本教程包含以下部分：
ou8V7 1：简介
&%eWCe+ + 2：光通道
UF37|+"E 3：功率传播或场传播
V$wW?+ V 4：
激光活性离子
|Z6M?n 5：放大器和
激光器的连续波操作
LFv O[& 6：放大和产生短脉冲
8i$quHd&x 7：超短脉冲
* i LlBE 8：使用自制
软件还是商业产品？
2kukQj (n 以下是Paschotta 博士关于
光纤放大器和激光器建模教程的第 4 部分。
W^dk: _yx~t 第 4 部分：功率传播或场传播
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\3~3' 有源光纤的纤芯掺杂有激光活性离子，这些离子通常是稀土离子（→ 稀土掺杂光纤）。在最简单的情况下，整个核均匀地掺杂有这些离子，即它们的密度在整个核中是恒定的，而在核外为零。该假设对于许多模型来说就足够了，但更一般地，我们可以处理一些掺杂分布，即通常仅取决于径向坐标r的掺杂密度。如果光纤是掺铒的，则用函数N Er ( r )来描述. 如果不知道详细的掺杂分布（大多数市售有源光纤就是这种情况），通常会假设纤芯的掺杂是均匀的。另请参阅我们关于兴 奋 剂浓度的百科全书文章。
V9KI?}q:W 此时，我们需要考虑如何描述激光活性离子与光纤中的光的相互作用。通常，这些离子具有基态和一些激发能级，这些能级可以是亚稳态能级（具有相当长的上态寿命）或短寿命能级。
rdj_3Utv 好复杂的细节……
WXq=FZ- 7Yv 1et
| 图 1：Yb:YAG 的能级。
9ZXkuP9vm 乍一看，情况似乎非常复杂。首先，这些离子的能级被分组到所谓的斯塔克能级流形中，每个流形由一些子能级组成。流形内的子层次的能量有些不同；Stark 能级分裂是由局部电场引起的。在 Yb:YAG 等晶体
材料中，活性离子都具有基本相同的微观环境，因此可以解析
光谱测量中的亚能级（见图 1）。
\e)>]C}h 特别是在用于光纤的玻璃中，激光活性离子的微观环境可能会发生很大变化，因此水平能量也会发生很大变化。严格来说，每一个离子都有自己的一组跃迁截面，当然详细测量所有这些数据是不切实际的。在光谱测量中，人们只能看到无法分辨子能级的模糊吸收曲线。
1f }YKT 另一方面是我们在每个流形内的子能级之间有非常高的跃迁率，这是由玻璃中的声子（晶格振动）引起的。这些跃迁会导致显着的能级展宽（寿命展宽），并迅速（在皮秒时间尺度上）在每个 Stark 能级流形内（但不在不同流形之间）建立热平衡。
v9*ugu[K9 HKB?G~ 我们可以在我们的模型中避免
., ({&L 幸运的是，尽管有这些极其复杂的物理细节，我们通常可以使用一个非常简化的模型（参见图 2），它只包含一组相对较小的可测量数据：
r_R( kns 图 2： 掺镱增益介质中的能级和跃迁。
/;5U-<qf • 我们只考虑整个 Stark 级流形的总人口，而不是特定子级中的这些。在每个流形中，上述非辐射跃迁很快就建立了热平衡（根据玻尔兹曼分布），因此模型不必包含额外的动态变量。
ws/e~ T<c • 然后，我们使用所谓的有效过渡截面来进行 Stark 级流形之间的过渡。这些隐含地处理了详细子级别上的热分布 - 对于某些选定的温度。（如果玻璃在操作过程中变得非常热，则有效过渡截面可能会有所变化。）
FZFYwU\~.L • 对于自发发射，我们还使用适用于整个 Stark 级流形的过渡速率。这些跃迁速率还可以考虑歧管之间的多声子跃迁，这在歧管的能量间距不明显大于玻璃的最大声子能量时是相关的。
f%,Vplb Y5mQY5u| 实际上，我们根本不关心子级别的细节，例如它们的能量的统计分布或它们之间的快速声子介导的跃迁！我们只使用有效横截面，因为它们是由测量得出的，不需要知道确切的物理起源。
b@v_db]|t. 激光离子通常的准三能级特性对建模并不构成真正的困难；只有软件不得使用仅适用于四级激光增益介质的某些假设。
c/Dk*.xy< 顺便说一句，通过使用作为所有激光活性离子的平均值的有效跃迁截面，我们隐含地假设所有离子基本上都以相同的方式表现。如果是这样，我们将获得均匀的增益饱和度。幸运的是，大多数稀土掺杂光纤都表现出这种行为。
mY UR(*[ 具有不均匀饱和度的增益
系统很难建模，但幸运的是在光纤领域并不常见。
