2．1微分 `NSy"6{Z
~.6 |dw\p!
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： .LObOR 5J7
+]c}rWm
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 5B{k \H;
qm'b'!gq~
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 .T$D^?G!D
g4wZvra6%)
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 {a@>6)
0[)VO[
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 |l 7% l&!
2tf6GX :
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 KDD@% E
Sl>>SP
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： j V^C19
Hbk&6kS
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ?'sXgo.}
!5UfWk\G
>>S2 = 'sin(a)'; x2k*| =$
+j[`,5oS
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; HabzCH
G o <'
>>diff(S1) ^.vmF>$+I
8a>SC$8"
ans=18*x^2-8*x+b v"RiPHLT
62kb2C
>>diff(S1,2) :<GfET Is
AIh*1>2Xn
ans= 36*x-8 "-
eZZEl(
*vnX lV4L
>>diff(S1,'b') yN\e{;z`
}1U*A#aN7K
ans= x #3 bv 3m
=nU/ [T.
>>diff(S2) ZJ(rG((!
tg 85:
ans= ^u)rB<#BR
'7tBvVO_
cos(a) jPk
c3dG
+
8!zb F<W9
>>diff(S3) yC
!/PQ"
V=}1[^
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 i:Y \`J
zOGR+Gq_Z
>>simplify(diff(S3)) U<Jt50O
6E|S
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 eH
<Jng
vPmnN^
2．2积分 |!LnAh
2
9#] Vr
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 ?QpNjsF
3KcaT5(&
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： ;h~er6&
1R*=.i%W
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 Y=2Un).&
C1QV[bJK
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 Y~q b;N\
Fif bxL
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 o \ 6i q
^8K/ xo-
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 c tI{^f:
-9o{vmB{
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 C_->u4 -
<KQ(c`KW7
我们示范几个例子： @Zm J z
*Y vRNHP
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; x(~< t X~
JNo8>aFOb
>>S2 = 'sin(a)'; mX\
;oV!
wss?|XCI
>>S3 = 'sqrt(x)'; M"wue*&
p2d\ZgWD=)
>>int(S1) 9lspo~M
$1 @,Qor
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x ^}>/n. %
Rs7 |}Dl}
>>int(S2)
%}b8aG+
`# ^0cW
ans= -cos(a) ctJ&URCi#
ai ^|N.!
>>int(S3) )^/0cQcJ
D:E9!l'
ans= 2/3*x^(3/2) 9_huI'"p
cm@;*
>>int(S3,'a','b') KCtX $ XGL
<B[G |FY,
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) :6P ad
h$fe -G#
>>int(S3,0.5,0.6) &]iKr iG
5
9 -!6;T
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) '^}+Fv<O
R$6qoqv{yG
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 "JT;gaEm
JwP:2-o
ans= 0.0741 w *~Tm >U
'uC59X4l
2．3求解常微分方程式 r<yhI>>;<
I3) Zr+
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， ?L|yaC~
p538r[f<
condition则为初始条件。 IZNOWX|Z;
x "\qf'{D
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 tZ 8 e`r*
G[z
.&l
y'=3x2, y(2)=0.5 3 ^}A %-bS
/A07s [L
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 R Kuqx:U
:zp`6l
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 M_1;$fWq
e!X(yJI[O6
对应上述常微分方程式的符号运算式为： PT_KXk
KIus/S5
RC
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 5PiOH"!19
eegx'VSX4
ans= x^3-7.500000000000000 Iti0qnBN5
oln<yyDs
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 ] U_ec*a
y4jU{,
.C!vr@@]
id,NONb\
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') )K0i@hM(n
wCb(>pL0
ans= atan(x^2+1) yyP-=Lhmo=
^ jyD#
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') H3O @ 9YU
ht6244:
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) &Lj@9\ Dh
r eiU%C
U A-7nb
..qd,9H
2．4非线性方程式的实根 u, kU$
J;QUPpH Z
要求任一方程式的根有三步骤： Pe ~c
l-O$ m
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， Vxdp|
}iww:H-1
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 bB 6[Xj{
Qn+:/ zA;
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 EX
"|H. (
M$S]}
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 D"l+iVbBP
7@;">`zvm
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 : 1 aL
?
