2．1微分 LOY+^
xPa>-N=*
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： GO@pwq<
K&(}5`H 0=
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 pWo`iM& F
jr @u
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 ]=A=VH&
JTcK\t8
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 >G`=8Ku
6d~[M y
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 xNG 'UbU
ZyE 2=w7n
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 Fs q=u-= :
8 i!~w 7z
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： L@*0wx`fU
yteJHaq
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Hu$]V*rAG
D:Zpls .
>>S2 = 'sin(a)'; MF>1u%
#4h_(Y
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; :[gM 5G
Q1qf'u
>>diff(S1) - #]?3*NO
WeG T}
ans=18*x^2-8*x+b g`KVF"8
C3fSSa %b
>>diff(S1,2) s&S8P;K|
9wLV\>i[k
ans= 36*x-8 bK `'z i
.+XGbs]kCi
>>diff(S1,'b') /kL X
f_
Gy36{*
ans= x 3 wV N:g7
n50XGv
>>diff(S2) K K-9[S-
ZVotIQ/Q'
ans= 6T 2jVNg
&_
er_V~
cos(a) (;=:Qj aoZ
eWO^n>Y
>>diff(S3) mLM$dk3
L{$ZL &
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 ^.Y"<oZSS
o"@ y=n/
>>simplify(diff(S3)) {N+N4*
Z(AI]wk3<
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ADRjCk}I
=p>"PqJ/7n
2．2积分 ~o`I[-g)
q #B^yk|Y
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 b?h9G3J_a
U6qv8*~
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： c8mcJAc
]X +3"
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 [X:mmM0gd
tx ;DMxN!W
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 E" iH$NN
eW)(u$C|qL
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 }x4,a6^
bL 5z%bV
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 ,-Fhb~u
h+|3\>/@9{
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 *&B1(&{:V
^GdU$%aa
我们示范几个例子： le`&VdE^
QZk:G+ $
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ]H7_ bix
D1bS=>
;,"
>>S2 = 'sin(a)'; V%&t'H{
pRmnS;*z&
>>S3 = 'sqrt(x)'; :qy`!QPUm
V#!ih L/>
>>int(S1) HGmgQ>q@M$
9z 5K -s
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x ws 5x53K
L f[>U
>>int(S2) %>'2E ! %
,LZ6Wu $P
ans= -cos(a) jJl6H~
"q
O!='U!X@P
>>int(S3) |jm |/{lc
{
'Hi_ b3
ans= 2/3*x^(3/2) 35Nwx<
eN{[T
PPCq
>>int(S3,'a','b') Y."ujo #bB
+4ax~fuU
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) )'\Jp
7*3
w.J[3 m/
>>int(S3,0.5,0.6) ME~ ga,|K
0 m,A`*o
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) <5/r
PEZElB ;
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 c"t1E-Nsk
ed*Cx~rT
ans= 0.0741 c ;e-[F 7
.Ozfj@ f
2．3求解常微分方程式 ?HVsIAU
}5bh,'
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， /ee:GjUkB
t$r^'ZN
condition则为初始条件。 0"o<( 1
-@i)2J_WP
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 <Hhl=6op
&'Qz
y'=3x2, y(2)=0.5 c&) H
/> q=qkdq0
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 %([$v6y
/7*jH2
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 +FQ:Q+
57IrD*{
对应上述常微分方程式的符号运算式为： k);z}`7
8+
eZU<\B(
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') _)2.#L
(p`'Okw
ans= x^3-7.500000000000000 o^4qY
Yqmx] 7Y4
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 IGT~@);
rui}a=rs
~w Dmt
0~A<AF*t
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') # j*$ `W;
mc|T }B
ans= atan(x^2+1) vX )6N #D!
