2．1微分 hPUZ{#;n
L5CnPnF
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： }TDq7-(g
4v2JrC;
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 TJuS)AZ
C
rym*W\A Wx
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 2~h Q
1 /SB[[ g
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 a&[>kO
<80M$a
g
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 ^c| 0?EH
etk|%%J
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 P#"_H}qC*
K] &GSro
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： ,? Q1JZPy@
{f Mo#`9=
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; |WW'qg]Uu
l
s%'\}
>>S2 = 'sin(a)'; :^]Fp UY
Y> K8^GS
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; ?XVox*6K&
UN:cRH{?*
>>diff(S1) ~xc 0Ky?8
S(: |S (
ans=18*x^2-8*x+b b )T6%2
ZQmg;L&7
>>diff(S1,2) D c] J3 r
2-^ ['R
ans= 36*x-8 x_= 3 !)
='(;!3ZH
>>diff(S1,'b') Z*'_/Grv?
\*c=bz&l
ans= x jjg&C9w T
q2M %AvR
>>diff(S2) \]Rmq_O
B*fBb .Z
ans= kZ!&3G9>-
E%$[*jZ
cos(a) <O{G&
s2K8 |q=
>>diff(S3) -U@yc x|r
axv-U d E;
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 RMAbu*D 0
y <P1VES
>>simplify(diff(S3)) Ua+Us" M3}
v&` n}lS
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ,MD >Jx|
T=fVD8
2．2积分 CDDEWVd
]jV 1/vJ-!
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 RR>G}u9 np
Sbj{)
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： :Y)G- :S+
= {~A}
X01
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 ~%s NPKjA
U"K%ip:Wd
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 Fh.Z sPn,m
l{.
XhB
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 [O6JVXO>
83Fmu/(
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 P2 +^7x?
/-g%IeF
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 "=0JYh)%_
g n[h:+H&
我们示范几个例子： >
!WFY
M5+K[Ir/y9
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ['l} *
@T{I;8S
>>S2 = 'sin(a)'; "9 ;Ay@'B
$HV`bJ5!L*
>>S3 = 'sqrt(x)'; `_M&zN
;* e$k7}F
>>int(S1) +VHo YEW
aMyf|l.
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x Mey=%Fv
<:~'s]`zf
>>int(S2) _\AT_Zmy
|exjrsmM*
ans= -cos(a) BR0P :h
- [7S.
>>int(S3) ]ov"&,J
R<ZyP~
ans= 2/3*x^(3/2) -) E6{
PJ'@! jx
>>int(S3,'a','b') yzz(<s:o/
s=)1:jY k
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) @. KFWAm
2tdr1+U?g
>>int(S3,0.5,0.6) X6o
iOs
zA&]#mc
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) ](^BQc
.4,l0Nn`W
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 gOn^}%4.I
~`VD}{[,B
ans= 0.0741 B6]M\4v
Su[f"2oR
2．3求解常微分方程式 zY\MzhkX,
%;YERO!
