1-1、基本运算与函数 LD ,T$"
YKx+z[A/p
在MATLAB下进行基本数学运算,只需将运算式直接打入提示号(>>)之後,并按入Enter键即可。例如: Y2+YmP*z`
q"LT 8nD\
>> (5*2+1.3-0.8)*10/25 ,yi@?lc
sr:hRQ27
ans =4.2000 uLN.b339
lB|.TCbW
MATLAB会将运算结果直接存入一变数ans,代表MATLAB运算後的答 案(Answer)并显示其数值於萤幕上。 -1R7 8(1
0s.4]Zg>5
小提示: ">>"是MATLAB的提示符号(Prompt),但在PC中文视窗系统下,由於编码方式不同,此提示符号常会消失不见,但这并不会影响到MATLAB的运算结果。 gOaK7A
^brh\M,:@
我们也可将上述运算式的结果设定给另一个变数x: t"6u
GVdJ&d\x
x = (5*2+1.3-0.8)*10^2/25 Q2!RFtXV
<(us(zbk]
x = 42 vE~<R
>DW%i\k1V~
此时MATLAB会直接显示x的值。由上例可知,MATLAB认识所有一般常用到的加(+)、减(-)、乘(*)、除(/)的数学运算符号,以及幂次运算(^)。 #|Je%t}~
tTJ$tx
小提示: MATLAB将所有变数均存成double的形式,所以不需经过变数宣告(Variable declaration)。MATLAB同时也会自动进行记忆体的使用和回收,而不必像C语言,必须由使用者一一指定.这些功能使的MATLAB易学易用,使用者可专心致力於撰写程式,而不必被软体枝节问题所干扰。 "2I{T
=1mIk0H`
若不想让MATLAB每次都显示运算结果,只需在运算式最後加上分号(;)即可,如下例: };cH5bYF
b+71`aD0
y = sin(10)*exp(-0.3*4^2); b/=>'2f
NV`7VYU
若要显示变数y的值,直接键入y即可: 57$/Dn
/(i~Hpp
>>y iyMoLZ5
1_LGlu~&
y =-0.0045 G:MQ_tfr&
oMN
Qv%U
在上例中,sin是正弦函数,exp是指数函数,这些都是MATLAB常用到的数学函数。 j*_#{niy:
m9Dg%\B
下表即为MATLAB常用的基本数学函数及三角函数: <|:$_&(
VO*fC
小整理:MATLAB常用的基本数学函数 mpl^LF[
`h1>rP
abs(x):纯量的绝对值或向量的长度 Ude)$PAe%
'_xa>T}
angle(z):复 数z的相角(Phase angle) ;S+"z;$m
;{g>Z|
sqrt(x):开平方 gac/%_-HH7
kgRgHkAH~
real(z):复数z的实部 v1E(K09h2
IPnx5#eB
imag(z):复数z的虚 部 .~4DlT
'ExQG$t
conj(z):复数z的共轭复数 R"QWap}
0a)LZp|
round(x):四舍五入至最近整数 ]@sLX ek
~G~:R
fix(x):无论正负,舍去小数至最近整数
~&_BT`a
Y-*]6:{E
floor(x):地板函数,即舍去正小数至最近整数 vslN([@JR
~"vRH
ceil(x):天花板函数,即加入正小数至最近整数 |JCn=v@
U9q6m3#$
rat(x):将实数x化为分数表示 p%CcD]o
RSf*[2
rats(x):将实数x化为多项分数展开 y1Yrf,E
m=
.A<n2-
sign(x):符号函数 (Signum function)。 HQ3kxOT
Yo2n[
当x<0时,sign(x)=-1; 9 N@N U:M+
4iZ7BD
当x=0时,sign(x)=0; ZRoOdo94
,SoqVboRl
当x>0时,sign(x)=1。 (t-JGye>
X1lL@ `r.5
> 小整理:MATLAB常用的三角函数 I~7eu&QZ
k+Ay^i}s.
sin(x):正弦函数 @jH8x!5u:
dn=g!=
cos(x):馀弦函数 `T$CUlt6
LgoUD*MbQ
tan(x):正切函数 l":Z. J
{@<EVw
asin(x):反正弦函数 e/ V8lo
/ 9soUt
acos(x):反馀弦函数 {K+]^M
5TcirVO82
atan(x):反正切函数 ngQ]
>t}0o$\?E
atan2(x,y):四象限的反正切函数 n/-d56
RU GhhK
sinh(x):超越正弦函数 /s^O M`5
{t<U:*n2
cosh(x):超越馀弦函数 5oE!^bF?
