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    [推荐]MATLAB入门教程-数值分析 [复制链接]

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    离线cc2008
     
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    只看楼主 倒序阅读 楼主  发表于: 2008-10-21
    2.1微分   @6\8&(|  
    /@0wbA  
    diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个:   .uhP (  
    [ z?<'Tj  
    diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值   F77~156  
    :}Z+K*%o-  
    diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值   <jxTI%'f59  
    z7NaW e  
    diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值   ~}uTC36C\  
    %KqXtc`O  
    diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值   ,<%],-Lt[  
    4\t9(_  
        数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。   m#Rll[  
    @@+\  
        先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项:   P>:"\I[  
    'y@0P5[se  
    >>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';   [N{Rd[{QTL  
    }E*#VA0/nY  
    >>S2 = 'sin(a)';   gQ& FO~cr  
    0nBAO  
    >>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)';   &ceZu=*  
    k kY*OA  
    >>diff(S1)   3rs=EMz:w  
    9"&HxyOfX  
    ans=18*x^2-8*x+b   Tf` ~=fg%  
    7GpSWM6  
    >>diff(S1,2)   y;uk|#qnPS  
    <wa}A!fu  
    ans= 36*x-8   gJ:Z7b  
    B|#"dhT  
    >>diff(S1,'b')   DT;Hr4Z8^"  
    zcDVvP  
    ans= x   uYF_sf  
    Y!}BmRLh2  
    >>diff(S2)   $kg!XT{ V  
    Jgb{Tl:r  
    ans=   T~_+\w  
    0Bb amU  
    cos(a)   s<tdn[d  
    4k}u`8 a  
    >>diff(S3)   BoXQBcG]w  
    !'MZeiLP  
    ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3   a,!c6'QE  
    [26"?};"%  
    >>simplify(diff(S3))   v:eVK!O  
    xrp%b1Sy  
    ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2   T-uI CMEf  
    *o`bBdZ  
    2.2积分   [.;VCk)0x  
    l\JoWL  
    int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 o=7 -&F.  
    Od)]FvO  
    分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个:   a8Nl' f*0  
    ^dld\t:tV7  
    int(f) 传回f对预设独立变数的积分值   M5CFW >T  
    R=xT\i{4h  
    int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值   L6O* aZ|  
    {a\m0Bw/  
    int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式   ^F/N-!}q  
    ">j}!n 8J  
    int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式   NN>,dd3T  
    zvL;.U  
    int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式   I5 "Z  
    T32C=7  
    我们示范几个例子:   .IE2d%]?  
    Lp.,:z7  
    >>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';   /z.Y<xOc  
    KQ9~\No]  
    >>S2 = 'sin(a)';   n>" 0y^v  
    1.6yi];6  
    >>S3 = 'sqrt(x)';   IXDj;~GF  
    nRzD[ 3I  
    >>int(S1)   D37N*9}  
    @2nar<  
    ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x   >,yE;zuw  
    %4*-BCP  
    >>int(S2)   S-NKT(H)c  
    5B< em  
    ans= -cos(a)   `A_CLVE  
    Kc$j<MRtv  
    >>int(S3)   4V@raI-  
    d="Oge8  
    ans= 2/3*x^(3/2)   -~n^?0  
    dDK4I3a  
    >>int(S3,'a','b')   1RgtZp%  
    ["TUSf]  
    ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2)   l 8qCg/ew  
    d"`/P?n x  
    >>int(S3,0.5,0.6)     t6(LO9Qc  
    !<BJg3  
    ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2)   Z?ZiK1) K  
    P/6$ T2k_  
    >>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值   *-'u(o  
    NCR 4n_  
    ans= 0.0741   aDce Ohfx  
    E!nEB(FD  
    2.3求解常微分方程式   VbyGr~t  
    .0+=#G>  
       MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ,     T#KF@8'-  
    6Lj=%&  
    condition则为初始条件。       O< [h  
    ?-C=_eZJ  
    假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件       BPs|qb-  
    [CxnGeKK  
    y'=3x2, y(2)=0.5     z=%&?V  
    R!{^qHb  
    y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25       +}1h  
    w*#B_6bG  
    y'=3y+exp(2x), y(0)=3     v% a)nv  
    r*_z<^d  
    对应上述常微分方程式的符号运算式为:       WRrCrXP  
    %EV\nwn6  
    >>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5')       #@%DY*w]v  
    ^F\RM4|,  
    ans= x^3-7.500000000000000       OD{()E?1B  
    Uao8#<CkvJ  
    >>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相       0> {&8:  
    T1$=0VSEa+  
    W;L<zFFbU)  
    E&>3{uZI  
    >>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4')       )bqSM&SO  
    ^i+ d3  
    ans= atan(x^2+1)     76 nrDE  
    n1!hfu7@s  
    >>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3')       .kwz$b+h  
    b-!+Q)  
    ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x)     m{#?fR=9  
    f wE b  
    2-G6I92d  
    2:[ -  
    2.4非线性方程式的实根   yBKEw(1  
    G42J  
        要求任一方程式的根有三步骤:     JJC Y M  
    z3Id8G&>  
        先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, 3(o}ulp  
    /6fa 7;  
    则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。   WzinEo{ f  
