&<n_b
(91ts$jH
X = % 注意X为列向量 NV(jp'i~
C|IHRw`[
10 5 -1 K2n#;fY %
kjsj~jwvv
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