]!04L}hy|P
tanh(x):超越正切函数 <Q?X'.
CZ_ (IT7
asinh(x):反超越正弦函数 NhA_dskvo
A{b?ZT~2]
acosh(x):反超越馀弦函数 3 ~^ }R
E;^~}
atanh(x):反超越正切函数 2x&mJ}o#k
,Q8)r0 c
变数也可用来存放向量或矩阵,并进行各种运算,如下例的列向量(Row vector)运算: 4V0j1k&'
Z'L}x6
x = [1 3 5 2]; fo30f=^Gi
hM @F|t3
y = 2*x+1 eZ~ZWb, %
Z&R{jQ,
y = 3 7 11 5 2Aq%;=+*
geRD2`3;
小提示:变数命名的规则 `FL!L59nz
C~dD'Tq]
1.第一个字母必须是英文字母 2.字母间不可留空格 3.最多只能有19个字母,MATLAB会忽略多馀字母 <kr%ylhIu
@.Pe.\Z
我们可以随意更改、增加或删除向量的元素:
Q>}*l|Ci
SMdQ,n1]
y(3) = 2 % 更改第三个元素 a,sU-w!X'
+TnRuehtk
y =3 7 2 5 >O:j.(*!
Jr4^@]78o<
y(6) = 10 % 加入第六个元素 vg5;F[e
8'B
y = 3 7 2 5 0 10 5ZkMd!$y
`:XrpD
y(4) = [] % 删除第四个元素, #{8n<sE
Z
^tF
y = 3 7 2 0 10 ^gpswhp
5
3,cZ*4('d
在上例中,MATLAB会忽略所有在百分比符号(%)之後的文字,因此百分比之後的文字均可视为程式的注解(Comments)。MATLAB亦可取出向量的一个元素或一部份来做运算: c`(] j
w
<|'C|J_!
x(2)*3+y(4) % 取出x的第二个元素和y的第四个元素来做运算 [9E<z2H
wv8WqYV
ans = 9 ?=;dNS@i@
_ ecKX</Q
y(2:4)-1 % 取出y的第二至第四个元素来做运算 v<z%\`y
{-(B
ans = 6 1 -1 xxh(VQdg
M#Vl{ b
在上例中,2:4代表一个由2、3、4组成的向量 C1@6r%YD
k]=Yi;
@,RrAL}|
'K=n}}&:
若对MATLAB函数用法有疑问,可随时使用help来寻求线上支援(on-line help):help linspace [C]u!\(IF
n3t0Qc
小整理:MATLAB的查询命令 b[3K:ot+
jMvWS71
help:用来查询已知命令的用法。例如已知inv是用来计算反矩阵,键入help inv即可得知有关inv命令的用法。(键入help help则显示help的用法,请试看看!) lookfor:用来寻找未知的命令。例如要寻找计算反矩阵的命令,可键入 lookfor inverse,MATLAB即会列出所有和关键字inverse相关的指令。找到所需的命令後 ,即可用help进一步找出其用法。(lookfor事实上是对所有在搜寻路径下的M档案进行关键字对第一注解行的比对,详见後叙。) bF'^eR
_T 5ZL
将列向量转置(Transpose)後,即可得到行向量(Column vector): {VPF2JFB[
0#
D4;v
z = x' BiQ7r=Dd.
