2．1微分 m)V/L]4
!D!~ ^\
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： 'r(1Nj
%r&-gWTQ,
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 q$1PG+-
hcV JBK
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 i)#:qAtP*
$^u}a
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 ,q(&)L$S
ycFio ,
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 V8eB$in
^pM+A6
XY
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 98 8]}{w
Oj<S.fi
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： 2[0JO.K
4
P oEqurH0
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; )54%HM_$k
vI$t+m:
>>S2 = 'sin(a)'; E\gim<]
Z3[S]j C
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; ==i[w|
cA6lge<{~
>>diff(S1) )%!XSsY.N|
Sq:0w
ans=18*x^2-8*x+b cRX~ z
5[j`6l
>>diff(S1,2) -
0?^#G}3}
jx Jv.
ans= 36*x-8 6<K6Y5 <6
52upoU>}2
>>diff(S1,'b') CK,
6ytB
q80 S[au
ans= x `jS T
r>bJ%M}
>>diff(S2) 29XL$v],
oD}uOC}FS{
ans= ]Qm]I1P
NBb6T
V}j
cos(a) bQ| V!mrN}
E^U0f/5
m
>>diff(S3) @
P|LLG'
Q f(p~a(d
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 Lg"C ]
( H+'X}1
>>simplify(diff(S3)) dMR3)CO
h*ZC*eV>
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 =_Y G#yS
t4?DpE
2．2积分 +2 A f&~T
$ cj>2.
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 Z $J#|
YJ (*wByM
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： A)ipFB
6K
t43)F9!
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 r,_?F7
%'0T Xr$
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 Pz$R(T V
" vtCTl~t
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 !'LW_@
TIvRhbu
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 kA7mLrON
v@# b}N0n
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 H4]Ul
eU
%,ngRYxT#
我们示范几个例子： -GLMmZJt
Ali 9pvE
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ,]b~t0|B
}jill+ ]
>>S2 = 'sin(a)'; WOh|U4vt
&HSq(te
>>S3 = 'sqrt(x)'; )Wb0u0)_
aM4k *|H?
>>int(S1) ``E/m<r:$
s=42uKz
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x Mfv1Os:ST
s=[h?kB
>>int(S2) ^wS5>lf7p
"--t e
ans= -cos(a) /> 4"~q)
0@AAulRl
>>int(S3) "W(Q%1!Wi
" ?mJqA
ans= 2/3*x^(3/2) H*9~yT' Q
qoAj]
")
>>int(S3,'a','b') '}R i`
w|Nz_3tI
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) $v Z$'(
)XWP\
h
>>int(S3,0.5,0.6) [k-+AA>:
a@R]X5[O
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) yeHDa+}
tY
<Z'xA?
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 t:fF U1x
U)3DQ6T99
ans= 0.0741 ":_ v K}5
_/O25% l
2．3求解常微分方程式 W2.qhY 5
/@|/^vld
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， a+Ac[>
S%`0'lzzj
condition则为初始条件。 H@l}WihW
L QjsOo
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 u,6~qQczE
rylzcN9RM$
y'=3x2, y(2)=0.5 FHV-BuH5
P
3'O/!
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 z k( U8C+
|7zd%!
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 P@FHnh3}Z$
;amXY@RmH
对应上述常微分方程式的符号运算式为： N$[{8yil^w
QVt Qx>K`
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') M|R b&6O
|DsnNk0c
ans= x^3-7.500000000000000 0'IB N}
YY!Rz[/
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 [Jv@J\
,N0#!<}4
H *)NLp
KVJ_E!i
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') ? YG)I;(
G.UI|r /Kz
ans= atan(x^2+1) & \f{E\A#
V5rS T +
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') %V nbmoO
,2W8=O N
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) MNV %
=G
Gn&4V}F
hodgDrmO/
X*\ J_
2．4非线性方程式的实根 }+sT4'Ah>
) vSRHE
要求任一方程式的根有三步骤： S;-
LIv
L+i(TM=
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， >:b Q
y~\oTJb
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 LSRk7'0
}B1!gz$YNO
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 GmP@;[H"
5@BBo eG
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 mrjswF27$o
%ALwz [~]
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 RVQh2'w
r!
