2.1微分 )xU+M{p-os
nvQX)Xf
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: n|H8O3@
/:
-&b#+
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 6:QlHuy0nH
//r)dN^
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 \ 6taC
(0y!{ (a
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 6j1C=O@S
-0`n(`2
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 D{d%*hlI 3
'HV@i)h0%V
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 Lf<urIF
QaE!?R
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: '.%Omc
>U\P^yU
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; pfc"^Gi8
2V; Dn$q
>>S2 = 'sin(a)'; %'. x vC
4,YL15.
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; S~m8j|3K
p/LV^TQ
>>diff(S1) l%0-W
Ke#Rkt
ans=18*x^2-8*x+b ZjY?T)WE9
T_wh)B4xW
>>diff(S1,2) t<}N>%ZO
X<W${L$G
ans= 36*x-8 3 TV4|&W;
XCxxm3t
>>diff(S1,'b') eq"Xwq*
1n6%EC|X
ans= x =%I;Y& K
T#Bj5H
>>diff(S2) "Il)_Ui
q!><:"#[G
ans= /Wl8Jf7'
w4Hq|N1-Y
cos(a) &+hk5?c /
&N/dxKZcc
>>diff(S3) jc!V|w^
H<nA*Zf2@R
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 5TeGdfu @
g#1Y4
>>simplify(diff(S3)) ^)`e}}
mL#$8wUdt{
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 211T}a
[T[]U
2.2积分 fX\y/C
m9c`"!
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 ApggTzh@
,j(E>g3
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: Ck
m:;q
{7$jwk
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 tK# /S+l
oRg,oy
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 -i91nMi]
,E%O_:}R
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 b8%TwYp
at\u7>;.^k
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 >-3>Rjo>
hc9ON&L\>
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式
qf@P9M
@1bl<27
我们示范几个例子: BT3yrq9
(?GW/pLK]
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; VS7
ru1^.(W2
>>S2 = 'sin(a)'; u35"oLV6}#
2o1WXE %$
>>S3 = 'sqrt(x)'; VT~%);.#
`6# s+JA[
>>int(S1) =E(ed,gH8
/m^G 99N
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x >b:5&s\9
c7[Ba\Cr4h
>>int(S2) 3'0Jn6(
Fs =)*6}&
ans= -cos(a) \W=Z`w3
x]R0zol
>>int(S3) %z.d;[Hs
P)Oe?z;G?
ans= 2/3*x^(3/2) +n%8*F&
3Tw9Uc\vT
>>int(S3,'a','b') hOFvM&$
}1CvbB%,A
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) c@nh>G:y{&
J!3;\
>>int(S3,0.5,0.6) d{ B0a1P
+^AAik<yl
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) i],~tT|P
\O,yWyU4
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 Z0XQ|gkH
F|oyrG
ans= 0.0741 TT#V'r\
<*/Z>Z_c2
2.3求解常微分方程式 k;SKQN
0~DsA Ua
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , ~,8#\]xR
"&;X/~j
condition则为初始条件。 e5;YY
y4=T0[
V
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 Q]RE,ZZ
]n:R#55A
y'=3x2, y(2)=0.5 ;'[?H0Jw'
Znh;#%n|
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 h\~!!F
bB*cd!7y
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 F/:%YR;
yB{1&S5C
对应上述常微分方程式的符号运算式为: _c:th{*
6O0aGJ,H
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 55Mtjqfp
~[BGKqh
ans= x^3-7.500000000000000 s%5XBI
$kkL)O*"]
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 a6It1%a+
f%[xl6VE;
*7L1SjZw
x>A[~s"|N
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') YOvhMi
+<B"g{dLuX
ans= atan(x^2+1) R4DfqX
A\E ))b9+
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') ;Cty"H,
Z\n^m^Z
=
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) l!\~T"-7;:
q,;wD1_wG
wCj)@3F
A
;|P\V
2.4非线性方程式的实根 9gIim
'bg'^PN>z
要求任一方程式的根有三步骤: oBo |eRIt|
K]dR%j
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, s8';4z
T+%P+
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 N+pCC
]<Q&
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 XSh[#qJ
;W\?lGOs{
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 !g#y$
K(Tej W#
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 p^ OHLT
5rQu^6&
例一、方程式为 VT#`l0I}
xv%]g=Q
sin(x)=0 pXA|'U5]
giesof
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: C!6D /S
3&+nV1
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根
u6MU
@?