R30{/KK
z = 4.0000 U!L<v!$
?th`5K30
5.2000 xA-O?s"CY
bojx:g
6.4000 <B*}W2\
t7#C&B
7.6000 FL+^r6DQ
|5
sI=?p&t
8.8000 \h DH81L
{"dU?/d
10.0000 D_%y&p?<Ls
DbdxHuKa>
不论是行向量或列向量,我们均可用相同的函数找出其元素个数、最大值、最小值等: <j93
s5X .(;+
length(z) % z的元素个数 5fK#*(x
H=OKm
ans = 6 2G'Au} q0n
"Ldi<xq%xl
max(z) % z的最大值 URq{#,~CT
,ufB*[~
ans = 10 _h4{Sx
72qbxPY13h
min(z) % z的最小值 URbu=U
oe$Y=`
ans = 4 D&f(h][hH?
_e<3 g9bj
小整理:适用於向量的常用函数有: <!#6c :(Q
3"HpM\A{A=
min(x): 向量x的元素的最小值 8S_i;
;Jex#+H(:D
max(x): 向量x的元素的最大值 w\U
fq
d>z?JDt
mean(x): 向量x的元素的平均值 ]Ma2*E!p
{c|=L@/
median(x): 向量x的元素的中位数 .`z](s
#WD}XOA
std(x): 向量x的元素的标准差 V45\.V
^Jb=&u$
diff(x): 向量x的相邻元素的差 d^"<Tz!
x
j6-~<
sort(x): 对向量x的元素进行排序(Sorting) z\Vu`Yz
rmj?jBKQU
length(x): 向量x的元素个数 3+gp_7L
lLy^@s
norm(x): 向量x的欧氏(Euclidean)长度 c!Gnd*!?-
5`oVyxJ<
sum(x): 向量x的元素总和 pCOr{I\
Qo>VN`v
prod(x): 向量x的元素总乘积 |cwGc\ES
B[:-SWd
cumsum(x): 向量x的累计元素总和 m&xyw9a
U$R+&@;
cumprod(x): 向量x的累计元素总乘积 7@R;lOzL3
Gma)8X#
dot(x, y): 向量x和y的内 积 tgn_\ - +
kH
Y
cross(x, y): 向量x和y的外积 (大部份的向量函数也可适用於矩阵,详见下述。) [ay~l%x
Wpo:'?!(M^
,/n<Qg"`
SV;S`\i
lYkm1
(J(JB}[X,
若要输入矩阵,则必须在每一列结尾加上分号(;),如下例: V
QE *B
-=aI!7*"$
A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]; ]K'iCYY
9V*h:[6a(
A = UTw f!
f.ku v"
1 2 3 4 ,6Ulj+l
iJ
HOLz"!
5 6 7 8 `RUOZ@r
]J\tosTi
9 10 11 12 wjGD[~mB
W)^0~[`i
同样地,我们可以对矩阵进行各种处理: eC:?j`H-
5/<?Y&x
A(2,3) = 5 % 改变位於第二列,第三行的元素值 %jKbRiz1u
zmvF#o
A = AyZL(
*C*n (the
1 2 3 4 {e4`D1B
$i&u\iL
5 6 5 8 Y>*{(QD
sFaboI
9 10 11 12 6XPf0Gl
Wh4`Iv\.
B = A(2,1:3) % 取出部份矩阵B W%@L7 xh
ZW\}4q;[A
B = 5 6 5 4%/iu)nx
/*DC`,q
A = [A B'] % 将B转置後以行向量并入A Tl9KL%9
q1QrtJFPG
A = z>$AZ>t%J$
_]W
{)=ap
1 2 3 4 5 L1;IXCc=
A;E7~qOG
5 6 5 8 6 1DPgiIG~
"|&xUWJ!)
9 10 11 12 5 71i".1l{K
6|*em4
A(:, 2) = [] % 删除第二行(:代表所有列) dZ'hTzw~
D^1H(y2zp
A = tkrRdCq
w@U`@})r.
1 3 4 5 XKqUbi
5nL,sFd
5 5 8 6 NsYeg&>`
ln}2
9 11 12 5 0^htwec!
