2.1微分 aLuxCobV
i>q]U:U
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: G4MNcy
@y)-!MHN(8
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 kUn55 l
#th^\pV
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 f#/v^Ql*
m/%sBw\rx
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 86@"BNnTh
[D?RL`ZF
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 Y-@K@Zu]?
"DfvoQ P
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 <+" Jh_N#
pvP|.sw5G
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: [|xHXcW
z9YC9m)jK
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; |AuN5|obI
avykg(
>>S2 = 'sin(a)'; B.;/N220P
r^VH [c@c
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; XNf%vC>
M8:gHjwsx
>>diff(S1) *" >ek k
9eH(FB
ans=18*x^2-8*x+b $^y6>@~
e
,k,L
>>diff(S1,2) ,57g_z]V
IdUMoLL?
ans= 36*x-8 y 7|x<Z
[&j!g
>>diff(S1,'b') g(>;Z@Y
j$n[;\]n
ans= x FG38) /
TfDx>
F$
>>diff(S2) pZuYmMP
o2@8w[r
ans= |/Am\tk#13
|Xlc2?e
cos(a) S`5^H~
$A9!} `V
>>diff(S3) 12~zS
T8JM4F
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 KFkKr>S:
5<<e_n.2q
>>simplify(diff(S3)) ~*ZB2
KtA0
8?B
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 L/1?PM
UsNr$MO
{
2.2积分 Xl.h&x0?
8
hT>h
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 &^8>Kd8
Pv1C o:
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: uB>NwCL;
Ny/bNQS
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 MRZWfc
3x#=@i
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 9qc1^Fs~
.[? E1we
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 Vrf2%$g
vHZw{'5y
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 5][Rvu0
^VR1whCrx
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 ]0GOSh
f\!*%xS;
我们示范几个例子: J/pW*G-U|
U
SXz
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; /XjIm4EN
?C(Z\"IX
>>S2 = 'sin(a)'; v(3nBZHv_!
\7nlwFAO
>>S3 = 'sqrt(x)'; +[V[{n
HU-4k/I~
>>int(S1) y,tA~
?D/r1%Z
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x =iC5um:
VHsuC$3W
>>int(S2) mHE4Es0
w1F7gd
ans= -cos(a) K 2$mz
Jvw~b\
>>int(S3) ?d-(M' v.
>|KfO>
ans= 2/3*x^(3/2) U5jY/e_
u|<Z};a
>>int(S3,'a','b') udX4SBq-pC
+j_Vs+0
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) M.1R]x(|
KOv
a r0
>>int(S3,0.5,0.6) Zk$AAjC&
XA5gosq
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) e<dFvMO
}r3,
fH
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 O?p.kf{b
Ne,7[k
ans= 0.0741 l]Jk
}.
2f] :n
2.3求解常微分方程式 N6=cqUM wt
%}j.6'`{
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , 5F+5J)h
r.**
z j
condition则为初始条件。 HuBG?4Qd
Na=9ju
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 L.$9ernVY
{g@Wd2-J}
y'=3x2, y(2)=0.5 8Y3c,p/gS>
EC&t+"=R
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 fu}NH\{
&<R8'
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 w&f8AY)#]4
LTG#nM0
对应上述常微分方程式的符号运算式为: E)3B)(@&P
E D*=8s2
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 8)Z WR3)+W
,RKBGOz?f
ans= x^3-7.500000000000000 \v44 Vmfz
d*,% -Io
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 g2L
K20n355uE
oD4NQR
yBE1mA:x7:
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') D{Y~kV|
Q~G+YjM3
ans= atan(x^2+1) `* "u"7e
vC E$)z'"
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') EXH{3E54)`
B)O=wx
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) 7'S/hV%
gP/[=:
DalQ.
