2．1微分 Z<L |WRe
%M8 m 8
)
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： dU`kJ,=Z
nBw4YDR!
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 dm8N;r/w
q<.m@q
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 d:C|laZHn
O@* ^2, 6
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 v_M-:e3`
m'{gO9V
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 3@#WY vD
j#:IG/)GL
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 mX8k4$ z
SI_u0j4%*
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： n
hT%_se4
in}d(%3h
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ca )n*SD
9)P- <
>>S2 = 'sin(a)'; e_U1}{=t
i7rO 5<
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; l9Xz,H
Fpe>|"&
>>diff(S1) CMu/n]?c
`Hlv*" w$
ans=18*x^2-8*x+b }Pi}?
41!
}EJAC*W,
>>diff(S1,2) ENoGV;WG
olA 1,8
ans= 36*x-8 8d|/^U.w~V
1u `{yl*+?
>>diff(S1,'b') $TU:iv1Fm
E4}MU}C#[
ans= x `^d [$IbDW
{3)^$ F=T
>>diff(S2) A^L8"
Qqm$Jl!
ans= @wVq%GG}
z4! Y9
cos(a) |.]g&m)y^h
8PRKS J[@K
>>diff(S3) tBB\^x q:
P3e}G-Oz
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 3'*}ZDC
{ tKi8O^Rb
>>simplify(diff(S3)) N6R0$Br
&$H7vdWNy
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 a ]b%v9
@Z+(J:Grm5
2．2积分 qI= j >x
V;N'?Gu
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 F/
si =%
w *Txc}
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： .&Ik(792Z&
a_V.mu6h6p
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 c.?+rcnq
|g`:K0BI
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 + $CO
[TaYNc!\
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 ]DJ] L=T7
b<E0|VW
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 }f;c A
n/
m7+=]v
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 'Dx_ n7&=
PrQs_ t Ni
我们示范几个例子： CqAv^ n7 }
o0 &pSCK
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; i
w(4!,4~
: c/]( M
>>S2 = 'sin(a)'; .dw;b~p
_mG>^QI.
>>S3 = 'sqrt(x)'; 1cdX0[sN
S(NUuu}S
>>int(S1) k 2Dq~zn
<8sy*A?0z
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x D//uwom
WoSJp5By$
>>int(S2) p6*|)}T_%
z@tIC^s
ans= -cos(a) ]
RLEyDB
mA" 82"
>>int(S3) :G/.h[\R|
,0fYB*jk
ans= 2/3*x^(3/2) nNP{>\x;"
1k39KO@
>>int(S3,'a','b') S!{Kn ;@
fs3jPHZJ#
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) <pp<%~_Z
5#}wI ~U;
>>int(S3,0.5,0.6) cuUlr
g|
M@/D l
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) u EE #A0
?cmv;KV
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 lKA2~ o
>G<.^~o
ans= 0.0741 eGW~4zU
KX $Q`lM
2．3求解常微分方程式 =2tl149m/z
`mo>~c7
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， .=% ,DT"
6H:'_|G
condition则为初始条件。 3^%sz!jK+
lV )SOs$
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 A_}%YHb
c:f ++||
y'=3x2, y(2)=0.5 QU%'z/dip
U.0bbr
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 vo3[)BDbT
WC
ZDS>
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 VQ]MJjvb
ckg8x&Z
对应上述常微分方程式的符号运算式为： iT}L9\
O,A}p:Pgs
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') }y P98N5o
|&xjuBC
ans= x^3-7.500000000000000 'h~I#S4!
/*2sg>e'QF
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 3V2w1CER E
nbM7 >tnsk
'RjMwJ y{
5q>u]n9]
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') GP,xGZZ
9'S~zG%{
ans= atan(x^2+1) eOI#T'5
Q`4] \)Dp
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') x[i Et% _
8G0DuMI5
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) DZ9qIc}Y
TPeBb8v 8D
~RS^O poa
a vI
2．4非线性方程式的实根 ^68BxYUoD\
`+go|
5 N2
要求任一方程式的根有三步骤： 3ZKaqwK
c6NCy s
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， 9&t!U +
)x M P
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 =*u:@T=d5
;PrL )!