"NqB_?DT
A = [A; 4 3 2 1] % 加入第四列 z>HeM
Mei
V<f76U)
A = -xi]~svg
noz&4"S.{
1 3 4 5 f(Jz*el
S
Y/Yp+W6n
5 5 8 6 OEc$ro=m*
G
@ib
9 11 12 5 5N=QS1<$5
|1vikG8
4 3 2 1 )sg@HFhY'
Qx,jUL#2
A([1 4], :) = [] % 删除第一和第四列(:代表所有行) }Xv2I$J
+/ ,J$(
A = p]z
*
afEhC0j
5 5 8 6 L' w
}
c=]z%+,b]
9 11 12 5 F)x^AJie
bL>J0LWQ
这几种矩阵处理的方式可以相互叠代运用,产生各种意想不到的效果,就看各位的巧思和创意。 6`$HBX%.K
>gNVL
(
小提示:在MATLAB的内部资料结构中,每一个矩阵都是一个以行为主(Column-oriented )的阵列(Array)因此对於矩阵元素的存取,我们可用一维或二维的索引(Index)来定址。举例来说,在上述矩阵A中,位於第二列、第三行的元素可写为A(2,3) (二维索引)或A(6)(一维索引,即将所有直行进行堆叠後的第六个元素)。 5AV5`<r.
mouLjT&p
此外,若要重新安排矩阵的形状,可用reshape命令: OmO/x
vMOI&_[\z
B = reshape(A, 4, 2) % 4是新矩阵的列数,2是新矩阵的行数 #kD8U#
hVPSW# .d
B = H4#|f n
8RS=Xemds
5 8 g~EJja;
/Q
Xq<NG
9 12 8.9TWsZ
9/N=7<$
5 6 }F'B!8n
A|!u`^p
11 5 'urn5[i
dD _(MbTt
小提示: A(:)就是将矩阵A每一列堆叠起来,成为一个行向量,而这也是MATLAB变数的内部储存方式。以前例而言,reshape(A, 8, 1)和A(:)同样都会产生一个8x1的矩阵。 WJ)( *1
a`XXz
MATLAB可在同时执行数个命令,只要以逗号或分号将命令隔开: 1p#O(o
;[
UGEi
x = sin(pi/3); y = x^2; z = y*10, /(#;(]
1an?/j,
z = saMv.;s
1^
[o]^\ay
7.5000 y^"[^+F3 .
n_}=G
RR
若一个数学运算是太长,可用三个句点将其延伸到下一行: vMBF7Jfx
JWHKa=-H
z = 10*sin(pi/3)* ... q$>/~aVM
ROZOX$XM
sin(pi/3); tBSHMz
iC]=S}
若要检视现存於工作空间(Workspace)的变数,可键入who: {<f_,Nlc
L`>uO1O
who #3!l6]
1k&**!S]%
Your variables are: }:NE
m:EO}ws=
testfile x H=2sT +Sp
dW
hU
o\>=
这些是由使用者定义的变数。若要知道这些变数的详细资料,可键入: f|eUpf%)
2%0J/]n\A"
whos 5r#0/1ym!
3f;W+^NY
Name Size Bytes Class k@HV
wK'y
7A!E~/nSC
A 2x4 64 double array O6nCu
j<+QGd%
B 4x2 64 double array 2)O-EAn
Kh{C$b
ans 1x1 8 double array Oj6PmUK4
1:2t4}
x 1x1 8 double array yb)!jLnH
oqu; D'8
y 1x1 8 double array 6I,^4U
fQZ,kl
z 1x1 8 double array d@o1<Q
v;=F$3
Grand total is 20 elements using 160 bytes zoFCHsr
E1p?v!
