2．1微分 I78Q8W(5
5%]O' h
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： TT^L) d
` M!'PMX
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 6kHuKxY,
J[al4e^
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 M.``o1b
Q(jIqY1Hf
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 1s-=zs
46D _K
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 @umn[J#*
WZ N0`Od
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 < Y)A ez
e4<St`K
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： d@ef+-
uJU;C.LX
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Le 2rc *T
FJ2~SKWT
>>S2 = 'sin(a)'; -u~AY#*
BHpj_LB-P
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; &
Tkl-{I
."j=s#OC(
>>diff(S1) ;^ff35EE8
rO]2we/B,4
ans=18*x^2-8*x+b qPn!.m$/
:czUOZ_
>>diff(S1,2) A QD`cG
%afz{a5
ans= 36*x-8 LF ;gdF%@
nU /x,W[}
>>diff(S1,'b') 7 T?T0x3>
/X;!
F>
ans= x Ygc.0VKMR
ne# %Gr
>>diff(S2) Q|7;Zsd:
; ! B>b)%
ans= +\RviF[+
V L C=>w\,
cos(a) q3ebps9^
l} W">
yQ0
>>diff(S3) E&0]s
@+hO,WXN
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 K_-S`-eH
e#^ vA$d
>>simplify(diff(S3)) m6o o-muAr
B3Ws)nF"
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 o" g<Vz
y<m }dW6[\
2．2积分 a 1~ @m[
dC?l%,W
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 v,c;dlg_
smPZ%P}P+c
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： NW~`oc)NS
UVD*GsBk
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 JnS@} m
!B R@"%hx
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 ?:Rw[T@
l
Thuwm e
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 E+P-)bRa
<AB({(
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 *a' I
|M|>/U 8
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 nBtKSNT#Q
oT9qd@uQ0:
我们示范几个例子： }VqC yJu&{
vY]7oX+
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; E2Ec`o
rhC
x&L
>>S2 = 'sin(a)'; 8>'vzc/* >
O7y IFqI=/
>>S3 = 'sqrt(x)'; i)@H
Dj{=Y`Tw
>>int(S1) _@O.EksY3r
mBDzc(_\$'
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x
\1?:
@|fT%Rwho<
>>int(S2) 4]no#lVRJ
AizLzR$OG
ans= -cos(a) b E b+oRI
{=, +;/0
>>int(S3) p*~b5'+ C+
T_oL/x_;
ans= 2/3*x^(3/2) (
\7Yo^
ZQ[ s/
>>int(S3,'a','b') -fD W>]_
_a w49ag;
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) R
RnT.MU
.<Jq8J
>>int(S3,0.5,0.6) +[Q`I*C
}h=3[pe}
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) vO8CT-)
-Hg,:re2
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 #yOn /
%Ktlez:S
ans= 0.0741 [ip}f4K
b#Vm;6BHD1
2．3求解常微分方程式 OGPrjL+
9O-*iK
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， h`:B8+k
]
jycg@=B
condition则为初始条件。 x%55:8{
?A~a}bFZ
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 dwVo"_Yr
"*N]Y^6/A
y'=3x2, y(2)=0.5 43N=O FU
nOK1Wc%/'
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 k];fQ7}m<0
p&ZLd`[
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 1V ; ,ZGI*
92Rm{n
对应上述常微分方程式的符号运算式为： V0y_c^x
jiP^Hz "e
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') P*kC>lvSv
[W=6NAd
ans= x^3-7.500000000000000 B)s%B'
b#:!b
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 XO}v8nWV
&\<?7Qj3U|
7?2<W-n
_OJ19 Ry
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') .%_=(C< E
q[%SF=~<k{
ans= atan(x^2+1) ^'$P [
P;ovPyoO
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') >{#QS"J#
2UEjn>2
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) <Y ^)/ s
7z3YzQ=Kg
J mbWEX|
Kj* $'('
2．4非线性方程式的实根 -{eI6#z|\A
_+.
