2．1微分 &)bar.vw/
p ^L6uM
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： q1?2
U<
JWn9&WK
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 QT |m N
|xf%1(Rl@
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 {Or|] 0
dvL '>'g
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 pg>P]a{
CiMy_`H
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 iOJ gZu P
Tl=vgs1
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 _pu QX @i
@EZXPU
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： MI@ RdXkY
=} vG|
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';
u*9C(je
k"sL. }$
>>S2 = 'sin(a)'; c3
wu&*p{
2XI%4
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; +6;OB@
F(XWnfUv
>>diff(S1) AVcZ.+ ?
1:&$0jU&U
ans=18*x^2-8*x+b :ZzG5[o3
d9^=#ot
>>diff(S1,2) GB
!3Z
b u hxC5i%
ans= 36*x-8 7P \sn<
{==Q6BG*
>>diff(S1,'b') b#y}V Y)?
DX!$k[
ans= x 5S7Z]DXiT8
[ wu%t8O2
>>diff(S2) H~$|y9>qI
,%jJ
,G,
ans= Qy$QOtrv
Z7 f~|}
cos(a) t)m4"p7
?_^9e
>>diff(S3) J`V6zGgW
UbYKiLDF)
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 D=OU 61AA
xp &I~YPH
>>simplify(diff(S3)) xj~6,;83xR
{Ise ( > V
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 u( o @_6
stDn{x .
2．2积分 Th8Q ~*v
[ cH/Y2[
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 mb/3
#)
.DX#:?@4@Y
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： ~kHir]jc
%EpK=;51U
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 ^Uf`w7"iY
3dM6z OK
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 YW 'Y=*
'v,W
gPe
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 AH}
nTm
EtL= _D-
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 >2 |#b
]6aM %r=c
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 980+Y
QxkfP % _g
我们示范几个例子： %z.G3\s0
dqe_&C@*O
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; zZRqb/20
Ky'^AN]
>>S2 = 'sin(a)'; yO($K L +
W`\H3?C`xQ
>>S3 = 'sqrt(x)'; P o_9M4kU
e,x@?L*
>>int(S1) V4"AFArI
T-@pTJ !K9
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x 5bAXa2Vt
3}+/\:q*
>>int(S2) b'&pJ1]]}
:Hd<S
ans= -cos(a) r" D |1
lz*PNT{E
>>int(S3) CxRp$;rk
u7;A`
ans= 2/3*x^(3/2) pqs)ueu
d .+vjMI
>>int(S3,'a','b') MPB6
4EpzCaEZ
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) Cam}:'a/`
Cb13 Qz
>>int(S3,0.5,0.6)
Ntq c=z
pFK
|4u
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) j\vK`.z
8x{vgx @M
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 J.&q[
OBl8kH(b>
ans= 0.0741 MJb = +L
{,
|"Rpd
2．3求解常微分方程式 QA3l:D}u
Z^|C~lp;n
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， U VLcR
{$t*Mb0
condition则为初始条件。 rNAu@B
z>{KeX:
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 PHXP1)^}S
U &5zs r
y'=3x2, y(2)=0.5 Gh
pd
k;
P=@lkF!\#
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 CvW((<?
(w- u"1&
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 pxbNeqK@p
$P -m6
对应上述常微分方程式的符号运算式为： vraU&ze\1
>SJ $41"E
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') ""+*Gn 7^8
U,M,E@
ans= x^3-7.500000000000000 YUb,5 Y0
OT[m
g 4&
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 s,v#lJ]d0W
d{hYT\7~1(
] aRD6F:L
C]H <L#)ZU
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') gB(W`:[
*N r|G61
ans= atan(x^2+1) ` Y;gMrp
jq]"6/xxb
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') Yel(}Ny
Mh|`XO.5I
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) O)|4>J*B
)r i3ds
l{U 3;
O-5U|wA
2．4非线性方程式的实根 @>@Nu g2
cQ41NX@I
要求任一方程式的根有三步骤： ? <?C*W_
LwPM7S~ *
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， ewG21 q$
a~7osRmp0
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 f ti|3c
xUpb1 R
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 5#)<rK
.^S78hr]n
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 A4F D R#
ebe@.ZVSi
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 J\ +gd%
x2sOEkcQ
例一、方程式为 Pu*HZW3l
a.IF%hP0xo
sin(x)=0 ?1:/
6
5{0>7c |.