t1b$,jHmKl
2.4非线性方程式的实根 *_`T*$
JaKR#Y$+~
要求任一方程式的根有三步骤: j WLZ!a3+
OOQfa#~k
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, O_K@\<;~
>F8&wh'BjY
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 k(C?6Gfj
z}.!q{Q
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 4q/E7n
Iwi>yx8
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 `~UCWK
DBAJkBs
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 >s1FTB-$W
T?!^-PD9*
例一、方程式为 ~'dnrhdme
0(|R NV_
sin(x)=0 E}lU?U5i
?Pw#!t
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: 1,`-n5@J%n
|2CW!is
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 bv9\Jp0c
5
usfyY]z
r=3.1416 ]w]Swt2n
<]/`#Xgh
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 aw/Y#
"M
v%M2'c
r = 6.2832 vNLf)B
g,Kb9['
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: ?*u)T%S
BS;rit:
>> x=linspace(-2,3); ~53E)ilB
WEqHL,Uh]
>> y=humps(x); #I%< 1c%XA
l"}W $3]u$
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 b;]'Bo0K
CWE
jX-
yZHQql%J
O
$Bz |[=
nuw90=qj!]
(Ew o
*`ehI_v :
C+P}R]cT"
\@pl:Os
/ Zz2=gDY
9XT6Gf56
ll1?I8}5|
hOfd<k\A
NTXT0:
HGWwGd
>> r=fzero('humps',1.2) dmP*2
_M:)x0("
r = 1.2995 u~LisZ&tP
NxNR;wz>l
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 Lr)h>j6\
g]$>G0E`oD
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: 8Qu7x[tK?
$7TYix8=
% m-function, f_1.m 5ez"B]&T
_ H$Cm
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 ~#I1!y~`
Xe=@I*
y=x.^3-2*x-5; 8f,jC+(
>+u5%5-wr
>> x=linspace(-2,3); dAEz
hR[=
1uB}Oe2~
>> y=f_1(x); Cd7jG
KPW: r#d
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 3(^9K2.s}
GaRL]w
k49CS*I
T]Tz<w W(
kG?tgO?*
"^_p>C)T
#A:I|Q 1$g
v
bb mmv
H1\~T
T:;e 73
htM5Nm[g
5? c4aAn
U%gP2]t%cs
px4Z
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 WNm,r>6m
jq.@<<j|$
r = 2.0946 ]d$)G4X1
JFYeOmR+l
>> p=[1 0 -2 -5] ~p'/Z@Atu
%*|XN*i XC
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 M_9|YjwS
^o,@9GTs
r = C,tlp
D3XQ>T [*q
2.0946 XHN?pVZ7
,wX/cUyZ
-1.0473 + 1.1359i m?[F)<~a
y;<jE.7>
-1.0473 - 1.1359i 1-w1k^e
!m_'<=)B4~
2.5线性代数方程(组)求解
3D<P
[.bS
YnJ=&21
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 !vImmhI!I
W!IK>IW"
AX=B tQ`tHe
Lg Bs<2
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 o"[qPZd>
:dLS+cTC
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 <&H.pN1_
$#t&W&
如果将原方程式改写成 XA=B rTmcP23]
)K5~r>n&
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 *l7
ojv
I*ho@`U
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 @&,r|-
^~(bm$4r
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 S;|%'Sn|j9
ig?]kZ
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: _II;$_N
;K:.*sAa
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 4=q\CK2 ^A
k U3]
eh\I
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 BJW;A>@Pj
?5/Sa
>> X=A\B % 先以左除运算求解 j5$Sm
v t(kL(}v
X = % 注意X为行向量 t$Qav>D
B'~.>,fg
-2 N|7._AR2
hTg%T#m
5 c&'T By
.5ingB3%
6 :UScbPG
JNMZn/
>> C=A*X % 验算解是否正确 @x{;a 9y
)0UQy#r
C = % C=B wl9E
1h)I&T"kZ
10 `D?vmSQ
L#NPt4Sz+
5 L\n_q6n
{},GxrQm
-1 #]:nQ(
fmloh1{4
>> A=A'; % 将A先做转置 FQ O6w'
m\jp$
>> B=[10 5 -1]; Pb[wysy
(wbG0lu
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 Lww0 LH
>
u^:!!Suo
X = % 注意X为列向量 D+"5R5J",
)8LCmvQ
10 5 -1 ot,<iE#za
GS)l{bS#[O
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解