2．1微分 owDp?Sy}E
88]V6Rm9[*
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： fz[o ;G Tc
,Q8[Ur? G
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 u]K&H&Ax T
tONX<rA|]
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 uOzol~TU)
50#iC@1
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 ;x/do?FbT
[ZC{eg+D
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 +yvtd]D$2W
(7l'e=J0
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 cI~uI '
WC6yQSnY&
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： &M p??{g
hXBAs*4DV8
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; W rB:)Q(8=
V\$'3(*
>>S2 = 'sin(a)'; $on" @l%U
^O#>LbM"x
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; 3
q1LIM
5L6_W -n{
>>diff(S1) @ev"{dY
}H^h ~E
ans=18*x^2-8*x+b cEI
"
B G> f Lp
>>diff(S1,2) h$p]M^Z7
B 2p/
ans= 36*x-8 :w|ef ;
)ry7a
.39b
>>diff(S1,'b') rC`pTN
K/xn4N_UX
ans= x 0 &M~lJ
,X+LJe $
>>diff(S2) { )V!wSi
/V-uo(n< .
ans= * 0vq+C
>6Y @8 )
cos(a) ,z4)A&F[c;
~quof>
>>diff(S3) ~e|RVY,
!3O8B0K)v
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 Y~E
8z
b |SDg%e
>>simplify(diff(S3)) 8
5 L<
i}u, _
}
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ~ Up5 +7k@
%y96]e1
2．2积分 s#Os?Q ?
Z hqGUb
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 P 2-^j)
#VM+.75o1
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： Q$Q>pV;uH
6 zyxGJ(
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 .rPg
~F [V
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 xDqJsp=]-
-!@]z2uU
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 V^* ];`^
U/}("i![Dy
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 PHAM(iC&D
PiwMl)E|!
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 @\*`rl]
L m-f0\(
我们示范几个例子： Rb/|ae
7 sX#6`t
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; $^TxLv
et`1#_o
>>S2 = 'sin(a)'; @2 3?II$=@
B~ ?R 6
>>S3 = 'sqrt(x)'; "]SA4Ud^
$)Y a lZ
>>int(S1) SO|!x}GfI
=67ab_V
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x (G6lr%d
R$Rub/b6
>>int(S2) "lV bla4b
Yt!o
Hn
ans= -cos(a) y& n-8L_
$ x~U&a
>>int(S3) /KTWBcs 7
>b7Yk)[%
ans= 2/3*x^(3/2) ~XeWN^l(Ov
sB@9L L]&|
>>int(S3,'a','b') +B '< 0
([ jm=[E^
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) -<6b[YA
H'"=C&D~
>>int(S3,0.5,0.6) >6KwZr BB
u?4d<%5R!
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) qV#,]mX
SgWLs%B
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 H2S/!Q;K
.: Zw6
ans= 0.0741 5_\1 f|,
|jI|} ,I
2．3求解常微分方程式 )%JjV(:
L9]y ~[R:
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， Eo`'6
3
ms&6N ']
condition则为初始条件。 . ~a.mT
;S9
z@`a.
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 v t_lM
*kt|CXxAS8
y'=3x2, y(2)=0.5 bXz*g`=;
oe*fgk/o9
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 F J p<J
b:PzqMh{G
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 kr\#CW0?
6{w'q&LYcE
对应上述常微分方程式的符号运算式为： jA? 7>"|
2"QcjFW%
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') l(pP*2
(sW$2a
ans= x^3-7.500000000000000 7/HX!y{WP
?BX}0RWMh7
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 +3k.xP?QS
Hf + oG
^KJi |'B
|&MO us #v
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') !S'!oinV
L0R$T=~%)
ans= atan(x^2+1) )43z(:<
GM Y[Gd
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') *^iSP(dg
C {G;G@/7
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) $Ji;zR4,
K}DrJ/s
b%h.>ij?
