2.1微分 3s6obw$ki
~gDYb#p
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: 3\7MeG`tl
vpQ&vJfR
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 0<,{poMM
,aP6ct
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 1G>Ud6(3<
1oQw)X
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 0AQazhm
)bUnk+_
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 d_9 Cm@
gv*b`cl
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 [LYO'-g^F#
~; 9HGtg
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: .j]tzX
Nk'<*;e
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 4agW<c#
fap`;AuwK
>>S2 = 'sin(a)';
^^a6 (b
K*~{M+lU7
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; cl& w/OJ#
c!EA>:;(<
>>diff(S1) Z&
_kq|
Qit&cnO
ans=18*x^2-8*x+b *u},(4Qf
'OY4Q'Z
>>diff(S1,2) y;b#qUd5a
$qNF /rF
ans= 36*x-8 .9J^\%JD
Ac:`xk<
>>diff(S1,'b') @6;OF5VsQ
_2fW/U54_
ans= x btW#ebm
zMSwU]4I!
>>diff(S2) PCT&d)}
mskG2mA
ans= 4Mt3<W5
~74Sq'j9Wt
cos(a) dxeiN#(XT
\e86'&
>>diff(S3) f_c\uN@f
_^iY;&
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 q5f QTV
j7}mh
>>simplify(diff(S3)) ;4 ;gaf
*AH`ob}
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ?C|'GkT
'2^}de!E
2.2积分 !>48`o^
<cTX;&0=
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 <"3q5ic/Z
?_eLrz4>L^
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: RY;V@\pRY+
iv*RE9?^
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 ?!RbS#QV}
+SFFwjI
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 R27'00(Z0
x^lcT
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 =xk>yw!O)
c=v016r\
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 ,^9+G"H:I
*7AB0y0k
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 aO{@.
P^te
我们示范几个例子: 8a6.77c
SdnnXEB7
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ;hQ[-
u`v&URM
>>S2 = 'sin(a)'; 3zsp6k V
AXbb-GK
>>S3 = 'sqrt(x)';
q0ktABB
F_079~bJ
>>int(S1) , Q0Y} )
}83
8F&
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x K~:SLCv
E%
S)hDsf.I
>>int(S2) uH\EV`@'
#$UwJ B]_D
ans= -cos(a) )>~jjR
a;[\ nCK
>>int(S3) SPqJ
[F
-nGcm"'6F
ans= 2/3*x^(3/2) ?s, oH
DN%}OcpZ
>>int(S3,'a','b') vA6`};|
V7WL Gy.,
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) tav@a)
5WI
bnV@
>>int(S3,0.5,0.6) /Xi21W/
<y7{bk~i
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) \PS]c9@,rc
)M;~j
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 (1x8DVXNN
lITd{E,+r
ans= 0.0741 dOv\]
|47t+[b
2.3求解常微分方程式 b@J "b(
'`^~Zy?c
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , O.jm{x!m
_#\Nw0{
condition则为初始条件。 $6m@gW]N
6wpW!SWD
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 )q{qWobS0
A\?t^T
y'=3x2, y(2)=0.5 e/hCYoS1n
'jO2pH/%
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 J4eU6W+ {
0d2RB^"i
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 OcUj_Zd
NrS+N;i
对应上述常微分方程式的符号运算式为: 6W_:w
a=$ZM4Bn
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') XHv
m{z=
{ccc[G?>.Q
ans= x^3-7.500000000000000 8b0j rt
2<*"@Vj
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 TeuZVy8a
t,LK92?
qJF'KHyU{l
2{RRaUoRb
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') 9+ Mj$
4U\>TFO
ans= atan(x^2+1) %UdE2 D'bC
Mxw-f4j
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') +6>2= ,?Z
'bRf>=
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) $m
;p@#n
AAfhh5i
[;hkT
Z42q}Fhm*R
2.4非线性方程式的实根 Pg.JI:>2Ku
@|;[
;:h@
要求任一方程式的根有三步骤: M#Z^8(
a1_ N~4r`
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, _3W .:
N@_y<7#C
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 rmBzLZ}
+s_a{iMVP
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 I!Dx)>E&
G8]{pbX
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 Zq:
}SU
Ir` l*:j$
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 jA@
uV,w
_MQh<,Z8
例一、方程式为 .GYdC'
)abH//Pps.
