2．1微分 vSzpx
m 0HK1'
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： _ 0/unJl`
tjdPi a
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 WhP P4 #
J8|MK.oD
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 _0H oJ
\j8vf0c5b
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 _k84 #E0
U>5^:%3
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 z 2=bbm:
U, <m% C"
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 CK* * RZ
MlO OB
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： bQ< qdGa
f}otIf
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; y]9R#\P/
)'shpRB;1
>>S2 = 'sin(a)'; = ? sG~
w,{h9f
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; X2w)J?pv
[-~pDkf:
>>diff(S1) 1v@#b@NXM7
xJq|,":gj
ans=18*x^2-8*x+b l1KMEGmG
*7m lH
>>diff(S1,2) )>a~ %~:
xATx2*@X2
ans= 36*x-8 0B6!$) *-i
o | $D| E
>>diff(S1,'b') d)%WaM%V
+{UY9_~\3
ans= x r" H::A
;QI9 OcE@/
>>diff(S2) 6v%yU3l
)g5?5f;
ans= *>fr'jj1$
/VR~E'Cy%
cos(a) 1M ?BSH{
r. 82RoG?G
>>diff(S3) MU<( O}
*V>?m6y/
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 q s 4jUm
g 9, "u_
>>simplify(diff(S3)) 1 ?@HOu
\w9}O2lL
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 Q%e<0t7
'g#%>
2．2积分 OB>Hiy
S^O9}<2g
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 n 0!8 )Sth
N8A)lYT]_u
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： v,4{:y]p
fit{n]g
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 ?v^NimcZ
G
e ;67
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 8/e-?2l
#W\}v(Ke
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 qqDg2,Yb
3,PR6a,b'
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 ch
i=]*9
@SfQbM##%
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 7q0_lEh
m* ^) #
我们示范几个例子： s -p)^B
4v[y^P
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; H'A N osv
j~v`q5X
>>S2 = 'sin(a)'; d/ _D|ivZ=
b{0a/&&1O
>>S3 = 'sqrt(x)'; N'{[BA(eE
xHg C':l(0
>>int(S1) -K{ R7
<':h/ d
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x T z L|{9
:7e*- '
>>int(S2) ]4aPn
^s~)"2 g
ans= -cos(a) ^'QO!{7f
MQ,K%_m8
>>int(S3) SxF'2 ii
_8G
w Mj
ans= 2/3*x^(3/2) a4: GGzt
M0
z%<_ <}
>>int(S3,'a','b') }`=7%b`- ?
L0w6K0J4
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) Wf
c/?{
Vh-8pF t
>>int(S3,0.5,0.6) S t5;X&Q
* \ii +f-
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) CPB{eQeDuv
-
2)k!5X=
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 |5u~L#P
!*]i3 ,{7v
ans= 0.0741 t6Iy5)=zY
=.`\V]
2．3求解常微分方程式 CL0 lMZ
?%3dgQB'
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， ?/| Xie
M ?l v
condition则为初始条件。 bPVk5G*ruP
~'M<S=W
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 a RTy=~
v_KO xV:<`
y'=3x2, y(2)=0.5 (xgw';g
$R DlM
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 X}( s(6
>zJHvb)b\
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 /&Q{B f
] SJ#:7
对应上述常微分方程式的符号运算式为： N7?]eD
HV%/baX]
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') y:)^*2GA-B
!!\}-r^y%
ans= x^3-7.500000000000000 ]i
{yJ )i
sVx}(J
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 =p+n(C/
AM+5_' S,
dWz?`B{'
^N7H~CT"
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') m>=DJ{KQ
^ ]9K>}
ans= atan(x^2+1) pU_3Z3C eE
?NwrdcQ
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') A8f.h5~9
^kfqw0!
