2.1微分 vC^n_
*OY
Nx4 k
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: xl(R|D))
z{U^j:A
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 S$GWY^5}{
Xh*NuHH
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 /jn0Xh
};>~P%u32
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 I-/-k.
2t#[$2mg\0
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 *adwCiB
d!4:nvKx
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 R)]+>M-.
90a!_8o
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: -9q3]nmT(
W;P8'_2Y
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Ot~buf'|
R& HkWe
>>S2 = 'sin(a)'; ,mE}#cyY
wQOIUvd
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; rJCu6
VO,F[E~_
>>diff(S1) =n_>7@9l
?Pt*4NaT;
ans=18*x^2-8*x+b AhNz[A
Lr(My3vF8q
>>diff(S1,2) 1Zgv+.
xL!@$;J
ans= 36*x-8 @F!oRm5
*#o2b-[V
>>diff(S1,'b') >q1rdq
Ez Xi*/
ans= x yOm#c>X
N/8B@}@n
>>diff(S2) Pt7yYl&n7^
qo:t"x^
ans= cg}lF9;d
X[1w(d U[
cos(a) LcmZ"M6
L&Pj0K-HT3
>>diff(S3) ,egbU(:l
:eR\0cn
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 EnYEAjX
srd\Mf_Ej
>>simplify(diff(S3)) ^J&}C
&MJ`rj[%
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ;^so;>F
cbv%1DT3
2.2积分 [}?E,1Q3
wl%I(Cw{]
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 1<pb=H
{[r}gS%
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: NV;T*I8O
)xYGJq4
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 g,\O}jT\'
NxN~"bfh
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 dY.NQ1@"
k$w#:Sx
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 `&FfGftc
=nG>aAG
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 _/h<4G6A
H:,Hr_;nC
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 kntULI$`
UZ7ukn-
我们示范几个例子: OBnvY2)Ri
cjf_,x
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; !~ZAm3GwL
OT}P0
~4s
>>S2 = 'sin(a)'; .N Z
UkM#uKr:
>>S3 = 'sqrt(x)'; fWl #CI\]
]oyWJ#8
>>int(S1) nF=[m; ~
;Bne=vjQp
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x o:lMRP~
7$Pf
>>int(S2) saVX2j6Y
T&]IPOH9
ans= -cos(a) muIJeQ.C
ZtX\E+mC
>>int(S3) (iY2d_FQ[
:Oi}X7\
ans= 2/3*x^(3/2) 7O'u5N
q
7hoI]
>>int(S3,'a','b') ?fNUmk^A<
hF9y^Hx4
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) \r-v]]_<d
Ny]]L
>>int(S3,0.5,0.6) 4 }*V=>z
-hZw.eChQa
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) !r9~K^EI
IgKrcpK#}?
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 K,H xe;-
+D M,+{}
ans= 0.0741 sJm v{wM
(O'O#AD
2.3求解常微分方程式 Q*R9OF
,A>cL#Oe
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , NX?6
(lO,
=T#?:J#a
condition则为初始条件。 %Wt F\p
`i6q\-12n
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 ~?KbpB|
b:x*Hjf
y'=3x2, y(2)=0.5 q`HK4~i,
z=qxZuFkDs
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 VaTA|=[;
xhncQhf\
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 'o1lJ?~kH
kDc/]Zb%
对应上述常微分方程式的符号运算式为: cEEnR1
X'usd$[.
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') |i- S}M
Q-||A
ans= x^3-7.500000000000000 @mEB=X(-l=
9zaSA,}
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 3OJGBiDAr
@Pf['BF"
,UneS
/@6T~XY M
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') CZ,2Rq
}\vw>iHPX@
ans= atan(x^2+1) pwo @
S"
_>G=xKA#e
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') ]9hhAT44
gA&`vnNP
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) U (A#}
O,0j+1?
X9#i!_*
$K_-I8e|
2.4非线性方程式的实根 6v&@Rlg
29f4[V X
要求任一方程式的根有三步骤: ? 1Uq ud
OdtS5:L
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, ]u"x=S93
_j|U>s
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 {\ogw0X
&e5,\TQ
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 V#V<Kz
T@Th?
