2.1微分 owDp?Sy}E
88]V6Rm9[*
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: fz[o;GTc
,Q8[Ur?G
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 u]K&H&AxT
tONX<rA|]
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 uOzol~TU)
50#iC@1
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 ;x/do?FbT
[ZC{eg+D
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 +yvtd]D$2W
(7l'e=J0
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 cI~uI'
WC6yQSnY&
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: &M p??{g
hXBAs*4DV8
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; W rB:)Q(8=
V\$'3(*
>>S2 = 'sin(a)'; $on"@l%U
^O#>LbM"x
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; 3
q1LIM
5L6_W-n{
>>diff(S1) @ev"{dY
}H^h~E
ans=18*x^2-8*x+b cEI
"
BG>fLp
>>diff(S1,2) h$p]M^Z7
B 2p/
ans= 36*x-8 :w|ef;
)ry7a
.39b
>>diff(S1,'b') rC`pTN
K/xn4N_UX
ans= x 0 &M~lJ
,X+LJe$
>>diff(S2) {)V!wSi
/V-uo(n< .
ans= *0vq+C
>6Y@8 )
cos(a) ,z4)A&F[c;
~quof>
>>diff(S3) ~e|RVY,
!3O8B0K)v
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 Y~E
8z
b|SDg%e
>>simplify(diff(S3)) 8
5 L<
i}u,_
}
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ~Up5 +7k@
%y96]e1
2.2积分 s#Os?Q?
Z hqGUb
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 P 2-^j)
#VM+.75o1
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: Q$Q>pV;uH
6zyxGJ(
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 .rPg
~F [V
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 xDqJsp=]-
-!@]z2uU
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 V^* ];`^
U/}("i![Dy
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 PHAM(iC&D
PiwMl)E|!
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 @\*`rl]
Lm-f0\(
我们示范几个例子: Rb/|ae
7sX#6`t
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; $^TxLv
et`1#_o
>>S2 = 'sin(a)'; @23?II$=@
B~ ?R 6
>>S3 = 'sqrt(x)'; "]SA4Ud^
$)YalZ
>>int(S1) SO|!x}GfI
=67ab_V
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x (G6lr%d
R$Rub/b6
>>int(S2) "lVbla4b
Yt!o
Hn
ans= -cos(a) y&n-8L_
$x~U&a
>>int(S3) /KTWBcs 7
>b7Yk)[%
ans= 2/3*x^(3/2) ~XeWN^l(Ov
sB@9L L]&|
>>int(S3,'a','b') +B '<0
([ jm=[E^
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) -<6b[YA
H'"=C&D~
>>int(S3,0.5,0.6) >6KwZr BB
u?4d<%5R!
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) qV#,]mX
SgWLs%B
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 H2S/!Q;K
.: Zw6
ans= 0.0741 5_\1f|,
|jI|},I
2.3求解常微分方程式 )%JjV(:
L9]y~[R:
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , Eo`'6
3
ms&6N']
condition则为初始条件。 .~a.mT
;S9
z@`a.
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 v t_lM
*kt|CXxAS8
y'=3x2, y(2)=0.5 bXz*g`=;
oe*fgk/o9
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 F Jp<J
b:PzqMh{G
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 kr\#CW0?
6{w'q&LYcE
对应上述常微分方程式的符号运算式为: jA? 7>"|
2"QcjFW%
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') l(pP*2
(sW$2a
ans= x^3-7.500000000000000 7/HX!y{WP
?BX}0RWMh7
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 +3k.xP?QS
Hf+oG
^KJi|'B
|&MOus#v
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') !S'!oinV
L0R$T=~%)
ans= atan(x^2+1) )43z(:<
GMY[Gd
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') *^iSP(dg
C{G;G@/7
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) $Ji;zR4,
K}DrJ/s
b%h.>ij?
`k7X|
2.4非线性方程式的实根 Qoa&]]
vW0U~(XlN
要求任一方程式的根有三步骤: [4Q;5 'Dj
pQxv_4
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, y\n#`*5k
DFbhy
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 l15Z8hYhj
l\TL=8u2c
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 zCS&