2.1微分 "Ir.1FN
P|{Et=R`1
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: Q]NGd 0 J
[5O`
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 ajMI7j^G
cAAyyc"yJ
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 y.m;4((
x.-d>8-!]c
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 Qpaan
D"RxI)"HP
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 'I *&P5|
[osm\w49
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 sM8 AORd
{P>%l\?
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: ~PAbtY9}U
"=r"c$xou
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 6ISDY>p
b/dyH
>>S2 = 'sin(a)'; ^vH3 -A;*
;%tu;
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; '#faNVPABh
dxI t.h
>>diff(S1) A7X-),D
EFKOElG(k
ans=18*x^2-8*x+b &?@5G
Rf.b_Y@O
>>diff(S1,2) L4,Ke
CWk65tcF
ans= 36*x-8 gQ=g,X4
'5n67Hl 1
>>diff(S1,'b') >HH49cCo
J}vxK
H#=
ans= x /P-Eg86V'
t% f6P
>>diff(S2) (~<9\ZJs
ugI9rxT]Kv
ans= m+m,0Ey5H
@^';[P!
cos(a) fQB>0RR2
@]0;aZ{3
>>diff(S3) <_tkd3t#W
xE4iey@\}
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 mtON
dI
\|}dlG
>>simplify(diff(S3)) D/&^Y'|T
]O\Oj6C
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 3+EAMn
5z>kz/uxW
2.2积分 9(/ ;Wutj"
1E*No1
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 oe:@7stG
9O+><x[i
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: =+qtk(p
u(s/4Lu
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 fb 8t9sAI
xD(JkOne
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 M=hH:[6 &
U Ux]
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 =nYd|Ok
rK%A=Q
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 D{{ME8
z3 lZ3
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 }!i#1uHUH:
y@kRJ 8d
我们示范几个例子: gqje]Zc<
OeuM9c{
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; na&?Cw
D9;2w7v
>>S2 = 'sin(a)'; LH4!QDK-
^qaS
>>S3 = 'sqrt(x)'; cVt
MCgx
3+_
.I{
>>int(S1) "Z&-:1tP{9
93-UA.+g
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x _JZwd9K
Gyak?.@R
>>int(S2) cu4&*{
w~NQAHAvo
ans= -cos(a) H+`s#'(i_P
E*ug.nxy
>>int(S3) P,x'1`k~
)x/Spb
ans= 2/3*x^(3/2) Dk!;s8}*c
lw4#xH-?
>>int(S3,'a','b') G6C#M-S
ymdZ#I-
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) SO#NWa<0|
!1tHg Z2\
>>int(S3,0.5,0.6)
L7*,v5
4L RrrW
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) &@O]'
v+NdO$o
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 phu`/1;p
4aAuE0
ans= 0.0741 i NX%Zk[
P8N`t&r"7
2.3求解常微分方程式 o5 UM)g
hjVct
r
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , j@xerY
CbmT aEaP
condition则为初始条件。 "+oP((9
_d#1muZ?p|
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 -a``
(!72Eaw:]
y'=3x2, y(2)=0.5 'D ,efTq
x;&01@m.
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 eI8rnp(Ia
vUEG0{8l
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 (yjx+K_[
"~R,%sYb(
对应上述常微分方程式的符号运算式为: 4K_rL{s0U
_i_^s0J
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') A>@ i
TI
n[~kcF
ans= x^3-7.500000000000000 aDrF"j
P.L$qe>O
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 dWK;
h
`SdvXn
J9!}8uD
xbbQ)sH&m
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') &cnciEw1
ldd|"[Ds
ans= atan(x^2+1) p"A2N+
i3bH^WwE&k
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') a$0,T_wD
F't4Q
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) BHoy:Tp
Gk<M@d^hQ
:@BAiKa[wa
Af~>}-`a
2.4非线性方程式的实根 %49P<vo`?
