2.1微分 o$bQ-_B`
2FL_!;p;2E
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: :F5(]g 7
K&._fG
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 m?Jnb\0
2:.$:wS
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 &VjPdu57
3mE8tTA$R
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 M2:3k
fX:G;vYn
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 jz'%(6#'gW
ViOXmK"
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 lh0G/8+C
6EWCJ%_
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: 2DZ&g\|
ieEtC,U
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Pmuk !V}f
fb8xs<
>>S2 = 'sin(a)'; O> wGJ.
ojWf]$^y}
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; zS\m8[+]
i[U=-4 J
>>diff(S1) p{V(! v|
kvN6K6
ans=18*x^2-8*x+b 3v~}hV/RUy
b!;WF
>>diff(S1,2) n<[H!4
w^$$'5=
ans= 36*x-8 v@!r$jZ
xiQd[[(sM
>>diff(S1,'b') L-3wez;hm
1UH_"Q03
ans= x (5^SL Y
apm,$Vvjy
>>diff(S2) sr.!EQ ]
6[1lK8o
ans= s[/)v:
FwSV
\N+#'
cos(a) x8h=3e$
]FO)U
>>diff(S3) !L'O")!3
~M J3-<I
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 V^p XbDRl
[IuF0$w=dj
>>simplify(diff(S3)) Q%RI;;YyA
cX-)]D
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ehYGw2
e/u(Re
2.2积分 _M}}H3
?9AtFT
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 IDv|i.q3
)SFyQ
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: n<>/X_m
HTUY|^^D
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 VYN1^Tp
6P*2Kg`
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 `]:&h'
-J=N
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 r6eApKZ>f6
O:,Fif?;
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 A `n:q;my
m2$Qp{C6H
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 pI|H9
7 V+rQ
我们示范几个例子: 55T c
0Bpix|mq
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; |YAnd=$
\!4sd2Yi
>>S2 = 'sin(a)'; Eo }mSd
&t\KKsUtd
>>S3 = 'sqrt(x)'; 2x7%6'
hD:$Sv/H
>>int(S1) %r*zd0*<n1
:A{ US9D
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x $fE$j {
/#M|V6n
>>int(S2) #'-L`])7uw
7QlA/iKqK
ans= -cos(a) v*nX
0r+%5}|-K
>>int(S3) &r;4$7
:B<lDcFKJ
ans= 2/3*x^(3/2) j/R
,z?Re)qm
>>int(S3,'a','b') ;q&>cnLDR
uSs~P%@6|
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) G!54 e
PF1m :Iz`d
>>int(S3,0.5,0.6) W)F2X0D>
nJYcC"f
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) R4"g?
e
~h;c3#wuc
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 AO9F.A<T5
4b8!LzKS
ans= 0.0741 B_[^<2_
()vxTTa
2.3求解常微分方程式 =@m|g )
3_IuK6K2
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , er}/~@JJ
zQ}:_
condition则为初始条件。 c{j0A;XMS
vcAs!ls+
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 gydPy*
b:>(U.
y'=3x2, y(2)=0.5 \{n]&IjA
Tc@r#!.m
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 g^1M]1.f
&@A(8(%
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 RNiZ2:
@q2Yka
对应上述常微分方程式的符号运算式为: Tm@mk
0W9,uC2:N
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') iU{F\>
[X=-x=S,
ans= x^3-7.500000000000000 Se*GR"Z+
'>Y"s|
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 _odP:
xe2Ap[Y'M
p}!rPd*
8\`]T%h
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') YrjF1hJ
&2MW.,e7s
ans= atan(x^2+1) w:Tz&$&Y$
MMD4b}p
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') kp[+Iun?
