2.1微分 Ljq!\D
b :J$
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: Rb=8(#
@!MhVNS_<
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 VfON{ 1g
;+W9EbY2
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 d(>
*M^t@ h l
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 I[$SVPe#
DD(K@M
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 kV$$GLD\
SGUu\yS&s
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 Gi*GFv%xB
XDM~H
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: (}:n#|,{M
wn-{Vkpm
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; SK&? s`
cy+EJq I
>>S2 = 'sin(a)'; oPVyLD
e9e7_QG_-
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; }?vVJm'
,*}5xpX
>>diff(S1) _8;)J
g3"eEg5 NY
ans=18*x^2-8*x+b ~~D
=Z#
28rC>*+z
>>diff(S1,2) H*&ZXAKv
?5yj</W
ans= 36*x-8 Pu-/*Fx
<F7g;s'q9
>>diff(S1,'b') }G50?"^u
sKLH.@
ans= x m?$peRn3{
)rP)-op|A
>>diff(S2) 3jG
#<4;J
^%<t^sE
ans= AT6:&5_`
G>q16nS~KP
cos(a) m=7Z8@sX},
O{F)|<L(G
>>diff(S3) -Ze{d$
A7SE>e>
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 7KzMa%=
qauZ-Qoc9
>>simplify(diff(S3)) +#|):aF
:y!%GJW
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 AvNU\$B4aG
ZJ7<!?6
2.2积分 %}*0l8y
G L> u3K
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 xWa96U[
hDf|9}/UQd
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: l`}Ag8Q
cIIt ;q[
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 ?(!<m'jEy
0B;cQSH!q
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 H"g$qSx
q:9#Vcw
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 (^ Q:zU
{#c**' 4
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 Rt{`v<
3w
B 03\P
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 DrTo")T
$j\UD8Hj'-
我们示范几个例子: p`i_s(u
=c>w
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; {D( _"
JrkjfoN
>>S2 = 'sin(a)'; Ve1O<i
2+Tu"oG;rB
>>S3 = 'sqrt(x)'; E|aPkq]
^.d97rSm
>>int(S1) ;BR`}~m
}5)sS}C
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x o~*5FN}%+l
j3W)5ZX
>>int(S2) XU}|Ud562
2A+I8/zRG
ans= -cos(a) B>11
'e3[m
>>int(S3) [,F5GW{x
!lf:x
ans= 2/3*x^(3/2) T|h/n\fx)a
r] +V:l3
>>int(S3,'a','b') Z]I[?$y
;(kU:b|j
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) AU@XpaPWh
*Q<%(JJ
>>int(S3,0.5,0.6) 0#}@-e
_%)v9}D
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) DO!?]"
mxYsP6&
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 dJh T}"x
!KUV,>L
ans= 0.0741 rf% E+bh4
:(,Eq?
2.3求解常微分方程式 ugM,wT&~Y
BVx: JiA
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , 4s!rrDN
p2|BbC\N
condition则为初始条件。 kQRkby
Q1G?e,Q
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 f3 lKdXnP
{e4ILdXM
y'=3x2, y(2)=0.5 o,!r t1&0
X5'QYZ6kv
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 2VOdI
V}#2pP
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 R~,*W1G6sF
UQwLAXs
对应上述常微分方程式的符号运算式为: ^AWM/aY
W*q[f!@
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') zS*X9|p
bF88F_
ans= x^3-7.500000000000000 ]_S&8F}|
*g^U=t
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 XD5z+/F<"0
t@Qs&DZ7k
_MZqH8
PrIS L[@
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') N#')Qz:P
Hnwir!=7
ans= atan(x^2+1) ;r[@;2p*(
*/Oq$3QGsV
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') :^DuB_
S6 F28 d[j
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) R{~Yh.)~
xf8C$|,
A f@IsCOJ
X[:&p|g]
2.4非线性方程式的实根 .c'EXuI7),
W@w#A]
要求任一方程式的根有三步骤: +_gPZFpbx
f i-E_
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, Be{7Rj v
Oo<^~d2=
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 .~0A*a
8CxC`*L(
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 lm}mXFf#
d%Zt]1$
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 ?d1H]f<M
Oslbt8)U6
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 xBhfC!AK}
2G8f4vsC[
例一、方程式为 *<2+tI
^$aj,*Aj~
sin(x)=0 B*A{@)_
_r8.I9|
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: IZczHHEL`b
*5iNw_&
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 'vT
XR_D
]3<k>?