>?-etl
要求任一方程式的根有三步骤: v2OK/W,0
>
-P UY
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, uw!w}1Y]}2
_Xs(3V@'}
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 yQAW\0`
sGg=4(D
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 lD`@{A
s(~tL-_ K
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 \"L
;Ct
8
DRp h?V\
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 M]FA
y "E
L="ipM:Z
例一、方程式为 0:NCIsIm<
<ttrd%VW
sin(x)=0 0\qLuF[)
"H{Etb/
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: nK95v}p}Y
DrAp&A|WV|
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 ,]A|z ~q
Pu|PIdu!08
r=3.1416 r#8t@W
d@sAB1:
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 Uq}F rK}
(8JL/S;Z$
r = 6.2832 "!-
ua!i3]18
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: ivgV5)".
v'0WE
>> x=linspace(-2,3); caG5S#8-"
*Sd}cDCO%
>> y=humps(x); LS"_-4I}
@fI1|v=eF
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 BM~>=emc
a ~
6]%SSq&
D8OW|wVE
,.<[iHC}9
|:H
9#=
~__r-z
/$EX-!ie
EgE%NY~
vkR,Sn
`, lnBP3D"
5`_UIYcI
oouhP1py,
be<7Vy]j
g!QX#_~Il
>> r=fzero('humps',1.2) [Re.sX}$Y
Kia34 ~W
r = 1.2995 "dkDT7
%qycxEVP
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 /8cfdP Ba
(BT{\|,V_m
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: eNHSfq
&c AFKYt
% m-function, f_1.m Th'B5:`
]QJN` ;b0
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 [-5l=j
r
KbXENz&C
y=x.^3-2*x-5; yQ [n7du
&UFj
U%Z%
>> x=linspace(-2,3); 'DhH:PR
Hf$pwfGcY]
>> y=f_1(x); ?hFG+`"W
S5+W<Qs
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 FQlYCb
>;sz(F3)
C j4ED
ZZ? KD\S5
\yE*nZ
LBIsj}e
r\j*?m ]
-d*zgP
%ij,xN
{W' 9k
i-YSt5iq
*[|a$W
,hVDGif
_O$7*k
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 Hob n{E
Zk+c9, q
r = 2.0946 C"*8bVx]$n
+a'["Gjq;
>> p=[1 0 -2 -5] />X"'G
t_"]n*zk1
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 fo"%4rkL
lzbAx
r = H/^t]bg,
PNp-/1Cx
2.0946 -)%gMD~z1
t%fcp
-1.0473 + 1.1359i >Tp`Kri
~(x"Y\PEu
-1.0473 - 1.1359i KBg5_+l
9=}&evGm89
2.5线性代数方程(组)求解 &~&oB;uR
oXgi#(y
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 _@D"XL#L
V6!1(|
AX=B =,J-D6J?
>$:_M*5
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 v\G+t2{
-%ftPfm
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 oU/{<gs
2hf7F";Af
如果将原方程式改写成 XA=B Vv_lBYV
{'UK>S
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 L#`Vr$
y[DS$>E
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 Ve[[J"ze
c2Yrg@) [
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 Xk9 8%gv
jAxrU
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: fo_*Uva_
`6\u!#
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 eE5j6`5i
560`R>
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 ly::?
Ya29t98Pk
>> X=A\B % 先以左除运算求解 sP@7%p>wt
62 9g_P)
X = % 注意X为行向量 K)#6&\0tT
BV)) #D9
-2 xs^wRE_
<AN5>:k[pM
5 ^ pNA_s!S
S#b)RpY
6 'B;n&tJ
$QnsP#ePN
>> C=A*X % 验算解是否正确 oIGF=x,e8
3a0% J'
C = % C=B jk{m8YP)E
P*/ig0_fM
10 9cQ;h37J>
jGEmf<q&u
5 "J{A}g[
}oL
l?L
-1 qZ%0p*P#_
ttY[\D&ZS
>> A=A'; % 将A先做转置 |&_(I
~Z}DN*S
>> B=[10 5 -1]; |4!G@-2V:I
N6BEl55 &
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 c!a1@G
w"q^8"j!
X = % 注意X为列向量 KT0Pmpp5
=}%Q}aPp
10 5 -1 P=m
l;xp
T\ [CQO
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解