2.1微分 [XfR`@
"yn~axk7
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: Gm=qn]c
*o6}>;
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 ^X=Q{nB
WRh5v8Wz0
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 R'Sd'pSDN
fE#(M +(<
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 QQ*sjK.(
{%V(Dd[B6
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 ;O"?6d0
oxwbq=a6yV
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 9BCW2@Kp
XH%L]
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项:
*LT~:Gs#
o>el"0rn.h
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Y[
G_OoU
Z*,e<zNQ
>>S2 = 'sin(a)'; K`4rUEf}V"
p@<Q?
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; <Vat@e
2w?q7N%
>>diff(S1) vwCQvt
) `u17
{
ans=18*x^2-8*x+b (`x_MTLL
ZoW1Cc&p
>>diff(S1,2) $%<{zWQm
i! .]U@{k
ans= 36*x-8 cG|fau<G
@=-(H<0
>>diff(S1,'b') LCF}Y{
s\*L5{kiSl
ans= x 9^gYy&+>6]
pwFp<O"
>>diff(S2) qt"D!S_
=7Ln&tZ
ans= ?w3RqF@}
XlmX3RU
cos(a) +C(-f
YEL0h0gn
>>diff(S3) nL@'??I1
^7gGtz2
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 w^yb`\$
X Xque-
>>simplify(diff(S3)) -IPo/?}
wi(Y=?=
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ( }-*irSsj
!Sc"V.o@!
2.2积分 =|3BkmO
GO"`{|o
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 r`H}f#.KR
"<,lqIqA;
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: Y
},E3<
[FFr}\}bY
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 |/Nh#
_~kw^!p>Kr
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 ?
SFBUX(p
1\}vU
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 ZU4=&K
<Ap_#
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 f|[7LIdh-
bI):-2&s}
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 {u'szO}k
[xS7ae
我们示范几个例子: f56yI]*N=<
rRTKF0+
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Xp<q`w0I,
lriezI
>>S2 = 'sin(a)'; M2$/x`\-~
,d"T2Hy
>>S3 = 'sqrt(x)'; ;6tra_
19 5_1?'<
>>int(S1) Z@~gN5@,M
!np_B0`
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x ~i,d%a
9~SPoR/_0
>>int(S2) Sd+5Uf`
-(vHy/Hz.
ans= -cos(a) P,v7twc0M
7e_4sxg'(3
>>int(S3) ]U?nYppV
corm'AJ/
ans= 2/3*x^(3/2) E=NjWO
Dri6\/0
>>int(S3,'a','b') :;$MUOps
inu.U[.
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) wL;OQhI
@iz Onc:
>>int(S3,0.5,0.6) h ldZA
"~r<ZG
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) mnt&!X4<
O,$*`RZpx
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 Q2CGC+
&4Z8df!
ans= 0.0741 CD1Ma8I8
r=j?0k '}]
2.3求解常微分方程式 gS(3 m_
#}A"yo
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , V&zeC/xSq
$z=a+t *
condition则为初始条件。 |d0X1(
Z$z-Hx@%
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 p$,7qGST
;~3;CijJ8
y'=3x2, y(2)=0.5 k>i88^kPV
175e:\Tw
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 z~{08M7
HT7,B(.}
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 !t% 1G.
f6r!3y
对应上述常微分方程式的符号运算式为: GMU!GSY
8)>>EN8 R
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') ~-"CU:$o
tP_.-//
ans= x^3-7.500000000000000 \Z.r Pq
[REH*_
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 *r.%/^@
%_ew{ff|
VgPlIIHh5
RHsVG &<j
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') ximVh}'a
:k9T`Aa]
ans= atan(x^2+1) l!1_~!{y
`.@udfog^0
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') yp~z-aRa
^"Bhp:o2
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) S @[]znH
gj|5"'g%
$YJ 1P
?0)K[Kd'Y
2.4非线性方程式的实根 gY+d[3N
KKwM\
要求任一方程式的根有三步骤: ]ty$/{hx'
k;qS1[a
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, q,K|1+jn
(
yLu=
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 m{oe|UVcmr
"]3o933D
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 qt:B]#j@
we}xGb.u
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 "yymnIQ3u
r?KRK?I
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 7<LuL
drpx"d[c
例一、方程式为 o^@#pU <
'qV lq5.