f =s &n}
例一、方程式为 ^& [+H8$
=/9^,
6Q(
sin(x)=0 _8fA?q=
" ;NRzY
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： \8v91g91f
E^V |
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 Xu} U{x>
07_oP(;jT
r=3.1416 r o\1]`6
^v ni&sJ
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 Z" v<0]rN
x]4Kkpqm
r = 6.2832 +t!S'|C
%s=Dj2+
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： 8OFj0S1r`
`jsEN ;<
>> x=linspace(-2,3); H[WQ =){
-n))*.V
>> y=humps(x); h5~n 1qX
?=On%bh
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 3Qn!y\#
:#{Xuy:
6 "gj!/e
v F={9G
Z S|WnMH
ZFn(x*L
T3,1m=S
\vbk#G
hH
"&o,yd%
uofr8oL~
Jfhk@2 7T
)e%}b -I'r
AR&:Q4r|
DSyXr~p8
t#wmAOW
>> r=fzero('humps',1.2) smy}3k
QWO]`q`|
r = 1.2995 ! fl4"
p9[6^rj x8
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5
R= 5 **
[
!%R#+o=F
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： &1^%Nxu1
4Y ROB912
% m-function, f_1.m ?UZ?NY
E5GJi
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 p~jlx~1-]
7[#xOZT
y=x.^3-2*x-5; 6[P-Ny{z
` lpz-"EEV
>> x=linspace(-2,3); 4ne5=YY *
&Z^(y}jPr
>> y=f_1(x); )}lRd#V
"MOpsb,
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 "M
H6fF
HIc a nk
'- PC7"o
7=}F{U
-_A$DM!^=w
lFG9=Wf
/R8p]
> 0>
%5'6Tj
+Wn& ,?3^
,[rPe\w.z
&% =D \YzG
&l2TeC@;
i775:j~zx0
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 Qs 2 .ef?
|L3X_Me
r = 2.0946 3z =^(Y
F iAY\4
>> p=[1 0 -2 -5] m.Lij!0
ii| ? ;
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 8/%6@Y"Y*
1} m3 ;
r = _=f=f cl
|F$Bv Cg
2.0946 ;/O#4]2*
" {de k
-1.0473 + 1.1359i Rd&9E
R[[ ,q:4
-1.0473 - 1.1359i PO-"M )M
s}5+3f$f
2．5线性代数方程（组）求解 \.{AAj^qD
7
h=QW 5
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 v1G"3fy9
W#F Q,+0)
AX=B r`'y?Bra;
| }&RX D
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 ~eh0[mF^]
<O~WB
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 x3 4f9!
't
K|S:{9Q
如果将原方程式改写成 XA=B VU.@R,
y*b3&%.ml
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 0?Q_@Y
K ! z`
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 @I3eK^#|P
Q\Kx"Y3i
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 Gc tsp2ndW
4\otq%Y
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： h: bru:ef
63WS7s"
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 A#h /B +
9]'&RyH=#
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 _Q(g(p&
%D}H|*IPu
>> X=A\B % 先以左除运算求解 El2e~l9
is^pgKX
X = % 注意X为行向量 my FAKRc
xG2+(f#C1
-2 AvJ,SQt
hcCp,b
5 ]88];?KS}
VaONd0Z I
6 @p=AWi}\
jvy$t$az
>> C=A*X % 验算解是否正确 KDP H6
CO+/.^s7}S
C = % C=B d 4?d4;{
,FzeOSy'p
10 `YBkF
4-GXmC
5 o(kM9G|
E ]9 \R
-1 2.e
vx
TtD@'QXq
>> A=A'; % 将A先做转置 ./6<r OW
%qf V+^
>> B=[10 5 -1]; y3u+_KY-
una%[jTc
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 >g ll-&;t
!9iGg*0dx
X = % 注意X为列向量 &;T J~r#K
UYP9c}_,4
10 5 -1 `6Qdfmk=
[4&#*@
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
