2．1微分 y(Pv1=e
a<pEVV\NB~
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： ~8E f`zL
}
F*=+n
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 usugjx^p
F0 'o!A#|(
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 D1fUEHB}A8
j,_{f =3;
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 S@L%X <Vm
DqH]F S?]
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 )6he;+
n 8|
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 1kc{ `oL
n<[H!4
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： +zFEx%3^
G|$n,X1O(
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; MIv,$
%+$!ct n
>>S2 = 'sin(a)'; #
WL5p.
1 rmN)
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; N jA\*M9
GsWf$/iC:
>>diff(S1) `? f sU
$)O\i^T
ans=18*x^2-8*x+b DV bY
Pu r Y_
>>diff(S1,2) P6ugbq[x#e
~qW"v^<
ans= 36*x-8 ) nn v{hN
kL}*,8s{
>>diff(S1,'b') >3ASr M+>w
Ef6LBNWY.
ans= x Fo|
rRI2
Su`]
ku'
>>diff(S2) Luh*+l-nO
QtqE&j
ans= Z@>WUw@ F
FiN B$A
cos(a) ^t)alN Gos
I#t# %!InH
>>diff(S3) htqC~B{1E
)Rw O2H
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 P?U}@U ~9
fL R.2vJ
>>simplify(diff(S3)) ^F$iD ( f
&
Mf nH
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 |G>Lud
6?jSe<4x
2．2积分 H Ff9^
,Z]4`9c
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 Q -S5( "
ehYGw2
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： h`p9H2}0
c :G0=5
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 ]a=Bc~g9 1
fyt`$y_E[
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 ?9AtFT
u'EzY J7
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 5-X(K 'Q
E./Gt.Na
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 ~Aq$GH4
E?P: !V=_
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 yE),GJ-m\<
O 0#9D'{
我们示范几个例子： _:,U$W
_LSf
)
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; -7l)mk
5 l(Q#pS X
>>S2 = 'sin(a)'; o.H(&ex|
'@+a]kCMev
>>S3 = 'sqrt(x)'; 8a4&}^|
|G]M"3^
>>int(S1) [ 6t!}q
k%?A= h
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x rn8t<=ptH3
4
U`5=BI
>>int(S2) >T~d uwS
O:,Fif?;
ans= -cos(a) ; X3bgA']
/_*L8b
>>int(S3) zmMz6 \ $
oVSq#I4
ans= 2/3*x^(3/2) {n>W8sN<
{$mj9?n=v
>>int(S3,'a','b') FsYsQ_,R3
(Q09$
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) .)eX(2j\
wm r8[n&c
>>int(S3,0.5,0.6) _~E&?zR2>"
Lcyj, R
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) \hwz;V.J"
%, M(-G5j;
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 77I D
82
7o]p0iLej
ans= 0.0741 %A<|@OSdOa
_=ee Z4f
2．3求解常微分方程式 F$Q@UVA
\WeGO.i-
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， l1qWl
B3^ 4 ,'
condition则为初始条件。 Ag`:!*
oLXQ#{([
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 ` <L6Q2Y>j
iE$/ Rcp
y'=3x2, y(2)=0.5 tCdgt Zm
{s=$.Kg
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 =K)au$BE|
M/,jHG8 v
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 qeyBZ8BG
x-_!I>l&
对应上述常微分方程式的符号运算式为： Nz&J&\X)tD
7QlA/iKqK
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 2ajQ*aNq
rtz%(4aS
ans= x^3-7.500000000000000 \5%T'S@5
C9q`x2
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 (Js'(tBhiU
sGCV um}
<, Zk9 t&
? 1g<] ?
