拓扑绝缘体的神奇世界（1）

当温度升到摄氏0度以上时，冰融化成水，水分子在液态水中的分布变得无序，氢键变少。液态水在温度升高至沸腾，或者在常温下蒸发时，便变成水蒸气，氢键基本不存在，水分子的空间分布更加无序和稀少。水蒸气基本上可以看成是各向同性反，满足在所有对称性操作下不变。从冰到水蒸汽，是一个各向异性到各向同性的过度，相变的过程就是对称性改变的过程。

另一个例子是Landau的铁磁相变——顺磁体冷却通过居里点由顺磁性变为铁磁性的相变。冷却过程中磁矩的整体方向改变意味着对称性的改变。

然而拓扑相并不依赖于材料的局部细节，如杂质等。准确的说，拓扑序并不是根据对称性破缺来定义的，它的定义依赖于拓扑空间的结构。

拓扑空间非常抽象，它是相空间与系统Hamilton量直积构成的底空间。相空间又被称作布里渊区，是因为晶体周期性而存在的电子动量空间。我们考虑d维晶体，由于周期性，它的相空间是d维圆环面。Bloch Hamilton量有2n个自由度（n是电子总数），包含了所有电子的能量、角动量、自旋等信息。在布里渊区的每一点，Bloch Hamilton量是长在这个点上的2n维向量，也就是布里渊面上的纤维丛。

最简单的情况是二维圆环面 T2 与自旋简并下的单电子Hamilton量的直积，如图所示。在一般情况下，相空间与Hamilton量的希尔伯特空间直积构成的空间是科学家们所研究的空间。拓扑绝缘体中的拓扑，便是这个空间的拓扑性质。而拓扑相变就是拓扑空间的拓扑性质发生改变。

举个简单的例子，二维情况下平坦的空间就是平面，平面可以连续变换成球面（除了无穷远的点以外，参考球极映射）。但是球面无法连续变换成“甜甜圈”，也就是圆环面（torus）。有一个洞的甜甜圈也无法连续变换成有两个洞的（double torus）甜甜圈。

连续变换是一个数学上的概念，可以简单的理解成扭曲变形，但是不能扎破，不能撕裂。