2.1微分 WbhYGcRy
lX2:8$?X
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: %3TioM[B
66
R=
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 btnD+O66<
l/B+k
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 J(!=Dno
a3w6&e`
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 "q= ss:(
oMLs22Do?
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 KaOXqFT=
fK]%*i_"
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 +aM[!pW(e
7BwR ].
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: pCo3%(
nsXG@C S:
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; >b9J!'G,(
-bdWG]w"
>>S2 = 'sin(a)'; 4VeT]`C^h
;8K>]T)
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; ,ZrR*W?iF
Whp`\E<<
>>diff(S1) Akc
|E!V
V6_":L"!
ans=18*x^2-8*x+b ia;osqW
_w%:PnO
>>diff(S1,2) 0m.`$nlV-
4
$Kzh
ans= 36*x-8 UY({[?Se
yX{7<\x
>>diff(S1,'b') M[O22wFs
toPFkc6`
ans= x [:(O`#
sUmpf 4/
>>diff(S2) `W_&^>yl
VB4V[jraCF
ans= o$% KbfXO]
hS &H*
cos(a) $0P16ZlPC
:6)!#q'g
>>diff(S3) E>*Wu<<
%`$:/3P$U
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 kCz2uG)l
JzCkVF$
>>simplify(diff(S3)) mC\<fo-u
HN/YuP03[
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 CH!\uK22
mAW(j@5sp
2.2积分 Bfdfw+
}W!w
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 Xg1TX_3Ml
?G~rYETvw
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: b%"/8rK
TxN+-< f
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 sh` 3$ {
=HIKn6C<
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 >0 o[@gJl
Pj g#
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 [)8O\/:
lWJYT<kt
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 CK4#ZOiaa
> QN-K]YLL
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 e?07o!7[;
{|<r7K1<
我们示范几个例子: #n.v#FyNx
a Iyzt
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; \SwqBw
VJW8%s[
>>S2 = 'sin(a)'; &6Lh>n(
]{{%d4
>>S3 = 'sqrt(x)'; 32anmVnf
?aBAmyxm
>>int(S1) ngd4PN>{4
^c.pvC"4j
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x
O5+Ah%
zT/woiyB`
>>int(S2) Kc1w[EQ
mAIl)mq|g
ans= -cos(a) jY/(kA]}
mKV31wvK}
>>int(S3) @ra JB'
17;9> *O'
ans= 2/3*x^(3/2) aYpc\jJ
<j#IR
>>int(S3,'a','b') SbMRrWy
4z~;4
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) ).u>%4=6
k`[>Bk%b
>>int(S3,0.5,0.6) ;BWWafZ
9aIv|cS?
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) HD$`ZV
8<Yv:8%B6
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 0lYP!\J3]%
>k=@YLj
ans= 0.0741 )ytP$,r![S
}y+a)2
2.3求解常微分方程式 9T`YHA'g
&lzCRRnvt
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , ?aTC+\=
VRY@}>W'
condition则为初始条件。 ab)ckRC
#zSNDv`
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 _x!/40^G
#Ak9f-pf
y'=3x2, y(2)=0.5 |r+hj<K
c1*^
\
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 XJS^{=/
juM~X5b
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 Sv>CVp*
!@ AnwV]
对应上述常微分方程式的符号运算式为: t0:~BYXu
D`B*+
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') UA0(
cK
fbah~[5}
ans= x^3-7.500000000000000 QT1oU P#*
q_>=| b
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 ^tjM1uaZ5(
^QHgc_oDm
= 4'r+2[
+f_3JL$
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') H6$pA^
r>"l:GZ
ans= atan(x^2+1) DC$> 5FDv
biQ~q$E
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') {K/xI
<
r b5'
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) Q5Mn=
8<EU|/O
jzZEP4
Wp^|=
2.4非线性方程式的实根 2Aa
"*d%el\63
要求任一方程式的根有三步骤: V`feUFw3
|hu9)0P
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, scd}{Y
=}SC .E\
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 LN'})CI8m
T^X um2Ec
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 JVPLE*T
<2I<Z'B,e
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 \9:IL9~F
de"+ABR
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 :+fW#:
}\ya6Gi8
例一、方程式为 `DP4u\6_
TP=#U^g*
sin(x)=0 8)}A}x
eGbjk~,f'
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: f kdJgK
?SoRi</1
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 {r?Ly1 5
0INlo
r=3.1416 p,OB;Ncf/
re@OPiXa v
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 gvxOo#8]
3 k)P*ME#
r = 6.2832 *;<oM ]W_
@ c%h fI
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: iN+&7#x;/
~_4$|WKl
>> x=linspace(-2,3); DDU)G51>d
F8*P/<P1cK
>> y=humps(x); {
%af
X]Ma:1+
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 'c/Z
W
R"JT+m
p+{*&Hm5
m<:g\_<
qMcOSZ%8J
<\5E{/7Tl
(d=knoo7A
>iWw
i'T=
OjY#xO+'
T_4y;mf!@O
o~p%ODH
@-jI<g
8$6^S{M3
1n+JHXR\
"@+r|x
>> r=fzero('humps',1.2) P&8QKX3
j^
?h|w7/9
r = 1.2995 XZ1<sm8t."
&