%.BbPR 7?h
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) ^/2n[orl5
]k_@F6 A
Jt.dR6,
~a4htj
2.4非线性方程式的实根 @/ wJW``;
SY["dcx+
要求任一方程式的根有三步骤: jnYFA[Ab
{%'(IJ|5z
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, O$E3ry+?
f[HhLAVGK`
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 ,o]"G[Jk
9;k_"@A6
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 @3K)VjY7
G@oY2sM"
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 "~9 !o"
b !J21cg<L
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 t;TMD\BU
o>W H;EBL
例一、方程式为 lV:R8^d
WLQm|C,
sin(x)=0 Pdmfn8I]%
I#zrz3WU
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: 9Ruj_U
~&4Hc%*IB
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 jwgXq(
3xWeN#T0
r=3.1416 Wp`wIe6
ya0L8`q
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 NDEltG(
NOLw119K
r = 6.2832 r5h}o)J
iUJqAi1o
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: r t@Jw]az
NK2Kw{c"iI
>> x=linspace(-2,3); 0W<:3+|n4
?F1NZA[%t
>> y=humps(x); x*Y&s<
I&?(=i)N
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 4HQP,
'^)Ve:K-.
&4Q(>"iL4
{"$
Q'T
rxH*h`Xx@
aG.j0`)%
qP{S!Z(
2?9 FFlX
sVtxh]
\g<9_
k>y68_
~WXT0-,
yQ5&S]Xk$$
qplz !=
$Y.Z>I;
>> r=fzero('humps',1.2) ^HYmi\`
SFCKD/8
r = 1.2995 "S#4
I;H6E
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 [5K&J-W
1-[~}
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: V?AHj<
KNT(lA0s
% m-function, f_1.m ,4W|e!
%"tLs%"7=P
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 BzBij^h
8m,PsUp7
y=x.^3-2*x-5; 0sq?;~U
~Wy&xs ZH
>> x=linspace(-2,3); .w5#V|
{TT@Mkz_QC
>> y=f_1(x); 8tq6.%\
&atT7m
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 :M" NB+T
P|}~=2J
R^zTgyr
"0x"Xw#I
hKq <e%oVH
9y=$|"<(
{
?p55o
mq~rD)T
_r!''@B
' k~'aZ
,EPs>#d
z_fR?~$N2
b_88o-*/
{XYv&K
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 ^bpxhf
x
aYQ!`mS::M
r = 2.0946 ;)ffGg>
@}@`lv65}
>> p=[1 0 -2 -5] uS :3Yo
<p<jXwl
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 x:8x GG9
#BK\cIr
r = M ,.++W\
|6LC>'
2.0946 EgIFi{q=0
xM85^B'
-1.0473 + 1.1359i eK\ O>
hNXP-s
-1.0473 - 1.1359i Q7]:vs)%
DmAMr=p
2.5线性代数方程(组)求解 )_!t9gn*wr
K1RTAFf /
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 UNLy{0tA
V/i&8UMw
AX=B vW6Pf^yJ
?b, eZ+t
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 _5#f9,m1
6TS+z7S81L
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 reLYtv
'7[{ISBXU
如果将原方程式改写成 XA=B M5 ep\^
dix\hqZ
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 ~=(?Z2UDA_
|mV*HdqU
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 %*]3j^b Q+
YcE:KRy
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 u9}}}UN!
X<ZIeZBn
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: "v4;m\g&:
yyxGVfr
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 3toY #!1Ch
|//cA2@.
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 !cT#G
5gZ0a4
>> X=A\B % 先以左除运算求解 i}ypEp
$bh2zKB)
X = % 注意X为行向量 +pc_KR
U#1T
HO`
-2 qdm5dQ (c
,XCC#F(d1
5 Xj"/6|X
;r>?V2,tm
6 :2Qm*Y&_$V
au}rS0)+
>> C=A*X % 验算解是否正确 IB
/.i(
4z Af|Je
C = % C=B Fp4eGuWH#
inZMq(_@$
10 D}px=?
2GXAq~h@
5 SG
|!wH^
AUcq\Ys
-1 2V/A%
-aLBj?N c[
>> A=A'; % 将A先做转置 yfiRMN"2
TgJx%
>> B=[10 5 -1]; jWiZ!dtUZ
V%dMaX>^i
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 +VDwDJ)lG
-WE pBt7*
X = % 注意X为列向量 muT+H(Z p}
Y<:%_]]
10 5 -1 rl'YyO}2
s#&jE
GBug
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解