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') P==rY5+s`
7
C5m#e3
ans= atan(x^2+1) ;TK:D=p4
dfo{ B/+
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') !=.5$/
\7}X^]UV x
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) shlL(&Py
8yH) 8:w
+x!V;H(
SZCF db
2．4非线性方程式的实根 sY t8NsQ
@^vVou_
要求任一方程式的根有三步骤： Je Jc(e
mb*L'y2r
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， rBP!RS l1
]OoqU-q
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 1e;^Mz B"
Zjt3U;Y
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 j"E_nV:Qc
j0 k"iv
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 e/WR\B'1
"YGs<)S
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 *N $#cz
N"b>]Ab] ;
例一、方程式为 bgd1j,PWbW
d; ElqRC&
sin(x)=0 YXJjqH3
<BQ4x .[
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： 8 KD7t&H
74%,v|
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 J%3%l5 /
x~}RL-Y2o
r=3.1416 D a)[mxJ
W:P4XwR{
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 ]7R OCJ;
:JSOj@s
r = 6.2832 _EOQ*K#=Ct
DL2gui3
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： 2-u>=r0L
5-}4jwk
>> x=linspace(-2,3); " 7RQrz
L& lNpMT
>> y=humps(x); 5 >7ECe*
O ~B
iqm
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 \{n]&IjA
)5Kzq6.
B5!$5 Qc
@Q3aJ98)2
7
#_{UJ%
q[l},nw
U\y];\~ H
VZJs@q x:Z
8|?$KLz?F>
H. j(hc'
[,-MC7>]
&-9wU Z
(eN\s98)/
vI#\ Qe
eQno]$-\
>> r=fzero('humps',1.2) ycRy! 0l
_I~ W!8&w>
r = 1.2995 ]E88zWDY`
[z`U 9J
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 U=p,drF,A
./)A6O*#
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： ]~ )FMWQz-
zO2Z\E'% .
% m-function, f_1.m r<Ll>R
zMKW @
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 Tul_/` An
J(h=@cw
y=x.^3-2*x-5; :sFP{rFx~
O (h4;'/E
>> x=linspace(-2,3); _{KQQ5k\
qp^O\> c
>> y=f_1(x); 7Cx%G/(
w:Tz&$&Y$
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 d5%A64?
bJ]g2C7`36
]6p?mBuQ
\QstcsEt
b|wCR%
W {At3Bfy
n!&DLB1z
8k]'P*9ulz
'd^U !l
6?Rm>+2>v
^~0\d;l_
.-'
uv}[MXOP
$&='&q
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 9@ #Z6[=R,
hJ>{`T w
r = 2.0946 R>To
L
T#Qn\ 8
>> p=[1 0 -2 -5] eR D?O
vL`wn=
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 A} FEM[2
OOGqt A ;
r = A{Z=[]r1`E
S`BLwnU`#
2.0946 xpKD 'O=T
~#&bDot
-1.0473 + 1.1359i ?0WJB[ /
Y{B|*[xM
-1.0473 - 1.1359i k+{ -iPm{
B9/x?Jv1
2．5线性代数方程（组）求解 GNA :|x
d Ayof=
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 5u
MP 31
0R >M_|
AX=B 3aQWzEnh
=da_zy
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 B@Ez,u5
j08}5Eo
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 iJk`{P _
E5UI
如果将原方程式改写成 XA=B B t-o:)pa
_p\
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 A j#CB.y
E9;c d$}K
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 <- Q=h?D
"D'A7DA
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 4*g`! ~)
fmXA;^%
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： 5vj;lJKcd`
D+]#qS1q
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 U,yU-8z/
3XYCtp8
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 ^I@1y}xi
D'F =v\P
>> X=A\B % 先以左除运算求解 ^]3Y11sI
hW$B;
X = % 注意X为行向量 ` /#f8R1g
tI|?k(D
-2 &*B=5W;6^u
hn#i,XnY
5 \?{nP6=
Fd":\7p
6 w,cfSF;=tC
V.vA~a
>> C=A*X % 验算解是否正确 w7 cciD|
MU4/arXy
C = % C=B 1 -r# v
&u( eu'Q3
10 Q3vC^}Dmr
laG@SV
5 +!6aB |-
[x
?38
-1 AA"?2dF
3`S|I_$(T"
>> A=A'; % 将A先做转置 K9B _o,
@r]wZ~@
>> B=[10 5 -1]; I
*YO
_]a8lr+_-
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 aN?{MA\
^I=c]D]);
X = % 注意X为列向量 #;sUAR?]
N=^{FZ
10 5 -1 Z{s&myd
Dv Cs 5
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