)8
要求任一方程式的根有三步骤： H`NT `BE
]SNcL[U
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， ^qV6 khg
iTJE:[W"y
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 YI),yj
AHn
Yfxv_
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 N6!$V7oT
! k8j8v&
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 VHx:3G
Og(|bs!6
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 "M=1Eb$6=
Dh .<&ri
例一、方程式为 Ypw:Vp
$m F9os-
sin(x)=0 VZr AZV^c
P30|TU+B
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： zN,2
(v"
$
1v'CT
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 kTm>`.kKJ=
5VGr<i&A
r=3.1416 iU?xw@W R
zC_@wMWB
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 n^%",*8gD*
1ika'
r = 6.2832 '" J``=
y!jq!faqt
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： t? [8k&Z
z#\YA]1
>> x=linspace(-2,3); S3> <zGYk
wak'L5GQE
>> y=humps(x); P6u%-#
zAO|{m<A2
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 aYcc2N%C
GJn ~x
8U7 X/L
@;h$!w<
'*n2< y
\Qei }5P,
_W gpk 0
~a`
vk@8
}TwSSF|}3
UGK,+FN
E{}Vi>@V?
{Zr f >ST
. ? *TU~S
ZA'Qw2fF0
u]s}@(+.
>> r=fzero('humps',1.2) n_Bi HMIU'
Kp%:\s,lO
r = 1.2995 )P
#MUC
v}BXH4 &Y
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 C
vWt
{}N=pL8MS
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： <,I]=+A
TqTz
% m-function, f_1.m i=X
B0-
HiT j-O
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 SX@zDuM
<F-W fR
y=x.^3-2*x-5; y rmi:=N(
SB =%(]S
>> x=linspace(-2,3); _X]S`e1F
\#q|.d$ u
>> y=f_1(x); }WEF *4B!
S)vNWBO
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 ]j57Gk%z
w}r~Wk^dLI
n0tVAH'>
A,]%*kg2
]c\d][R N
@"'$e_jj"
DE" Y(;S
]]8^j='P'
2~RG\JWTA
sH / 08 Z
iBaz1pDc
,'>O#kD
p@jwHlX
_ 68{
{.
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 ,BE4z2 a
52#A c;Y
r = 2.0946
w[Q)b()
T7~Vk2o%(
>> p=[1 0 -2 -5] D) ;w)`
m+9~f_}
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 C7xmk;c
w
#D|n6[Y'.t
r = i4H,Ggb
: C9vs
2.0946 <_~e/+_.
j- 9Zzgr
-1.0473 + 1.1359i ~9DD=5\
p-JGDjR0G
-1.0473 - 1.1359i nV3I6
aYws{Vii
2．5线性代数方程（组）求解 -&JQdrs
Y[Eq;a132
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 YK%rTbB(
6gTc)rhRT
AX=B Sgq?r-Q.
]1&} L^a
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 #gSLFM{p
vk. P| Y-;
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 u?I 2|}#
<db>~@;X!
如果将原方程式改写成 XA=B #VynADPs`o
5dkXDta[G
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 f_'8l2jK1i
`/JuItL-
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 12HE =
2VaKt4+`
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 zLybf :#
J+r:7NvZ
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： (0u(<qA\
M3Oqto<8"
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 W(\ ^6S)
IA680^
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 z4{ :X Da
4}F~h
>> X=A\B % 先以左除运算求解 2(H-q(
LsO}a;t5
X = % 注意X为行向量 xq<X:\O
s"B2Whe
-2 Kjt\A]R%
do:IkjU~
5 }No8t o
#Fz/}lO
6 /X%+z5
_)[UartK x
>> C=A*X % 验算解是否正确 #*X\pjZ
U X%J?;g
C = % C=B +aOQ'*g
f"SK3hI$ p
10 uYC1}Y5N
Dvm[W),(k
5 8p_6RvG
`k`P;(:
-1 # p2`9o
n+ S&[Y
>> A=A'; % 将A先做转置 z]R%'LGu
'9!J' [W
>> B=[10 5 -1]; T{)_vQ
_{/[&vJ
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 O i<yT"7
`IT]ZAem`/
X = % 注意X为列向量 ?NR&3 q
9_fbl:qk;\
10 5 -1 **JBZ \'
dozC[4mF
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