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) t:2 DB)
z~Q=OPCnY
oU|G74e 6
W>#yXg9
2．4非线性方程式的实根 " $(+M t^
1.14tS-}[4
要求任一方程式的根有三步骤： PC9,;T&7_
xM%4/QE +
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， Y
w0,K&
M\{n+r -m
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 "3^tVX%$\[
)$] lf }
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 Ki><~! L
ZWkRoJX Ni
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 ",,# q
`X<B+:>v-
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 j n^X{R\
^fsMfB
例一、方程式为 d?7?tL2
UDEGQ^)Xz|
sin(x)=0 X +!+&RAN*
Z:9 Q~}x8
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： b`X''6
oPi>]#X
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 BwT[SI<Sg
>._d2.Q'
r=3.1416 n^nE&'[?0g
krfXvQJwJ
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 _v&fIo
CyIlv0fd}
r = 6.2832 Gd!-fqNa'x
9rEBq&
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： Na9 1K4r#
)9H5'Wh#
>> x=linspace(-2,3); 9[/0
?I=1T.
>> y=humps(x); $e+sqgU
+Kk1[fh-
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 f=^xU
P
4<Vi`X7[F
M hN;GMH
~kZdep^]
*s4|'KS2o
M">v4f&K1!
"'CvB0>
vh\ i ^
AA5G` LiT
yV.p=8:
Dck/Ea
L3{(B u
?I?G+(bq
qA[lL(
zyS8LZ-y9
>> r=fzero('humps',1.2) S"!6]!~^
egu{}5
r = 1.2995 aMI;; iL^
ox&5} &\
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 _=$~l^Y[
l>\EkUT
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： t2,II\K l
.{ v$;g
% m-function, f_1.m :^y!z1\2(7
!R@ LC
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 ehW [LRtq
dBI-y 6R
y=x.^3-2*x-5; )= f}vHg$
kx&JY9(&#
>> x=linspace(-2,3); }<WJR Y6j
eDpi0htm
>> y=f_1(x); ]1++$E j
h@ `Rk
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 V ,KIi_Z
R%.`h
D =ej%]@iw
z)T-<zWO;
v\@qMaPY
\d"\7SA
}sxs-
( }b~}X9
XH%pV
e=9/3?El
=%|`gZ
i ~Tt\UA>
OH@"]Nc~
,g? ny<#o
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 d~8U1}dP
<PSz`)SN
r = 2.0946 ~m=GS[=
>n,_Aj
c
>> p=[1 0 -2 -5]
Fbo"Csn_
i$y=tJehi
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 {jD? o bs
|V5BL<4
r = _YX% M|#
(GRW(Zd4
2.0946 `p\ %ha!,w
FJ84 'T\~
-1.0473 + 1.1359i A'w+Lc.2
\>S.nW
-1.0473 - 1.1359i Vu(N P\Wm
^x& x|ckR!
2．5线性代数方程（组）求解 "1s ]74
Xt O..{qU
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 "22./vWV|i
<l1/lm<#
AX=B ])?dqgwa
Kvg=7 o
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 .Vt|;P}
gp9O%g3'
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 MNs <yQ9I'
wA{) 9.
如果将原方程式改写成 XA=B I0 Do%
L~ax`i1 :"
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 k
Fl* Im
HVv m3qu4
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 $MasYi
q<\r}1Dm
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 @Xoh@:j\
.U(6])%;@
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： -v9 (43
>> cW0I/`
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 xLIyh7$t
eQQVfEvS
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 Jha*BaD~N
tgBA(2/Co
>> X=A\B % 先以左除运算求解 [%>*P~6nK
5S? "<+J '
X = % 注意X为行向量
!& c%!*
M}jl \{
-2 c Mi9 Z]
K/( LF}
5 +PYR
"^t7]=q
6 gs2qLb
<=uO*s>%
>> C=A*X % 验算解是否正确 S ?t
`/"O
w +rw<,u%
C = % C=B HV `u#hZ7C
e77s?WxbK
10 |\B\IPs{%'
@uC- dXA"
5 w 8o?wx*
a:|]F|
-1 [9?]|4
qjfv9sU
>> A=A'; % 将A先做转置 Iy5W/QK6
,hK
=x
>> B=[10 5 -1]; LzXIqj'H7T
#euOq
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 ;2 o{ 6
$.DD^ "9
X = % 注意X为列向量 f`8fNt
ZbH6$2r
10 5 -1 >y+j!)\
p38s&\-kEN
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
