2.1微分 -~JYfj@
UEx<;P8rP
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: OJA_OqVp$K
t~4Cf])
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 sz/^Ie-~
Q1yXdw
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 .)WEg|D0Ku
mqsAYzG
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 $'eY-U8q
%#&njP
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 -(lP8Y~gFY
.I#_~C'\
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 +G"YQq'b
+`1~zcu
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: tEo-Mj5:
]2|fc5G'
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; &\cS{35
A*/8j\{n
>>S2 = 'sin(a)'; za 7+xF
.:Sk=r4u\
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; R)SY#*Y
b]xoXC6@ t
>>diff(S1) k #\j \t-
,=G]tnsv^
ans=18*x^2-8*x+b #+U1QOsz
`s
UY$Q
>>diff(S1,2) P{QHG 3
zAklS 7L
ans= 36*x-8 f2M*]{N
Dyo^O=0c
>>diff(S1,'b') N`?/kubD
6L\]Ee
ans= x GBpdj}2=
Os9EMU$
>>diff(S2) LCj3{>{/=
(=c,b9cb
ans= -K8F$\W
#QcRN?s
cos(a) |nLq4.
f.aa@>
>>diff(S3) Oi^cs=}
5cU:wc
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 $YY{|8@kjv
q I~*G3
>>simplify(diff(S3)) -Hw3rv3o
5|pF*8*
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 :wg=H
8qw{e`c
2.2积分 ,~1k:>njY~
_Ds,91<muQ
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 /2/aMF(J
bE2O[B
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: oUN\tOiS+
a.?U$F
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 lP]Y^Gz
ybFxz
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 O_.!qk1R
8c9<kGm$E
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 z^&$6c_
{~Jk (c~I
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 SRk!HuXh
&^HVuYa.0
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 f$-n%7
Lq;iR
我们示范几个例子: vbtZ5Gm
kMnG1K
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; r[;d.3jtP
r`EjD}2d
>>S2 = 'sin(a)'; #Y'b?&b
2?Jw0Wq5D
>>S3 = 'sqrt(x)'; rrj.]^E_~
Mb\(52`)Q
>>int(S1) m9:ah<
kAPSVTH$v
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x 'OP0#`6`
vF'>?O?
>>int(S2) Dr%wab"yy
+YW;63"o
ans= -cos(a) T=M##`jP%
Y&Fg2_\">
>>int(S3) `W~
Ma$~B0!;s
ans= 2/3*x^(3/2) Ny$3$5/
eh]syeKBj
>>int(S3,'a','b') L)F4)VL
.43cI(
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) M")/6 PH8
g\.$4N
>>int(S3,0.5,0.6) ~XuV:K3
WR"1d\m:
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) xYYa%PhIC
0^uUt-
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 L;j++^p
Lkx~>U
ans= 0.0741 +> !nqp
C<(oaeQY
2.3求解常微分方程式 \({'Xo >(
3Xd:LDZ{
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , sw$uZ$$~#
@/^mFqr2
condition则为初始条件。 z5M6
_]4p51r0
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 kln)7SzPuk
l}VE8-XB
y'=3x2, y(2)=0.5 76<mP*5
sr&W+4T
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 81s
}4
-/{FGbpR;
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 [
fzYC'A=
JVy|SA&R
对应上述常微分方程式的符号运算式为: -XCs?@8EQ
g:JSy
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') [NO4Wzc
7G-?^
ans= x^3-7.500000000000000 O |P<s+
OQ?N_zs,
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 \-;f<%+
n^ fUKi*;
YuknZ&Q
s[0`
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') W>d)(
04;s@\yX4
ans= atan(x^2+1)
-NN=(p!<
&Q?@VNi
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') wxh\CBxG
\b(&-=(
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) -~~h1
DWKQ>X6
;; +AdN5
}p2iF2g9`
2.4非线性方程式的实根 <Jhd%O
I)FFh%m<}a
要求任一方程式的根有三步骤: A2M(
ad
b}0h()v
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, s)qrlv5H
;Hk3y+&]a
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 UcQ]n0J=Z
A<)n H=G&
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 EyPJ Jc8
N?vb^?
