2.1微分 ZiVT c/b
@B+
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: M#F;eK2pf
cN&b$8O=%
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 J]fjg%C2m
7v%~^l7:x
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 XK(<N<Z@|e
]9;WM.
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 G>*s+
KY2xKco
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值
(nvSB}?
j&Z:|WniK
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 7CrWsQl u
Q8z>0ci3o
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: i&"I/!3Q@
15Yy&9D
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 0o`0Td
l ^\5Jr03
>>S2 = 'sin(a)'; +de.!oY
VpTp*[8O
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; 8h;1(S)*Z
~w4aA<2Uq
>>diff(S1) h2h$UZIv
N
@]*E
ans=18*x^2-8*x+b rpDH>Hzq
D/@:wY
>>diff(S1,2) X#+A?>Z]}<
^t9"!K
ans= 36*x-8 HYW+,ts'
Z1^S;#v
>>diff(S1,'b') |D`Zi>lv
<<4G GO
ans= x o?/N4$&5l
N \A)P
>>diff(S2) KWN0$*4
3#0nus|=S
ans= `~pB1sS{
Hdj0! bUx
cos(a) o` ,&yq.
f-4<W0%
>>diff(S3) .:_dS=ut
!Bu<6
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 |$7!u DU8
}Ct_i'Ow
>>simplify(diff(S3)) wQ(ME7t
3cQTl5,
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 1sn!!
Njz,y}\
2.2积分 a,lH6lDk
t(Iy[-
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 X-~Q
w#XE!8`
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: 9I30ULm
8>Ervi`
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 LNk
3=v2M
fs>0{
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 0#sk ]Qz
cnCUvD]'
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 HmRwh
] p'+F
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 5
BcuLRId:
iT9cw`A^%
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 z9;vE7n!
pB?a5jpA
我们示范几个例子: +zz9u?2C`
}wj*^>*
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; R!}B^DVt
--",}%-
>>S2 = 'sin(a)'; BFj@Z'7P
_Y\@{T;^Zb
>>S3 = 'sqrt(x)'; ~]c^v'k
rYN`u
>>int(S1) 6TPcG d Z
&WvJg#f
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x '>'h7F=tY
UkXc7D^jwm
>>int(S2) y%ER51+
R%3H"FU9w
ans= -cos(a) .9nsW?
=p&6A^
>>int(S3) 8a.
|CgI#h
jnH44
ans= 2/3*x^(3/2) t'm]E2/
B>a`mFM
>>int(S3,'a','b') >`,v?<>+
fVR ~PG0
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) ;M4N=G Wd4
uVOpg]8d
>>int(S3,0.5,0.6) n (cSfT
VFA1p)n
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) Ds L]o
\ov>?5
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 y<3v/,Y
)S8q.h
ans= 0.0741 4_r8ynq{z
\4zvknk<
2.3求解常微分方程式 HT1bsY
0t
0b*a2_|8k
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , 5\QNGRu"
tEP^w
condition则为初始条件。 ?7a<V+V:
]
mP-HFl
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 z^B!-FcIz>
rD$7;
y'=3x2, y(2)=0.5 YWq[)F@0G
r=@h}TKv{I
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 >|z=-hqPK
:Q\h'$C
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 _DJ0MR~3
Txoc
对应上述常微分方程式的符号运算式为: X4%*&L
G ROl9xp2
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') rM>&!?y+
f<kL}B+,Og
ans= x^3-7.500000000000000 8oA6'%.e
-t*C-C'"|
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 YT&_{nL#\
5-]%D(y
\N"K^kR4
8^< -;
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') kO2im+y
o5Qlp5`:u
ans= atan(x^2+1) zh50]tX
D0x+b2x^
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') cteHuRd
%
qAhETZ%
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) L{gFk{@W
t.knYO)
SB
\ptF
xsAF<:S\
2.4非线性方程式的实根 w_|WberU
(G$m}ng
要求任一方程式的根有三步骤: SAo"+%
K90Zf
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, < W&~tVv
8q tNK>D
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 "aa6W
wlKL|N
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 Pv/P<i^
F ^E(AE
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 9"V27"s
pl"|NZz
7;
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 5~.\rcr%
y?5*K
例一、方程式为 H56e#:[$
&ul9N)A
sin(x)=0 SXod r}
'`3-X];p
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: %FF
S&vd
\sRRLDj%
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 I [e7Up
{[Yv@CpN
r=3.1416 .3HC*E.e
5h20\b?=$
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 f-{[ushj
Q&F@[k
r = 6.2832 CZ&TUE|:DA
'0o`<xW
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: SH`"o
OEAF.