使用clear可以删除工作空间的变数: \UKr|[P
UPs7{We W
clear A
9
gt$z}oU
N_#QS}H
A mIJYe&t7)
:el]IH
??? Undefined function or variable 'A'. 3ya_47D
aZK%?c
另外MATLAB有些永久常数(Permanent constants),虽然在工作空间中看不 到,但使用者可直接取用,例如: 8t{-
E038p]M!
pi +Usy
dEz7 @T
ans = 3.1416 zR)9]pJ-
?OW! zE:
下表即为MATLAB常用到的永久常数。 Z_Tu*
F
'q+CL&D
小整理:MATLAB的永久常数 i或j:基本虚数单位 7WuhYJbf
PjL"7^Q&
eps:系统的浮点(Floating-point)精确度 3v oas
*{}Y
:
inf:无限大, 例如1/0 nan或NaN:非数值(Not a number) ,例如0/0 1trk
. 4$SNzv3V
pi:圆周率 p(= 3.1415926...) y]dA<d?u
MiB"CcU
realmax:系统所能表示的最大数值 X?p.U
3zV{cm0
realmin:系统所能表示的最小数值 -Re4G78%
-b?yzg,8
nargin: 函数的输入引数个数 +YS0yTWeX
<,r(^Ntz
nargin: 函数的输出引数个数 ~,199K#'
<{
Z$!]i1
1-2、重复命令 qXI>x6?*
uif1)y`Q$C
最简单的重复命令是for?圈(for-loop),其基本形式为: ]{mz %\
Hchh2
for 变数 = 矩阵; ^o`;C\
I-=H;6w7
运算式; *^]lFuX\&E
.fZ*N/
end 3B{B6w}t&
2aROY2
其中变数的值会被依次设定为矩阵的每一行,来执行介於for和end之间的运算式。因此,若无意外情况,运算式执行的次数会等於矩阵的行数。 }ioHSkCD
h[%t7qo=
举例来说,下列命令会产生一个长度为6的调和数列(Harmonic sequence): ]KsL(4PY
:$=r^LSH
x = zeros(1,6); % x是一个16的零矩阵 X`REhvT
STfcx]L
for i = 1:6, d nZA+Pa
U{^~X_?
x(i) = 1/i; x)+3SdH
Wmm'j&hI
end yXuc<m
x<mHTh:-V
在上例中,矩阵x最初是一个16的零矩阵,在for?圈中,变数i的值依次是1到6,因此矩阵x的第i个元素的值依次被设为1/i。我们可用分数来显示此数列: ;rD
M%S@
o.)8A8
format rat % 使用分数来表示数值 [;rty<Z^b
^e<"`e
disp(x) 7U:-zfq
%Ls5:Z=
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 D^R=
tH7@oV;
for圈可以是多层的,下例产生一个16的Hilbert矩阵h,其中为於第i列、第j行的元素为 1WArgR
?9F_E+!
h = zeros(6); |H!kU.f]
FCk4[qOp7
for i = 1:6, i4',d#
n0/H2>I[
for j = 1:6, 9>@@W#TK~
o~
v
h(i,j) = 1/(i+j-1); dZMOgZ.!yr
Y?1
3_~
K
end 2HxT+|~d6
V>8)1)dF
end 51,RbADB
-uE2h[X|
disp(h) __F?iRrCM
1$Jria5n
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 X^2Txm d
R a> k#pQ
1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 T7wy{;
?Aewp$Bj
1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 K`BNSdEN>
?PMF]ah
1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 l'~~hQ{h/
\0{g~cU4
1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 U c6]]Bbc
TA
x9<'
1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 NXJyRAJ*%
3!+N}[$iy
小提示:预先配置矩阵 在上面的例子,我们使用zeros来预先配置(Allocate)了一个适当大小的矩阵。若不预先配置矩阵,程式仍可执行,但此时MATLAB需要动态地增加(或减小)矩阵的大小,因而降低程式的执行效率。所以在使用一个矩阵时,若能在事前知道其大小,则最好先使用zeros或ones等命令来预先配置所需的记忆体(即矩阵)大小。 x_C#ALq9
$& 0hpg
APfDy
)ZyEn%
在下例中,for?圈列出先前产生的Hilbert矩阵的每一行的平方和: nb
-Je+
IQ&