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 7<WS@-2I#
70 R6:
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 klm>/MXI`
g3NUw/]#
例一、方程式为 L>sLb(2\i
-\?-
sin(x)=0 z&d.YO_W
}BlyEcw'aN
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: .@OQ$D <
23^>#b7st
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 a#r{FoU{M8
VmPh''Z%-
r=3.1416 `Fr ,,Q81\
lF!PiL
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 '|ntwK*f
diJpbR^JP
r = 6.2832 WC~;t4
)>FAtE
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下:
p)/e;q^
4};@QFT*
>> x=linspace(-2,3); =exCpW>
C][hH?.
>> y=humps(x); C+s/KA%
0@zJa;z'
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 6J,h}S
,#ZPg_x?1
R'c dEoy
JL87a^ro
Zwc&4:5%
*Sj)9mp
06.%9R{
[y`Gp#
6P
_+:Mf
X.4WVI
.2JZ7
Ljz)%y[s
]w6F%d
*>=tmW;%
/r~2KZE
>> r=fzero('humps',1.2) %;QK5L
2Cp4aTGv#
r = 1.2995 mnM]@8^G
z]8Mv(eL
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 1iz =i^}
M{24MF
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: ?`?Tg&W
]gPx%c
% m-function, f_1.m ]}g\te
1M??@@X
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 M8WjqTq
Fw&ImRMk
y=x.^3-2*x-5; i`F5
H I|a88
>> x=linspace(-2,3); qWr=Oiu
qLLrR,:
>> y=f_1(x); im&N&A
md{nHX&
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 ZXQ5fBx
a.%ps:
P
I"KY@>H
W'vek uM
n`Pl:L*kG
85&7WAco"B
?+hEs =Xs
Jp"29
)w
eWv:wNouk
O/#3QK
BT[|f[1
x] wi&
%^lD
Jt]RU+TB
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 K]$PRg1|3
Ne<S_u2nT
r = 2.0946 +g?uvXC&
'M6+(`x
>> p=[1 0 -2 -5] kB@gy}
r*b+kSh
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 |Yw k
ddN(L`nd
r = )=GPhC/sw
b(N\R_IQ~
2.0946 7 w,D2T
4$VDJ
-1.0473 + 1.1359i 5?H8?~&dz
>+7{PF+sB
-1.0473 - 1.1359i "v?F4&\ 8
1]''@oh{6U
2.5线性代数方程(组)求解 L3\#ufytb
(Nc~l ^a
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 xRc+3Z= N
wyX3qH
AX=B JqO1 a?H
tm5{h{AM
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 )lLeL#]FLO
fmK~?
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 ~-vCY
]CLM'$
如果将原方程式改写成 XA=B Q SF0?Puf
(]cL5o9
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 Z#@
U:8]G
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 G8vDy1`q6
sDNWB_~
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 $i+@vbU6
M *w{PjU
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: g(i6Uj~)
O0jOI3/P%
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 E`_T_O=P
f@YdL6&d-
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 MuMq%uDA"
bu6Sp3g
>> X=A\B % 先以左除运算求解 Az y`4
:AlvWf$d
X = % 注意X为行向量 m2^vH+wD
s i2@k
-2 + Fo^NT
DqWy@7
a
5 "9'3mmZm=?
J|{50?S{^
6 OR6vA5J
T1$p%yQH
>> C=A*X % 验算解是否正确 c6 &k?Puy
^k7I+A
C = % C=B A^FkU
PP$2s]{
10 wG MhKZE
RK-bsf
5 O^CBa$
ByP<-Deh
-1 Mm*V;ADF
>6yQuB
>> A=A'; % 将A先做转置 \&+Y;:6
w( SY
>> B=[10 5 -1]; rfVQX<95=/
RuYIG?J=/
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 [err$
gmH`XKi\
X = % 注意X为列向量 v@Eb[7Kq/1
\:Tq0|]Px
10 5 -1 4vi?9MPz
3.#L
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解