sin(x)=0 ESviWCh0Fl
[XPAI["
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: X$<pt,}%
PY|zN|
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 *BxU5)O
vdXi'<
r=3.1416 +:Xg7H*
O:v#M]
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 J"#6m&R_q
h~QQ-
r = 6.2832 }S"gZ6
#0)TS
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: 0~<?*{~
Z/Wf
>> x=linspace(-2,3); hxdjmc-
Ju5Dd\
>> y=humps(x); zEjl@Kf
shGUG;
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 C{U*{0}
u/k'
ry=
^G qO>1U
.NWsr*Tel
FoE}j
'RwfW|~6
wg_Z@iX
yfwR``F
/?BTET
&R/-~w5
*QNX?8Fm_
nUs=PD3)
m,+E5^
t.&JPTK-H
Cm5L99Y
>> r=fzero('humps',1.2) Ww~C[8q
W rT_7
r = 1.2995 @@a#DjE%/
"4KyJ;RA*
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 Rxw+`ru
d~.hp
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: R,7.o4Wt
%/)z!}{
% m-function, f_1.m a^G>|+8
;B<rw^h5
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 m[l&&(+J,
+-x+c:
IxA
y=x.^3-2*x-5; UQI!/6F
uR=*q a
>> x=linspace(-2,3); BGNZE{K4"
<`q-#-V@
>> y=f_1(x); f% 8n?f3;u
("f~gz<<
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 0LGHSDb
dr8Q>(ZY
aR)UHxvX
l"&iSq!3=
XYV`[,^h&
E-X02A
F)l1%FCm
D41.$t[
>7?Lq<H
yqJ>Z%)hf
e*<pO@Uy
W;X:U.
g5nL7;`N
0p,_?3nX
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 =%77~q-HL
pNHL &H\
r = 2.0946 u3 X!O
'*U_!RmQ
>> p=[1 0 -2 -5] FIJ]`
RR`\q>|
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 5n::]Q%=D
GB*^?Ii
r = 5:~ zlg
sld cI@Z
2.0946 s2tNQtq0W
j;_E0j#
-1.0473 + 1.1359i 3! KyO)8
So NgDFD
-1.0473 - 1.1359i mt *Dx
>)`*:_{
2.5线性代数方程(组)求解 U,<?]h
;P8.U(
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 PywUPsJ
8P%Jky&(
AX=B "NV~lJS%
" v'%M({
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 JWQd6JQ_~V
=EHKu|rX~
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 ypvz&SzIh
4?`*#DPl
如果将原方程式改写成 XA=B f 0/q{*
m*AiP]Qu
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 [xDn=)`{V
UE/iq\a>
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 7U)w\A;~
fHF*#
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 J32"Ytdo<
cS",Bw\
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: . N5$s2t
1mv8[^pF
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 'V4B{n7h
*Fd(
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 wemhP8!gc
ZyrVv\'
>> X=A\B % 先以左除运算求解 q$B|a5a?
.A7ON1lc^C
X = % 注意X为行向量 g|{Ru
W>$mU&ew[
-2 K!tM "`a
,/-DAo~O
5 \`?4PQ
a;G>56iw
6 ?2S<D5MSb
&A&2z l %#
>> C=A*X % 验算解是否正确 xQs._YY
n?NUnFA
C = % C=B JF9r[%
Yx"~_xA/u
10 rW2
<OGXKv@
5 `G>BvS5h
vn.j>;E'
-1 K^[Dz\ov5
HA;G{[X
>> A=A'; % 将A先做转置 ghaO#kI
oazy%n(KZ
>> B=[10 5 -1];
rUBc5@|
z4s{a(Tsd
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 aB~=WWLR\
(+.R8
X = % 注意X为列向量 l\&Tw[O
10..<v7
10 5 -1 bP1]:^ x@W
m$^v/pLkM
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解