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 Z%7X" w
Ej'N!d.
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 fs*OR2YG7
1yjP`N
例一、方程式为 1K[y)q
S5wkBdr{
sin(x)=0 j Ysg'Rl
3s Mmg`
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: 3 /LW6W|
Z8WBOf*~e
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 iL3k8:x
"mAMfV0
r=3.1416 zCSLV>.F
Io<L!
=>
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 {EVHkQ+o
;ZR^9%+y9
r = 6.2832 .<-~k@ P
Lq{/r+tt/
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: dt(Lp_&v
H:X(><J
>> x=linspace(-2,3); q8Rep
OCI{)r<O2m
>> y=humps(x); n$ZxN"q <
fx/If
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 ^-7-jZ@jz
x!A5j
$k0
eLk:">kj
nLBi}T
.,gVquqMY
42 0cbD3a
TXfG@4~kC
wy?Hp* E
;Dc\[r
XC\'8hL:
"S3U]zw0_
PF:E{_~
YtY.,H;
/P/::$
<u2iXH5w
>> r=fzero('humps',1.2) *+<H4.W
H
Hv|(V3-
r = 1.2995 _OR[RGy
()yOK$"
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 V-zF'KI[
r }Nq"s<
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: EtA ,ow
gEnc;qb
% m-function, f_1.m n|!O .+\b
^%Fn|U\u
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 $EPDa?$*
>2;KPV0H
y=x.^3-2*x-5; R!7a;J}
E1Rz<&L
>> x=linspace(-2,3); t)b
/c:ql
N"/be
>> y=f_1(x); wm/>_
q@iZo,Yk
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 *uMtl'
lK #~lC
~Ec@hz]js
mNr<=Z%b
a1A3uP
0p!N'7N
`/eh
W^dRA xVX
'pl){aL`@u
Kw,ln<)2
iuWw(dJk
B~/ejC!
U%_6'5s{^
gj1l9>f>]a
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 D[CEg2$y
5b%zpx0Y
r = 2.0946 9NcC.}#-5
yy$7{9!
>> p=[1 0 -2 -5] 'C\knQ
5 }F6s
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 407;M%?'A
y{1|@?ii
r = HH,G3~EBF
qGc>+!y
2.0946 SZ"^>}zl=
Y([vma>U]
-1.0473 + 1.1359i .%N*g[J
'8bT9
-1.0473 - 1.1359i 0qMf6
vt-53fa|
2.5线性代数方程(组)求解 3ZU<u;
_ gi?GQj
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 ZVmgQ7m
}9ZcO\M
AX=B gEQevy`T%c
R^F\2yth-
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 WXC}Ie
NX4}o&mDwn
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 j=,]b6(
[sH[bmLR
如果将原方程式改写成 XA=B Uw5`zl
rnCu=n
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 J#'+&DH
a
uz2n
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 Bn_@R`
2KC~;5
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 ,l_n:H+"F
Dx<CO1%z-
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: d>qxaX;
z!6:Dt6^
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 O;*.dR
B?tO&$s
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 y-c2tF@'v
" |l-NUe
>> X=A\B % 先以左除运算求解 /^z5;aG
*qm@;!C
X = % 注意X为行向量 saaN$tU7
g+98G8R
-2 "?Cx4<nsM
"m:4e`_dz
5 JH0L^p
&% \`Lwh
6 '
Z}/3 dp
"cUCB
>> C=A*X % 验算解是否正确 \kGi5G]
Qm X(s
C = % C=B ~y(-j[
L4'FL?~I
10 IL]VY1'#
yS[Z%]bvU
5 P]G`Y>#$r
-a[]#v9
-1 $}/ !mXI5
R)w|bpW
>> A=A'; % 将A先做转置 Gq/f|43}@O
zU9G:jH
>> B=[10 5 -1]; 3:h9cO/9
>"Z^8J
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 ]'F{uDm[
JL4\%
X = % 注意X为列向量 ui:
N@>,gm@UU
10 5 -1 89@e &h*
0}UJP
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解