sin(x)=0 b!QRD'31'j
N>s3tGh
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: p&xj7qwp@F
:hB6-CZkqN
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 1_xkGc-z<
7k#>$sY+
r=3.1416 *!NW!,R
>_\]c-~<
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 -)"\?+T
4;jAdWj3
r = 6.2832 I_Gm2Dd
isnpSN"z
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: ev7A;;
iF:NDqc
>> x=linspace(-2,3); /K,@{__JP
Zic:d-Q47
>> y=humps(x); Uu`}| &@i
;8]Hw a1!
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 mCI5^%*0jQ
NP.qh1{NP
.(Z^[C}
tsB}'+!v#
je:J`4k$
!*wd
d8
+,ld;NM{
:h0!giqoQ
A,#z_2~
{Z$]Rj
obX2/
3=Xvl 58k
wC<FF2T
aXbj pb+
U|+`Eth8(
>> r=fzero('humps',1.2) C0>)WVCK
nrTCq~LO(
r = 1.2995 -zH-9N*c
IxWX2yJ]
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 !?B2OE
_=qk.| p/
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: (/P-9<"U
1x0)mt3
% m-function, f_1.m 61b<6r0o
;[,#VtD
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 eYg0NEq{
gi/W3q3c6
y=x.^3-2*x-5; 0NSCeq%;6q
\7(OFT\u:
>> x=linspace(-2,3); w (,x{Bg\
pAtxEaXh
>> y=f_1(x); !NhVPb,
K!G/iz9SB
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 xAf?E%_pi
B/EGaYH
%C >Win)g
$O9#4A;
%G] W Oq=q
rIj B{X{Z
U&gl$/4U@
q[.,i{2R}
e5sQl1
oPA m*
e0o)Jo.P
8rjiW#
a&`Lfw"
`9VRT`e
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 SM`n:{N(
g^2H(}frc
r = 2.0946 F)tcQO"G
k?Iq 6
>> p=[1 0 -2 -5] bO gVCg
2MKB(;k
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 u+]8Sq
)G|'PXI@,
r = -sk!XWW+
j{NcDepLn
2.0946 yKOC1( ~
?7aeY5p
-1.0473 + 1.1359i ;U<rFs40
}$'T=ay&
-1.0473 - 1.1359i Ykj+D7rA:
Ivc/g,
2.5线性代数方程(组)求解 !JwR[X\f
* @'N/W/8
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 jL#`CD
c0:`+>p2
AX=B k iY1
;ywUl`d
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 J?bx<$C@
E$E#c8I:
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 5+iXOs<
|VML.u:N
如果将原方程式改写成 XA=B 'WJ3q|o/
H<wkD9v}H5
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 fnU;DS]W
10e~Yc
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 Z[zRZ2'i5
,CQg6-[
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 kG3m1: :
=E-V-?N\
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: Ouc$M2m0!
[#C(^J*@c
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 :^992]EBEj
R"qxT.P(
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 /gq
VXDY+`
J0x)NnWJ
>> X=A\B % 先以左除运算求解 3g5
n>8-
O3["5
X = % 注意X为行向量 GC^>oF
[I5}q&
-2 }:hN}*H
'@,M
'H{
5 8iUj9r_
P
jh3=Dr
6 v_e3ZA:%
OS$^>1f"
>> C=A*X % 验算解是否正确 BBlYy5x
L~>~a1p!
C = % C=B #>dj!33
vAjvW&'g
10 4b:q84
3/0E9'
5 &Z6s\r%
6~c:FsZ)
-1 L/2,r*LNx$
qv.s-@l8
>> A=A'; % 将A先做转置 Ni-@El99
&-hXk!A
>> B=[10 5 -1]; yJ?S7+b
eNX!EN(^
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 h@yn0CU3.
:2(U3~3:
X = % 注意X为列向量 0;2"X[e
4Bz:n
10 5 -1 z6;6 o!ej
.l$:0a
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解