    Sjb[v  
        代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。   !V.2~V[^M  
    j(xVbUa  
        由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。   )\aCeY8o  
    qe/dWJBa  
        以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。   ` |uwR5  
    v[l={am{/  
        例一、方程式为   ccR#<Pb6q  
    OkNBP 0e}  
        sin(x)=0   #!.26RM:P  
    WNnB s  
        我们知道上式的根有 ,求根方式如下:   s2f6;Yc  
    \:mZ)f3K=  
    >> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根   |(eRv?Qy@  
    t/$:g9V%FA  
      r=3.1416   Nh^ lC  
    &0`[R*S  
    >> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根   C(Cuk4K  
    u=QG%O#B  
    r = 6.2832   Qr.SPNUFK  
    MA`.&MA.  
        例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下:   D`4>Wh/H  
    DYf3>xh>xb  
    >> x=linspace(-2,3);   1XppC[))  
    #r,LV}*qg  
    >> y=humps(x);   *`]#ntz9  
    5mqwNAv  
    >> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 9cqq"-$G`  
    c3__=$)'kP  
       #@UzOQ>  
    0Z4o3r[  
    1CmjEAv%/  
    e+~Q58oD  
    P->.eo#VG  
    ,&F4|{  
    c0U=Hj@@  
    rYI7V?  
    x{_3/4  
    EEJ OJ<  
    %G`GdG}T  
       |& Pa`=sp  
    z)_h"y?H{%  
    >> r=fzero('humps',1.2)   }7HR<%< 7  
    AZH= r S`  
    r = 1.2995   umuE5MKY<  
    H&*KpOL  
    例三、方程式为y=x.^3-2*x-5   5jey%)=  
    &;2@*#,  
        这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下:   o;"Phc.  
    `^mY*Cb e  
    % m-function, f_1.m   ))xP]Muv  
    #a+*u?jnnL  
    function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数   ""W*) rR   
    i_{b *o_an  
    y=x.^3-2*x-5;   ^Q9!DF m  
    cii! WCu  
    >> x=linspace(-2,3);   efrVF5,y?  
    I&JjyR  
    >> y=f_1(x);   mmvo >F"  
    W[SZZV_(tu  
    >> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根   7^FJ+gN8b  
    mx=2lL`  
       Oe)B.{;Ph  
    6 k+4R<  
    &cf(}  
    #`o]{UfW  
    GX#SCZ&}C  
    _j sJS<21  
    yKB&][)&  
    6d{&1-@>  
    $'%.w|MJp  
    \'hZm%S  
    8Cef ]@x  
    4N[KmNi<  
    >> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根   $mu*iW\{  
    ! _p(H  
    r = 2.0946   ,)35Vi;.  
    TsF>Y""*M  
    >> p=[1 0 -2 -5]   Q4h6K 7  
     Op5S'  
    >> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证   2Fc>6]:*  
    T=,A pa  
    r =   LK:Jkjp^  
    ;hb_jW-0W  
    2.0946   3R& FzLs  
    C8W4~~1S  
    -1.0473 + 1.1359i   ;"w?@ELE  
    =;(y5c  
    -1.0473 - 1.1359i   11YpC;[o  
    3%L@=q  
    2.5线性代数方程(组)求解 4GqwY"ja  
    >m+Fm=  
        我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下   9/#?]LJ  
    )%wNVW 0C  
         AX=B   > e"vP W*[  
    f)19sjAJk  
    其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项   wCgi@\  
    \'CA:9V}  
    要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。   <`?V:};Q  
    &w%--!T  
        如果将原方程式改写成 XA=B   o2rL&  
    p;Nq(=] \  
    其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项   4A)@,t9+  
    v%@)I_6[P  
        注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。   b6UpE`\z  
    #?C.%kD  
        若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。   9>k_z&<  
    *Xl,w2@  
        我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法:   sR;u#".  
    ({0:1*lF@  
    >> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入   @! {Y9k2  
    ZxB7H{  
    >> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置   {Jc.49  
    I=2b)"t0  
    >> X=A\B % 先以左除运算求解   F1u2SltR  
    Tfp^h~&u  
    X = % 注意X为行向量   u'; 9zk/$  
    J%FF@.)k  
    -2   i:60|ngK  
    UY (\T8  
    5   7yQw$zG,Iz  
    Hu$y8_Udw  
    6   B!1h"K5.($  
    tID=I0D  
    >> C=A*X % 验算解是否正确   M(?0c}z  
    ha?M[Vyw4Q  
    C = % C=B   8Dkq+H93  
    weH3\@  
    10   5x"eM=  
    =2@ V}  
    5   0.[tEnLZ  
    <q&4Y+b  
    -1   #%g>^i={ky  
    "0 $UnR  
    >> A=A'; % 将A先做转置   DY\~O  
    8"}8Nrb0  
    >> B=[10 5 -1];   ' eh }t  
    Kay\;fXT  
    >> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同   a}Z+"D  
    e2yCWolmTS  
    X = % 注意X为列向量   m/3,;P.6  
    xqb*;TBh*  
    10  5  -1   SuXeUiK.[  
    8Si3 aq3  
    >> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
     
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    只看该作者 1楼 发表于: 2008-10-30
    很感兴趣!!!!!!!!!!
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    只看该作者 2楼 发表于: 2009-03-21
    要文件啊·····
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    只看该作者 3楼 发表于: 2009-03-28
    谢谢,我们正要开课呢
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    只看该作者 4楼 发表于: 2010-09-15
    附件呢? K:^0*5Y-k  
    离线like0508
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    只看该作者 5楼 发表于: 2011-03-28
    附件附件啊
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    只看该作者 6楼 发表于: 2012-10-19
    bu 错的介绍