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 +v}R-gNR
nPj/C7j
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 :i24 @V~){
[@_zsz,`L
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 &3;yho8v@
?-e'gC
例一、方程式为 _Di}={1[.
vs )1Rm
sin(x)=0 4gNF;
fWBI}~e
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： A -dL_3
&xwA E*}
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 %Jr6pmc
|F'k5Lh
r=3.1416 e!5nz_J1}
1Jx|0YmO
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 0*.>
>rI
Yjr6/&ML
r = 6.2832 vkXdKL(q
B !hrr
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： t7%!~s=,M
B0 :[3@P7
>> x=linspace(-2,3); fi[c^e+IX
9% ?'[jJ
>> y=humps(x); ;5P>R[p
'CH|w ~E
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 \sIRV}Tk}N
!0g+}
USnKj_e
oK GF Dl]3
!@ _( W
I]`>m3SJ
^;2dZgJ 4^
{9<2{$Og
9 GdrJ~h
Z:#-4Ci P
#_+T@|r
R0y@#}JH
:zC'jceO
{. N" 6P
dm Lgt)-t
>> r=fzero('humps',1.2) 1:%m
>4U
#=f ]"uM<
r = 1.2995 `F>1xMm
F xKb
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 v UAYYe
#;RP ?s
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： @NXGVmY1}
O,_2dj d
% m-function, f_1.m -> -
%>uGzQ61
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 x7J|
hGH{Xp[mW
y=x.^3-2*x-5; <ZJ>jZV0*
N1I1!!$K;%
>> x=linspace(-2,3); i4.s_@2Y
u pf7:gk +
>> y=f_1(x); i\B >J?Q\
VG'o y
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 0.nS30 6
)\uy 0+b
Jug1V a<^c
Yuze 9b\[
pF.Ws,nQ5
?|+bM`
3Fh<%<=
qTiUha9
J=TbZL4y}4
muo7KUT
amGQ!$]
%#
5SX 0g(C
u *z $ I
+= MO6}5T
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 "G| Gyc
y]?%2ud/ =
r = 2.0946 'E0{ zk
t9m: E
>> p=[1 0 -2 -5] 0(3t#
Y_%\kM?7
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 uGJeQ
9XS+W
w7
r = vsoj] R$C
v (<~:]
2.0946
W1y,.6
8pDJz_F!{
-1.0473 + 1.1359i Q%QpG)E
)TyL3Z\>(
-1.0473 - 1.1359i lyZof_/*
`X^ 4~ 6/q
2．5线性代数方程（组）求解 _J
fUb5KCZ
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 GG;M/}E9
#B'WT{B$/~
AX=B 1y_{#,{>
4pq >R
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 GWA_,/jS%
Aid{PG Dk
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 %<DRrKt
K ( 6=)
如果将原方程式改写成 XA=B HK&F'\'}
|=38t8Ge&
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 I U 4[}x
;=)CjC8)
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 Rl3KE)<
%DPtK)X1
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 ]pb;q(?^
r-Z'
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： N4fuV?E`
o?p) V^7
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 0<v~J9i
c !Pi)
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 `?=AgG g
g " C$B Fc
>> X=A\B % 先以左除运算求解 rIge 6A>I
,=o q)Fm]
X = % 注意X为行向量 \~y>aYy
(eO0 Ic[c
-2 yo
(& ~r
eIof{#
5 T| 4c\
8%
1hfj
6 =/dW5qy;*+
y62;&{?m
>> C=A*X % 验算解是否正确 fEQ<L!'
M"p $9t
C = % C=B >r]# 77d
um3
M4>K
10 1u XtBk6
&n z1[,
5 YuPgsJ[m
X% _~9'#%
-1 ZklidHL');
m"x~Fj vd
>> A=A'; % 将A先做转置 z 9dVT'
qM1$?U
>> B=[10 5 -1]; ^@[[,1"K
- h.Y QC`
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 ;WGY)=-gv
bjQfZT (
X = % 注意X为列向量 &S|laq H
0|GxOzNd
10 5 -1 2_F`ILCML
o jIh;e
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
