2.1微分 yMVlTO
4SDUTRoa
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: qGVf!R
H.=S08c3kA
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 MFzJ 8^.1R
[QZ g=."
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 m(DJ6CSa
:)=>,XwL8
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 IMcuoQ5
vnr{Ekg
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 {Uj-x
-
|x#w8=VP-
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 jRGslak;
d":GsI?3
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: OAw- -rl
z}z 6Vg
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; [Zxv&$SQ
DElrY)3O.
>>S2 = 'sin(a)'; $s.:H4:I
(<KFA,
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; 5x? YFq6k
hb="J349
>>diff(S1) 2&o
jQhe
xm$-:N0q
ans=18*x^2-8*x+b )Gm,%[?2C
^Iy'G44
>>diff(S1,2)
Swr
8
'^!#*O
ans= 36*x-8 :tf'Gw6v
l' mdj!{&
>>diff(S1,'b') L'L[Vpx
P+:DLex
ans= x R(AS$<p{!>
,[UK32KWI
>>diff(S2) NXHe;G
r7^oqEp@B
ans= QCAoL.v
i9koh3R\
cos(a) /nWBo l,
*hvC0U@3
>>diff(S3) %5$)w;p.$'
{|{;:_.>
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 W\Df:P {<
L.?QZN%cN
>>simplify(diff(S3)) ~J:]cy)Q
cNl NJ
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 Us2IeR
K;Fs5|gFU
2.2积分 4&kC8
[ r
c:I %jm
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 38#Zlcf
u*=8s5Q[
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: H! P$p-*.
_)kTlX:,
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 !9t,#?!
^_gH}~l+U
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 *$Z,kZ^^
IqAML|C
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 .+(R,SvN%<
^D8~s; ?
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 '\M]$`Et
alH6~
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 ?[<#>,W
cDIZkni=
我们示范几个例子: FDal;T
+Ly@5y"
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Ge7Uety
Vbv)C3ezD
>>S2 = 'sin(a)'; HA74s':FN
*7o@HBbF
>>S3 = 'sqrt(x)'; p""\uG'
T5Iz{Ha
>>int(S1) fE"-W{M
hVIv->
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x :cvT/xhO
OcLahz6
>>int(S2) ;,/4Ry22j-
v{SZ(;
ans= -cos(a) c] -
4sq](!A
>>int(S3) 2]]}Xvx4#
fjCFJ_
ans= 2/3*x^(3/2) a<J<Oc!
SQ&}18Z~
>>int(S3,'a','b') C8W_f( i~
vmg[/#
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) vnWt8?)]^
(mplo|>
>>int(S3,0.5,0.6) 2H1
[oD[
tOX-vQ
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) _Q 'f^Kj
gO{$p q}
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 *zQhTYY
OLo?=1&;;
ans= 0.0741 ZUD{V
~)F_FS
2.3求解常微分方程式 7K ~)7U
*{,}pK2*
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , [dFe-2u ,$
31\mF\{V
condition则为初始条件。 <0;G4fE7[H
Po&'#TC1
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 jn`5{ ]D
hBaF^AWW
y'=3x2, y(2)=0.5 qI>,PX
&c} 2[=
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 Ii#+JY0k
-(7oFOtg
y'=3y+exp(2x), y(0)=3
`n@;%*6/
* =*\w\
te
对应上述常微分方程式的符号运算式为: gF`hlYD
`6RccEm
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') V>`9ey!U
^q`RaX)
ans= x^3-7.500000000000000 [kTckZv
[+8*}03
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 wwv+s ~(0
yY{
EI)2c.A
~!M"
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') %mIdQQ,
ej7L-~lxQ
ans= atan(x^2+1) xs
)jO+.
I2krxLPd
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') RP^vx`9h
gLY15v4?
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) bc:3 5.
;VE KrVD
scTt53v^
C4GkFD
2.4非线性方程式的实根 $d,/(*Y#-
+z0s)HU>j
要求任一方程式的根有三步骤: xB]^^NYE=
OI8}v
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, 0x<G\ l4
GHo
mk##0E
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 ;U$Rd,T4S
{;m|\652B
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。
sCmN|Q
.;S1HOHz4
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 2Q7X"ek~[
8F'm#0
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 yY*(!^S
Sx (E'?]