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： 8@KFln )[
pf@ }4PN}
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 0r ;
nz]'
B 9Q. s
r=3.1416 &jZ|@K ?
Gy6 qLM
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 U<Y'.!
9*+0j2uhQ
r = 6.2832 f sc~$^.~\
-xu.=n@,
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： 51opP8
]MLLr'6?
>> x=linspace(-2,3); OG+r|.N;
yLO
&(Mb
>> y=humps(x); m '(;uR`
nYy}''l<
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 , . "(Gp
*\:_o5o%[T
\seG2vw$
?U/Wio$@
O;e8ft
'|
^=Ct Aa2
_#D\*0J
>_aio4j}r
,V]A6 3J
7;}3{z
px }7If
;#yu"6{
:n4:@L<%H
@ZkAul0@
-iDEh_pts
>> r=fzero('humps',1.2) n *i'v tQ8
T$^>Fiz{Se
r = 1.2995 q$?7
~*M;x
k g,ys 4
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 Ls >u` hG
blfE9Oy
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： QPe9s [Y
mo# 0q&ZQ
% m-function, f_1.m 8gbm "!
*pTO|x{
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数
Ku/H=
%g0z) J
y=x.^3-2*x-5; h*#2bS~nl-
!0OD(XT
>> x=linspace(-2,3); ~1=.?Ho
:q>oD-b$}
>> y=f_1(x); .:Bwa
S# h'\/S
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 5hJYy`h~
2z.8rNwT
uRm _
=X`]Ct8 Z
l$-=Pqb
-eR!qy:.]5
!u53 3
f3zfRhkIk
jom} _
Ig02M_
5y%un
2q- :p8
h0F0d^W.
T/GgF&i3
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 #h gmUa
s% N`
r = 2.0946 29a_ZU7e6
obAs<nk
>> p=[1 0 -2 -5] HJfQ]p'nK2
%tzN@
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 .'^6QST
@V* ju
r = lL(p]!K'
I|g@W_
2.0946 G2CZwm{/f
c<=`<!FS[
-1.0473 + 1.1359i E! zd(
j-lSFTo
-1.0473 - 1.1359i y+4?U
"UQr :/
2．5线性代数方程（组）求解 L_THU4^j
< XQN;{xSa
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 @- wNrW$
KInUe(g<9M
AX=B ^))PCn_zb
KTG: I@|C
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 eJU;*] xfH
xm <v"><
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 :3KO6/+
2{A;du %&
如果将原方程式改写成 XA=B 5^/, aI
>Z#uFt0<Pm
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 k $e D(cW$
9W{,=.%MX$
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 %f3c7\=C
w^06 z,
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 :/o C:z\h
Op`I;Q
#%d
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： 3R5K}ZBi%
; cGv] A+
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 ]3n , AHA
_PK}rr?"7O
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 .:w#&yM [U
@%6)^]m}r
>> X=A\B % 先以左除运算求解 Mw/?wtW
oR *ztM
X = % 注意X为行向量 JB&G~7Q85
S 5uJX#*;
-2 0CPxIF&
d{er |$E?
5 CQ@LmTW[
2>F \&
6 }5Yj
* :a'GC%/
>> C=A*X % 验算解是否正确 PeO] lq
JZ `>|<W
C = % C=B cNe0x2Z$?
< f%ujr X
10 ^ #]c0
Z:K+I+:t
5 hT?6sWa
+T9 Q_e*
-1 O`cdQ u
k/% # >
>> A=A'; % 将A先做转置 he"L*p*H
`YPe^!` $
>> B=[10 5 -1]; Z;# %t.
?N:B
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 x
Sv-;!y
< "<Mbbp
X = % 注意X为列向量 Uc gG
5?Bc
Y ;
10 5 -1 )IQ*
grr'd+_ e
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
