2.1微分 Sz"rp9x+
Z>O2
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: fw[Z7`\Q5
2X=
pu.;F
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 GadZ!_.f
-0tHc=\u(
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 C}7c:4c
xUKn
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 B\tP{}P8{
e2P
ds`
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 pOe"S
mvCH$}w8&
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 Vk#wJ-
K]<49`MX
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: &4m\``//9
QoU0>p+2
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; &:}{?vU
S<-e/`p=H
>>S2 = 'sin(a)'; ipIexv1/S
IPIas$
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; N
N1(f
TsvF~Gdp
>>diff(S1) :'F7^N3;H
7a<-}>sU
ans=18*x^2-8*x+b 8,l~e8 &
y\xa<!:g
>>diff(S1,2) XITh_S4fs=
;:%*h2
ans= 36*x-8 {zri6P+s
Ul/Uk n$
>>diff(S1,'b') ';\v:dP
BwpSw\\?@
ans= x 6^'BhHP
Vzs_g]V
>>diff(S2) wS)2ymRg
>[D(<b(U&
ans= |P>Yf0
?KKu1~a_
cos(a) O\"k[V?.V
rZK;=\Ot
>>diff(S3) S=N3qBH6
z+k[HE^S
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 )5O E~}>
CBVL/pxy
>>simplify(diff(S3)) 1h[xVvo<L
Kz>Bw;R(
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ^_Ap?zn
!L=RhMI
2.2积分 DMc H, _(
&6#>a"?"
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 FD+y?UF
$ncJc
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: [2 yxTK
NhgzU+)+
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 :|V`QM
M(8Mj[>>Rj
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 :9O"?FE
#AN]mH
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 ?c;T4@mB
*wd@YMOP
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 L
(#DVF
BS@x&DB
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 {j!jm5
YWXY4*G
我们示范几个例子: ,1! ~@dhs
8F;f&&L"y
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Q~y) V
l[P VWM
>>S2 = 'sin(a)'; B'kV.3t
ylo/]pVs
>>S3 = 'sqrt(x)'; KIeTZVu$%
\H-,^[G3
>>int(S1) Ny6 daf3f
:1Y *&s
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x g:yUZ;U
3%NbT
>>int(S2) ydx-`yg#
O9_S"\8]@
ans= -cos(a) dZ"B6L!^(
'cpO"d?{
>>int(S3) p[&6hXTd
9wB}EDZ
ans= 2/3*x^(3/2) S
Y7'S#
XoZw8cY
>>int(S3,'a','b') iL ](w3EM
5e|2b] f$
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) 9cO
m$
*}n)KK7aT
>>int(S3,0.5,0.6) AvxP0@.`
RhPEda2
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) jb5nL`(j$
[/Figr]
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 (oiF05n
h
F\H^=P
ans= 0.0741 _Cd_i[K[
F-g7*
2.3求解常微分方程式 yOQEF\
r{Stsha(
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , eKT'd#o2R
*@C]\)
condition则为初始条件。 G9_M~N%a
':[:12y[
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 *
I{)8
Z
^w5x :
y'=3x2, y(2)=0.5 / >As9|%
R=/6bR57
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 QSNLo_z
eT4+O5t
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 9tt0_*UX
Z#i5=,Bk
对应上述常微分方程式的符号运算式为: 7ql&UIeQ
J(s%"d
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') a BHV
Z\)emps
ans= x^3-7.500000000000000 _]Ei,Ua
yVP 1=pz_[
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 4 <&8`Q
'g$a.75/-
:M%s:,]R
GkutS.2G#
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') o YZmz
*YhX6J1
ans= atan(x^2+1) :2\H>^uV
T&5dF9a
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') @Qa)@'u
~H0WHqcy
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) d:x=g i!
B 3Yj
g3i !>
-c1$>+
2.4非线性方程式的实根 gkN|3^
dF-d
要求任一方程式的根有三步骤: qZ:-- ,9+
:<`hsKy&
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, =}G `i**
-i}@o1o\
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 #$qhxYyd
/^d!$v
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 e?&4;
>H,t^i}@
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 Q>FuNdUk
rdL>yT/A
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 cE*Gd^
/y\KLa
例一、方程式为 &
q(D90w.
d9hJEu!Lu
sin(x)=0 ZA;wv+hF=
[}/\W`C
我们知道上式的根有 ,求根方式如下:
igV4nL
T]5JsrT
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 D/jS4'$vA
p^LUyLG`
r=3.1416 FL5tIfV+
L;},1
\
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 tXocGM{6C
O1nfz> L`
r = 6.2832 ,UdTUw~F
IEB|Y
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: d.7pc
P
Z'%k`F
>> x=linspace(-2,3); s-Mzl?o
A@@Z?t.
>> y=humps(x); :EK.&%2
XK)qDg
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 [hf#$Dl|
v:YW[THre
ACg5"
Xm7Nr#
(aX5VB **
.[-d( #l{l
&b 2Vt
`]^JOw5o
NhxTSyT"t
%2<G3]6^U
+3
2"vq)_
,qgph^C
tZtyx;EP
Z[baQO
+_8*;k@F'
>> r=fzero('humps',1.2) 4Lx#5}P
*8zn\No<,
r = 1.2995 yIwAJl7Xf
+h6cAqm]
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 |wKC9 O@%
F*F
U[ 5
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: fPs'A
ZJ} V>Bu-
% m-function, f_1.m (Ck|RojC
?qviJDD|f
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 -d+q +l>0
g4WN+y`
y=x.^3-2*x-5; eI@LVi6<b
).TQYrs
>> x=linspace(-2,3); C?e1 a9r
l@FPTHq
>> y=f_1(x); 'H<0:bQ=I
S
x';Cj-
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 uL^Qtmm>M
^+zF;Q'
d v@B-l;
I3QK~ V*j)
vdloh ,
x8Rmap@L.
I| qoH N,g
wRL=9/5(8
O_#Ag K<A
!HM|~G7
'~{^c}
ST3aiyG
Lrgv:n
k&4@$;Ap
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 n$Z@7r
Gn+D%5)$I
r = 2.0946 XSkN9LqZ
%EYh5W
>> p=[1 0 -2 -5] ~ y%8uHL:
;7"}I
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 4oT1<n`r+
SF2A?L?}+
r = 'v.i' 6
w#wlZ1f
2.0946 9WsPBzi"T
@~0kSA7
-1.0473 + 1.1359i `#&pB0.y
Ml` f+$
-1.0473 - 1.1359i 7pDov@K<{
N.OC _H&
2.5线性代数方程(组)求解 1>OfJc(K
77- Jx`C
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 ?y82S*sb#
cQ~}qE>I
AX=B +!IIt {u
%"~\Pu*>
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 mw9;LNi\D
DTrS9j?z
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 TQDb\d8,f
:1"{0gm
如果将原方程式改写成 XA=B ZcgSVMqEX
R9Wh/@J]
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 hc}dS$=C
'awL!P--
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 /gZrnd?
S8mqz.
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 |[n-H;0
l\7N R
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: ^~Nz8PCY
{7&(2Z]z
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 =D.M}xqo
,@ A1eX}
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 _y&m4V