`k7X|
2．4非线性方程式的实根 Qoa&]]
vW0U~(XlN
要求任一方程式的根有三步骤： [4Q;5 'Dj
pQ xv_4
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， y\n# `*5k
DFb hy
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 l15Z8hYh j
l\TL=8u2c
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 zCS& w
~
`Bb32L
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 !ZM*) 6^
09= w
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 Ih[k{p
[M#(su 0fv
例一、方程式为 gX`C76P!
s)+] pxV0-
sin(x)=0 ~"Su2{"8B
vCn~- Q
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： ny0 ]Q@
s T,*<^
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 ky'G/ z
od^o9(.W^
r=3.1416 hbSKlb0d
5^{ I}Q
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 :|-^et]a8
S3Fj /2Q8
r = 6.2832 Lie= DD
@o&UF-=MW(
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： KvjH\;78
59( kk;
>> x=linspace(-2,3); [xXV5 JU
)"g @"LJ=
>> y=humps(x); As??_=>4
L% T%6p_
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 @vO~'Xxq!
EiS2-Uh*TT
H {uR+&<
bR J]avR
6&btAwvOHx
M (:_( 4~
!
QKec
!N/?b^y
WV;[v g]
-h 2 1
9 1ec^g
o}Zl/&(
Hi ih$O+
6-\C?w
A
-AXMT3p=1
>> r=fzero('humps',1.2) ig'4DmNC
w!R J8
r = 1.2995 5IP@_GV|
7 .xejz
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 T'7x,8&2|
CWkAc5
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： q X]ej 2
S/6I9zOP
% m-function, f_1.m $KmE9S e6,
!^3j9<|@'
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 }S9uh-j6l
'D?sRbJ=
y=x.^3-2*x-5; o2^?D`Jr
t`0(5v
>> x=linspace(-2,3); PU%WpI.w
a T=V/Xh}d
>> y=f_1(x); yjucR
Fl
'x= y:0A
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 QezDm^<
]2xoeNF/W{
m
A|"
_aOsFFB1KF
=e]Wt/AQ
"HbrYYRb'
0>0: ls
W97
&[ ([
nmrdqSV
RH<C:!F^
Q$2^m(?;
_ 3>|1RB
y{\(| j
0'Qo eFKG
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 Pl[WCh
Gp))1b';
r = 2.0946 l7GLN1#m
mQt?d?6
>> p=[1 0 -2 -5] A\<WnG>xjP
cWL 7gv\|
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 N+NS \Y5
5$f*fMd;
r = W$Zc;KRz$0
_Y,d|!B#L
2.0946 lb`2a3W/
vM2\tL@"
-1.0473 + 1.1359i >5-]Ur~
`!g
XA.9Uv
-1.0473 - 1.1359i agW#"9]WM
]6EXaf#
2．5线性代数方程（组）求解 ek4?|!kQD
K\>CXa
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 h3:dO|Z
^7%
KS
AX=B ^k}jPc6
p uLQ_MNV
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 =9vmRh? 8
xo*[
g`N
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 iG;GAw |E
D*#r
V
P
如果将原方程式改写成 XA=B a"0'cgB}
1~P ^ g`
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 O}_Z"y
*S4* FH;8
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 (T0%H<#+
K-*q3oh
G
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 !'EE8Tp~F
tmI2BBv
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： 4d0<uB&v'
1 ~#p3)B
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 Qf]ACN
I|?Z.!I|
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 onj:+zl
~8G<Nw4*\
>> X=A\B % 先以左除运算求解 B]YY[ i
(S#4y
X = % 注意X为行向量 `Z 0#IeX=
f
i3 <
-2 N;6WfdA-
3QrYH
@7zx
5 YEx7 6
7) Rx-
6 jE{2rw$ZJ?
]OOL4=b
>> C=A*X % 验算解是否正确 VJeN
m3WNb
JOIbxU{U_
C = % C=B T+[N-"N
m ,U` hPJ
10 ( U |[ C*
=/rIXReY
5 fH7o,U|
81|Xg5g)b
-1 {>c O&eiCt
mS zBNvc i
>> A=A'; % 将A先做转置 -)tu$W*
@M-+-6+
>> B=[10 5 -1]; +`x8[A)-
O9k9hRE]z
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 98os4}r
r^k:$wJbRK
X = % 注意X为列向量 YQ _3[[xT
B&`hv R
10 5 -1 h*Y);mc$#
5" 5D(
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