>> x=linspace(-2,3); F;~ #\X
jN*A"m
>> y=humps(x); ~Q]B}qdm
WO}JIExy
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 !P:hf/l[B
F^Q
XhIgzaGVu
`*N0 Lbl]
4Y)3<=kDG
3]c<7vdl
PN.=])7T
%NAz(B
{) .=G
J'7){C"G$
' !_44
WV&BZ:H
^lQ-w|7(
' bT9AV%
m&$H?yXW>
>> r=fzero('humps',1.2) |"@E"Za^
G! 87F/
r = 1.2995 'wQ=b
M(2[X/t
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 v=`VDQWq
WrD20Q$9Q
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: ,-{j.
riBT5
% m-function, f_1.m zBoU;d%p>
~w$8*2D
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 MK"Yt<e(o
r^\^*FD |
y=x.^3-2*x-5; c?opVbJB\
dj]sr!q+
>> x=linspace(-2,3); 6f{ c
Kt^PL&A2
>> y=f_1(x); Qe4
U2bb|6j
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 EG 1SIEo
Q%
dpGI
Ik}*7D
|MBnRR
#~#_)\l'F
qrdA?VV
"`3H0il;<
Z4(2&t^
{$s:N&5
ZRX>SyM
TIvLY5 HG
ZU:gNO0
gZPJZN/cpz
$[>wJXj3R
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 wIY#TBu
HSUr
r = 2.0946 PDir?'
Vl'=92t
>> p=[1 0 -2 -5] HML6<U-eS
N..u<06j/
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 n;q7?KW8
W&*{j;e9%I
r = oS`F Yy
qt1#P
2.0946 yV]-![`D
\J13rL{<
-1.0473 + 1.1359i =*(d+[_
PD$'xY|1=
-1.0473 - 1.1359i S9L3/P]
=-:o?&64
2.5线性代数方程(组)求解 v |i(peA#
iD]!PaFD`
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 }U(^ QB
Ny~;"n
AX=B )0%<ZVB
gWlmQl
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 mj,r@@k:=+
w"sRK
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 '}OrFN
<8y8^m`P9
如果将原方程式改写成 XA=B C
qxP@
BHU[Rz7x
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 {<_}[} XY
8+!$k!=X
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 I m
Tq`
^6`R:SV4Gx
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 x7/2e{p
uu
l >O]Cpt
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: I,#U
_
2.x3^/
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 p*N+B
o
[OT@gp:
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 ZNx{7]=a
nyDqR#t
>> X=A\B % 先以左除运算求解 ^ ]B&7\w"t
0 @,@
X = % 注意X为行向量 0J_ x*k6
{6KU.'#iF
-2 s_kI\w4(x1
-Rf|p(SJ,E
5 ]]]7"a
~\Ynih
6 #AY+[+
!k[zUti
>> C=A*X % 验算解是否正确 rkzhN59;
8CYJR/
C = % C=B GRs ;-Jt
~#-`Qh
10 8ZahpB
pGOS'.K%t8
5 bLUn0)c
vWgh?h/ot
-1 {b+IDq`)=
6)?TWr'K e
>> A=A'; % 将A先做转置 :bh[6F
co12\,aD
>> B=[10 5 -1]; X~j
A*kmAj
f.u{;W
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 ,CvU#ab8$
|e\:0O?
X = % 注意X为列向量 @emZwN"m
*}0Q S@FN
10 5 -1 hgh1G7A&
11)~!in
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解