例一、方程式为 :6Tv4ZUvcG
So75h*e
sin(x)=0 l_8ibLyo
xJnN95`R@
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: NTO.;S|2%
W`P>vK@=
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 MttFB;Tp
uRYq.`v,
r=3.1416 2[j`bYNe
?>I
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 =6f)sZpPh
AX'-}5T=
r = 6.2832 th<>%e}5c
UR S=1+
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: .,U4 ATO
"!fwIEG
>> x=linspace(-2,3); 8H T3C\$s
A_e5Vb,u.
>> y=humps(x); aT+w6{%Z
D #7q3s
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 _
b</
::Tp
86!$<!I
:h/v"2uDN
1)qD)E5&cf
g[uf
e<
&}|`h8JA]K
(_+ux1h6^
Y*O
Bky
rhX?\_7o
:7 JP(j2
(d*||"
Sfp-ns32%A
fZLAZMrM
;Bw3@c
}n#$p{e$i
>> r=fzero('humps',1.2) YfMs~}h,
qn,fx6v4
r = 1.2995 g6S-vSX,
\hb$v
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 PnB2a'(^@?
uq7/G|
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: N3a ]!4Y\
\3%3=:
% m-function, f_1.m 4x?I,cAN
:S7[<SwL
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 i70\`6*;B
]{#Xcqx
y=x.^3-2*x-5; ipt]qJFd
-)KNsW
>> x=linspace(-2,3); B[
D
s?:
Snp(&TD<<
>> y=f_1(x); 2+pXtP@O
h0$ \JXk
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 iP:^nt?
,^<39ng
1,U)rx$H
86dz Jh
@+)T"5_Y[
"Vp:Sq9y
ac966<#
ae2SU4Jx
)7Qp9Fxo
+qqCk
:S!!J*0
`0w!&
V`YmGo
jqTK7b
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 d>c`hQ(V
mv`b3 $
r = 2.0946 w{;~
+&J1D8
>> p=[1 0 -2 -5] d-W*`:Q
HqV4!o9'
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 8493O x4 O
9 }42s +
r =
fD8GAav
qLKL*m
2.0946 nrXKS&6
&zVXd
-1.0473 + 1.1359i 6lkCLH
Sco'] ^#(
-1.0473 - 1.1359i /'_Yct=
Gc5mR9pV
2.5线性代数方程(组)求解 z8)&ekG
V%C'@m(/SZ
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 S@~ReRew2
'dv(
AX=B P=y1qqC
O0bOv S
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 #T`1Z"h<
|%3>i"Y@AK
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 l <Z7bo
!ZCxi
如果将原方程式改写成 XA=B |S]fs9
/#L4ec-'
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 J*ZcZ FbWN
nvc(<Ovw
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 qDfhR`1k
uaCI2I
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 Pi,86?
_.EM])b
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: L&]{GNw
w^7[4u4
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 Z7?\ >4V
j<9^BNl
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 d?cCSf
*xKy^f
>> X=A\B % 先以左除运算求解 ]!/R tt
1,we:rwX
X = % 注意X为行向量 M~Er6Zg
p6Ia)!xOGF
-2 =Pp-9<&S
#H5+8W
5 E%Ko[G
SaRn>n\
6 ;rnhv:Iw
r $ YEq5
>> C=A*X % 验算解是否正确 ?f!&M
>{Xyl):
C = % C=B H6KBXMYO
fN9uSnu
10 ^.*zBrFx
"1p,
r&}
5 OL@$RTh
9tmnx')_
-1 4ZYywD wn
^
7)H;$
>> A=A'; % 将A先做转置 8\PI1U
tCu.Fc@
>> B=[10 5 -1]; |F qujZz
-f?,%6(1
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 7$*x&We
6.|[;>Km
X = % 注意X为列向量 C0ORBp
zP|^@Homk
10 5 -1 /U6ry'
'
wp _U/
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解