#v6<9>%
r=3.1416 I"Ko sSs
WH Ul.h
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 O+=}x]q*y
{qCFd
r = 6.2832 HoeW6U V
D)Jac@,0
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: rA8{Q.L
IaO&f<^#o
>> x=linspace(-2,3); s |o(~2j
>>8{N)c5E
>> y=humps(x); WfTl\Dxw
z*cKH$':
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 g+?2@L$L
&!wtH
xNLgcb@v>
p+7#`iICE
|nqN95'u+]
<B @z>V
M<Dvhy[
mDuS-2G=D
Wq}W )E
]xbMMax
4VC8#x1
&78lep
=&DuQvN,
5%@~"YCo
Zv8_<>e
>> r=fzero('humps',1.2) {L7+lz
wb##|XyK<c
r = 1.2995 <@0S]jy
f=7[GZoDn
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 *,=8x\Shp
2|NQ5OA0
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: 2NB$(4/
^nDa-J$
% m-function, f_1.m -*kZ2grLt
z$M-UxY
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 joNV4v"=`
g?cxqC<
y=x.^3-2*x-5; mSO7 r F
Q"3gvIyc
>> x=linspace(-2,3); :X}Ie P
J2Qt! -
>> y=f_1(x); I<Mb/!TQ
5Y@Hb!5D
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 _c(h{dn
4RH>i+)pS\
SQMtR2
_p^Wc.[~M
b7gN|Hw5 H
4i<GqG
j*d+WZm8-g
bHXoZix
7Rc>LI*
'
b+L !p.:
u_FN'p=.
.*z$vl
sN) xNz
RS@G.|
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 SA%)xGRW
C]h_co2eI
r = 2.0946 '+c@U~d*7
vZ^U]h V
>> p=[1 0 -2 -5] %:sP #BQM
[/<kPi
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 }?HWUAL\
+I}!)$/
r = `\/\C[Gg
j zwHb'4B3
2.0946 `B$Pk0>5r
0<^Qj.(9
-1.0473 + 1.1359i vJsg6oH
P:5vS:s?
-1.0473 - 1.1359i Ag&K@ %|*
~4xn^.w
2.5线性代数方程(组)求解 CBz=-Xr
v] m`rV8S[
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 kL<HG Qt
{s6hi#R>
AX=B <)"i' v $
1Ve~P"w
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 \6pQ&an
R 0G!5>1i
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 fwa*|y;
czB),vooz
如果将原方程式改写成 XA=B -KZ9TV # R
_BvGEM`o
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 Qo*OC 9E`
l% qh^0
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 OM`Ws5W}f
5v sn'=yN
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 RVF<l?EI4R
FV/lBWiQQ
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: 7ZUS
1O1MB&5%
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 v+( P 4fS
8v=t-GJW
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 JIf.d($
~:
Z2-"NB
>> X=A\B % 先以左除运算求解 *Xn6yL9
x1"8K
X = % 注意X为行向量 $&i8/pD
J<&?Hb*|
-2 -U;=]o1
GC(QV}9z"
5 u)%/df qzZ
Lzx/9PPYn
6 {s=c!08=
,pUB[w\
>> C=A*X % 验算解是否正确 98vn"=3
AXv-%k};
C = % C=B >D_)z/v?"
i8#:y`ai
10 c<{~j~+
j!@,r^(
5 08g2? 5w"
[}}q/7Lp
-1 S8C}C#
O>9-iqP>`d
>> A=A'; % 将A先做转置 z+^9)wg9
V}FH5z
|
>> B=[10 5 -1]; lbh7`xCR
H;+98AIy`
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 O8-Z >;
ucJ8l(?Qc
X = % 注意X为列向量 Bp4#"y2
$F]*B
`
10 5 -1 Yqv!ZJ6
.Y }k@T40a
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解