MWbFw|X
例一、方程式为
>=-(UA
J7g8D{ 4
sin(x)=0 sL$:"=
^RI?ybDd
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： @qYp>|AF
H7DJ~z~J
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 sjV!5Z
lx7Q.su '
r=3.1416 {.INnFGP@)
2_Z ? #Y
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 <Pi|J-Y
:w^Ed%>y7
r = 6.2832 )z28=%g
73\JwOn~
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： [wzb<"kW
Sxh]R+Xb
>> x=linspace(-2,3); +O?KNZ
] &Rx@&e*
>> y=humps(x); ys kO
OD!& .%
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 mrF58Uq;A
jr:7?8cH0L
AiO$<CS
W~7A+=&
JAem0jPC8
G VYkJ0,
_dhgAx-H)h
#6 H A\dE
,tu.2VQc@
NdD`Hn -
/^#;d
UB
Su/6Q$0 t
Tq[kl'_
/Y2}a<3&0
9^#c|
0T
>> r=fzero('humps',1.2) ~yW4)4k;b
P 'od`
r = 1.2995 %_%Q 8,W
%UERc{~o*,
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 F7EKo Dt
Xx0hc 8qd
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： {ix?Brq/
kr9*,E9cv
% m-function, f_1.m f\sQO&
9\BT0kx
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 D!Pq4'd(
+b3RkkC
y=x.^3-2*x-5; OX? \<),
? !d&E ?9\
>> x=linspace(-2,3); ijK"^4i
@ ] DVD
>> y=f_1(x); 1;Cyz )
P uA9X[=
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 !W}9no
)I^7 )x
jN;@=COi
'm FqE n
gv- xm
Rnr(g;2
7'W%blg!V
`tA"
}1;ka
26I_ YL,S
2db3I:;E
~- _kM
x7!L{(E3
7WkB>cn
KyYM fC
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根
H Y&DmE
>_-s8t=|
r = 2.0946 l3Q(TH ~I
q G?Qc (
>> p=[1 0 -2 -5] 7XTkX"zKj
Eg#K.5hJ
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 D%OQ e#!
ORHp$Un~)
r = |Mu p8(gCk
75f"'nJ)
2.0946 mD$A4Y-'p
l1OE!W W
-1.0473 + 1.1359i (_mnB W
8 *#R]9
-1.0473 - 1.1359i DEG[Z7Ju
nYR #
2．5线性代数方程（组）求解 bLi j7K 2H
pfA|I*`XV
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 Tc>
cl=EA6P\X
AX=B Lsq A**=
([T>.s
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 }Jy8.<Gd^
SPX$ U5&
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 zZPuha8
DC IxRPw
如果将原方程式改写成 XA=B %Gz0^[+
nm5cpnNl
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 42{Ew8
\o}xF@sM5
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 V:In>u$QJ!
\qdHX
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 :Dr Wq{4
@5=oeOg36
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： I5 o)_nc
+7D|4
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 f HE <(
bH7X'%r
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 /32Fy`KV
`5cKA;j>b
>> X=A\B % 先以左除运算求解 !"HO]3-o
L[oui,}_
X = % 注意X为行向量 & gVN&
R}
eN@#"D
-2 gf# {k2r
~
-4{B
5 YSr9VpqWV
8;b( 0^
6 gn8R[5:!V
#|Y5,a ,{
>> C=A*X % 验算解是否正确 [w>$QR
3 KR d
C = % C=B ]
bM)t<
\rx3aJl
10 / ;$#d}R
,X[kt z
5 wa<MRt W=
BWeA@v
-1 _X^1IaL
-[ *,^Ti`
>> A=A'; % 将A先做转置 Y l4^AR&
4x {0iav
>> B=[10 5 -1]; 'DY`jVwa
N=4G=0 `ke
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 5gb|w\N >
PlU * X8
X = % 注意X为列向量 0[R L>;D:
[;r)9mh7
10 5 -1 <;9 I@VYK
**w!CaqvY
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