yk#yrxM
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') F^_d8=67h
:7Rs$
-*Uk
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) MTb}um.($
Ol9U^
FFbMG:>:
> NB}Bc
2．4非线性方程式的实根 *]z.BZI:
b@^M|h.Va
要求任一方程式的根有三步骤： '15j$q
p]`pUw{
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， ]? -56c,
vi4 1`
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 Y::fcMJr;Q
!W^2?pqN
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 dVVeH\o
7oF`Os+U
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 nX5*pTfjL3
,M7sOp6}
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 #1hT#YN
'nP'MA9b;a
例一、方程式为 j 6 Jz
' e 3y|
sin(x)=0 E2(;R!ML#
?*}76u
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： V== ' 7n
(m) %5*:
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 eN/s W!:P|
c/;t.+g
r=3.1416 L)8 +/+
E=~H,~
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 s%GiM
><LIOFqsS
r = 6.2832 ~Zl` Ap
-J[ zJ4z #
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： Cb =r 8C
n ^n' lgUT
>> x=linspace(-2,3); C>v
a47Btd'm
>> y=humps(x); @kvp2P+O
OOl{
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 vR,HCI
t)cG_+rJ
a:zx&DwM
`Z|s p
@KOa5-u
~lDLdUs
yp@mxI@1
O b8[P=
&tWWb`
LvWU
%?
T d;e\s/]
rFx2 S
'Dat.@j
> 7;JZuVo
n:wn(BC3
>> r=fzero('humps',1.2) iS=T/<|?
X[@>1tl
r = 1.2995 IE_@:]K}Ja
"VT5WFj
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 n:*+pL;
So`xd
*C!
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： 3M%EK2 ,
e3S6+H),I
% m-function, f_1.m 46XB6z01
+B8Ut{l
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 2$\f !6p
LL[ +QcH
y=x.^3-2*x-5; hJ}G5pX
W!X#:UM)
>> x=linspace(-2,3); +vU.#C_2
SbG p
>> y=f_1(x); {;p /V\
Ix(4<s
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 Rw/G =zV@2
9&d BL0
il#rdJ1@t
Q'8v!/"}p{
(v I7qD_
2f:'~ P56
r p @=
#5H@/o8!s=
;JZXS M-3
{>+$u"*
ITsJjcYw
} 2\"(_
<5X@r#Lz
`2@-'/$\I|
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 mD=?C
K[ \z'9 Q
r = 2.0946 kqyMrZ#
TgUQD(d^
>> p=[1 0 -2 -5] kEXcE F_9P
" (xS[i
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 9 V"j=1B}
{$EXI]f
r = 4/h 2_
;T_9;RU<'b
2.0946 c3}}cFe
.Yf
h *
-1.0473 + 1.1359i %/^d]#
-0]aOT--
-1.0473 - 1.1359i RhJ<<T.2
}Sh-4:-D
2．5线性代数方程（组）求解 2Z97 Tq
tS9m8(Hr%Q
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 $` o A$E3
srSTQ\l4
AX=B 1]<!Xuk^f
YL. z|{\e
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 "/ "qg
oF>GWst TR
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 q-RGplx
%*gO<U4L]
如果将原方程式改写成 XA=B zm"\D
vN)
[yyV`&
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 |u+&xX7
yjr@v!o
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 a(7ryl~c=
NV gLq@F
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 };j&)M
s +GF- kJ*
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： jg stx3
k|_2aQ02
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 Om^ /tp\
\fhT#/0N
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 I F:M_
WAa?$"U 2
>> X=A\B % 先以左除运算求解 n~ql]Ln
[s/@z*,M1
X = % 注意X为行向量 r#Mx~Zg~
/'1y`j<
-2 l+6\U6_)B
aYgJTep>r
5 w gyO%
A1q^E(}O
6 A!D:Kc3
`#f=&S?k
>> C=A*X % 验算解是否正确
=l(JJ
cOb%SC[A{
C = % C=B m\f_u*
A|J\X=5
10 Oe YLL4H
{X$Mwqhpp;
5 /4?`F} 7)
f*],j
-1 Ic}ofBK
b8>9mKs
>> A=A'; % 将A先做转置 %Let AR
_p&$X
>> B=[10 5 -1]; ~Z2eQx
jtM
RuZ;hnE&
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 8:% R |b
<<6w9wNon
X = % 注意X为列向量 0I((UA/7Zs
Bc Lt95;.\
10 5 -1 5B 7*Z
pG
@iR*?
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