r=3.1416 tWYKW 3~]
o'@VDGS`
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 Mg]q^T.a
ZYo Wz(
r = 6.2832 i{w<4E3
yz!j9pJ
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: Hq h
+Sk ;
>> x=linspace(-2,3); `d,hP"jBc
Vd[[<
>> y=humps(x); k41lw^Jh
a!}.l< )
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 ^1M :wXr
_8 b)Xx@5
:\1:n
~qm<~T_0
;Y#~2eYCz
T_O\L[]p*
@2-Eky
,KF>PoySA
}zi:nSpON
+Gi~VW.
ygr[5Tl
Q*mzfsgr
OwrzD~
Ob2H7!
y\b.0-z
>> r=fzero('humps',1.2) T<06y3sN
.vG_ \-@
r = 1.2995 pb_+_(/c
IC>OxYg*
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 `6`NuZ*6g
Me[T=Tt`@w
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: -J4?Km
#Yi,EwD
% m-function, f_1.m TjGe8L:
.asHFT7]9
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 GQoaBO.
1SeDrzLA
y=x.^3-2*x-5; .?9+1.`
{XiBRs e
>> x=linspace(-2,3); "|V{@)!t
g4_DEBh
>> y=f_1(x); vr2tIKvpn
w~QUG^0Fx
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 g
PogV(V
oX@nWQBc_
ufm`h)N
0l !%}E
gbM#jhQ
u&1n~t`
&}31q`
q[1:h
nk9Kq\2f:
S#dkJu]]#
;AK;%
J6/Mm7R
J:Uf}!D
'F^nW_ryW
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 "*|plB
Es6b~#
r = 2.0946 \](IBI:
U8kH'OD
>> p=[1 0 -2 -5] y-O#
+{7
*IUw$|Z6z)
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 Px5ArSS
+ia F$
r = ZvEcExA-
l j*ELy
2.0946 dHc38zp
I^sWf3'db
-1.0473 + 1.1359i |\"vHt?@G
Ffk$8"
-1.0473 - 1.1359i h[72iVn
ork/:y9*y
2.5线性代数方程(组)求解 R4GmUCKB=
<T{2a\i 4f
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 z.n`0`^
xnWCio>M
AX=B SHS:>V
=(b;Cow
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 |&+g ,A _w
XbdoTriE
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 e|u|b
).@8+}`
如果将原方程式改写成 XA=B J"'2zg1&
.f
4a+w
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 jca7Cx`sm
/*s:ehj
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 4a]m=]Hm
P]gksts9f.
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 4mSL*1j
N8|=K_;&
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: E"!C3SC [
pisjfNT`o
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 AEaT
MJ'|$b}
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 *F/ uAI^)
dk~ h
>> X=A\B % 先以左除运算求解 } r^@Xh
'bp*hqG[
X = % 注意X为行向量 6=o@X
hWpn~q
-2 ^/\OS@CT\
V_jVVy30Ji
5 _l,?Y;OF
-G&>b
D
6 T677d.zaT
.kh%66:
>> C=A*X % 验算解是否正确 rks+\e}^Z
7qSlqA<Hs
C = % C=B bHE'R!*
3?I^D /K^
10 GgkljF@{}
<cG .V|B
5 9frP`4<)
q+2yp&zF
-1 HpXMPHd
?z0f5<dL
>> A=A'; % 将A先做转置 2zR*`9$
b3}928!D-@
>> B=[10 5 -1]; Srj%6rgsB
.{
^4I
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 M$g%kqa
f%9EZ+OP
X = % 注意X为列向量 X1G[&
Vt{C80n&N
10 5 -1 /9dV!u!;
$@d`Kz;
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解