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， P!lTK
gz`P~7-w:
condition则为初始条件。 'M3V#5l)@|
mV'^4by
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 8f-B-e ?k
(J\Qo9Il
y'=3x2, y(2)=0.5 8,&QY%8pX
-wn(J5NnR
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 ?1/wl;=fm
j*@EJ"Gm>
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 yI}_
U
x '`L( C
对应上述常微分方程式的符号运算式为： H iDL:14
5\P3JoH:Yg
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 1$rrfg
F7qQrE5bl
ans= x^3-7.500000000000000 %z AN@
Ed& M
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 ^[-3qi
J l9w/T
? Glkhf7(
&oqzQ+H
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') 1M/_:UH`
4Nz]LK%@
ans= atan(x^2+1) 7%Ii:5Bp
YNWAef4
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') *heX[D
&>)
'Lv>!s 7
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) gIaPS0Q
dnUiNs8
;l2pdP4jf
eXZH#K7S#
2．4非线性方程式的实根 B3i U#
L# NW<T
要求任一方程式的根有三步骤： 1r;. r|
#u6ZCv7u
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， .#$D\cwV
' CO3b,
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 Mny mV;y"
Hze~oAP+
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 G9i?yd4n=B
^J$? [@qD
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 &nEQ `3~F
+idp1SJ4
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 >J
No2
!^<%RT9@|
例一、方程式为 "<I*V iZ
h2]gA_T`
sin(x)=0 74q |F Q
J`x!c9 zg7
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： $6p|}<u
5 NdIbC
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 V57tn6 >b
fA>FU/ r
r=3.1416 wth*H$iF
FlQ(iv)P
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 i V Ipe
dF/HKBJ
r = 6.2832 8o4?mhqV
c- {;P>L
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： '
;PHuMY#X
>*aqYNft
>> x=linspace(-2,3); 49m} ~J=*
e+=P)Zp/
>> y=humps(x); EZvf\s>LT
C%y!)v_x
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 T=n)ea A
p +>vX
X
f.&((z?r C
ai,Nx:r
M}
{'kK
?H2{R:
1SYBq, [])
PRE\ 2lLY
>^fkHbgNQ
\h }a?T6
D7"RZF\)
8P#jC$<
atA:v3 "
?QXc,*=N
Q7b$j\;I
>> r=fzero('humps',1.2) Os# V=P
xEfz AJ5&
r = 1.2995 aJi0!6o y
gZD,#D.hR
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 m"CsJ'\ors
_PR> <L_
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： -Ob89Z?2A
IfdgMELk
% m-function, f_1.m N $i|[>`j
jZ8#86/#{
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 17nONh h
`K o6;s#
y=x.^3-2*x-5; *Bgk3(n)
%w YGI
>> x=linspace(-2,3); eZ^-gk?
J|z >5Z
>> y=f_1(x); ~J Xqyw}
(K(6`~
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 X_0Ta_u?T
,,-g*[/3
ATb[/=hP<R
(gn)<JJS}
Mk -Rl
</OZ ,3J=
C/w!Y)nB=
[aK7v{Wu
8
)w75+&
_26~<gU8
,%FBELqOW
X ~ AE??
& u_s*
w/`I2uYu
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 N<\U$\i
SbLx`]rI
r = 2.0946 *Hnk,?kPq
Y 0||>LX
>> p=[1 0 -2 -5] fA]b'8
1qw*mV;W)_
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 $]G_^ji)K
%S<0l@=5`l
r = x-:a5Kz!
q DQ$Zq[
2.0946 UoLvc~n7
=psX2?%L
-1.0473 + 1.1359i nbpGxUF`]
k8}*b&+{vz
-1.0473 - 1.1359i y3 R+060\3
F|3 =Cl
2．5线性代数方程（组）求解 Fnnk }I}
pL {h1^O}
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 ]&')# YO
eN/o}<(e
AX=B ~
cKmf]
1?6;Oc^
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 M mjeFv
1Fado$#
7
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 dJZMzn
>&| C
E 2'
如果将原方程式改写成 XA=B /5ngPHy&
E6{|zF/3'
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 R).?lnS
;$Eg4uX
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 poqcoSL"}
Xgge_`T9
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 Q)\~=/L b
p*T`fOL
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： O<0G\sU
>i> % @
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 f_*Bd. @
`w JR^O!e
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 p nS{W
\Q
K[%) _KW
>> X=A\B % 先以左除运算求解 - I$qe Xy
o<*H!oyP\
X = % 注意X为行向量 VpDNp
(2
fh0a "#L{
-2 $YM>HZe-
*CHLs^)
5 )Q_^f'4
6d G:3n}
6 %1uY
zCvt"!}RRa
>> C=A*X % 验算解是否正确 vI< n~FHt
S}q6CG7 u
C = % C=B TG\3T%gH/s
^:.=S`,^
10 `u%`N j
[
7W@/qqv
5 ,k*g `OTW
'!)|;qe
-1 Voi`OCut
RR u1/nam
>> A=A'; % 将A先做转置 5]/i[T_
VP|ga }(
>> B=[10 5 -1]; %!5[3b'h
B|Y6;4?
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 "XWrd [Df
o rB8q((
X = % 注意X为列向量 #{]X<et
a#i JXI
10 5 -1 `'Fz :i
9? xMsu-H
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