1R-1#<a>& 只有在上述假设无效且速率方程建模不合适的情况下，才会出现严重问题。具有强烈不均匀行为的激光离子就是这种情况，例如，某些掺钕光纤可能会出现这种情况（取决于化学玻璃成分）。问题在于，例如，特定
波长的泵浦波可能会优先激发具有特定增益谱的特定离子集，而不同波长的泵浦会激发其他离子，从而导致不同的增益谱。仅仅考虑总的部分激发水平是不够的，因为哪些离子被激发很重要。原则上，可以制作一个模型来区分不同类型的此类离子（取决于它们的微观环境）；然而在实践中，
" FD`1 q\DN8IJ 相关数据集
-G'U\EXT 总的来说，激光活性离子的集合可以用以下数据集来描述：
hZZ • 它们的密度，在纤维中通常仅取决于径向坐标r
,r5'nDV =d • 流形之间的跃迁速率A ij，由自发发射和/或多声子跃迁引起，并确定上态寿命
(r6'q 0[ • 流形之间受激跃迁的波长相关有效截面（函数σ ij ( λ ) ）
fk*I}pDx 操作期间的离子状态仅由 Stark 能级歧管的分数群体来表征 - 光纤中某些小区域的平均值，通常取决于r和z。当然，这些人口值可能取决于当地的
光学强度。它们的演变通常可以用速率方程来描述，正如我们关于速率方程建模的百科全书文章所解释的那样。
Yamu"# 只需将时间导数设置为 0 并求解得到的方程组，即可获得稳态总体。只要只涉及吸收、自发和受激发射，方程组是线性的，因此很容易求解。如果由于能量转移过程存在非线性项，这将变得更加困难；通常需要一种迭代算法。
% _.kd" eW <|I 进一步简化
6
4,('+ 在很多情况下，激光活性离子的模型可以进一步简化，只与单个亚稳态能级（Stark能级流形）有关。最简单的例子是 Yb 3+离子。我们只需要考虑基态流形 (1) 和单个激发态流形 (2)（见图 3）。我们称它们的分数种群为 n 1和n 2，由于没有其他水平，我们知道n 1 + n 2 = 1：每个离子一次只能处于其中一个水平。
!l(D0 C 然后，我们只需要两个函数来获得有效的跃迁横截面：σ 12 ( λ )用于光的吸收（跃迁 1 → 2），σ 21 ( λ )用于受激发射。自发跃迁率A 21是逆上态寿命τ 2。
uqo tVil, 图 3： 掺铒增益介质中的能级和跃迁。
&u`]Zn 有人可能认为铒离子具有更多的能级，更难以描述。然而，情况不一定如此。通常，一个掺铒光纤放大器在 980 nm 附近泵浦，将离子从 1 级（基态）转移到 3 级（见图 3）。通常，从 3 级到 2 级会有相当快的非辐射衰变，涉及多个声子的发射。考虑到这种转变速度无限快，我们实际上可以假装直接从 1 级泵到 2 级。相关的吸收截面为σ 13 ( λ )，在这种情况下，发射截面为 0：980 nm 附近的泵浦光无法将离子从 2 带回 1。它可能会影响 3 级的离子，但那里基本上没有离子。总之，我们可以使用与镱完全相同的模型，尽管有更多级别。只有在提到的非辐射衰减很慢（导致瓶颈效应）或额外的能级被激发（例如通过激发态吸收）的情况下，才需要涉及更多能级的模型。
?2(5 2?cJ 掺钕光纤通常也可以用简化模型处理。在这里，最终的激光能级通常基本上高于地平面（就能量而言），但是从那里到基态有快速的非辐射转移。有效地，激光跃迁没有重吸收；我们有一个纯四级增益系统。在模型中，我们只使用零横截面来进行吸收。此外，通常不会发生由泵浦光引起的受激发射。只有行为不均匀的情况（见上文）是有问题的。
PEr &|H2 ~ :krJ[= 许多现象可以用数值
光束传播来研究。
g)Tr# 一些更简单的软件包只提供上述简单的两级模型，这对于许多感兴趣的情况来说已经足够了，尽管不是所有的情况。当然，所需的光谱数据（见上文）取决于所使用的光纤；用户可能只需要选择某种光纤，软件就可以从某个文件中获取详细数据。
y:HH@aa) 高级软件包，例如我们的产品RP Fiber Power，提供了简化模型和“扩展增益模型”，它可以包含多个激发能级和所有相应的细节。我们的产品甚至可以处理多达三种不同类型的离子，它们甚至可以相互相互作用。因此，人们基本上可以处理任何激光活性离子，因此也可以处理上转换激光器、具有能量转移的铒/镱共掺杂光纤的放大器等的行为。
#"qP4S2 同样，用户可以简单地选择已经以文本文件形式准备的特定光纤数据集。例如，可以根据来自科学出版物的数据在技术支持中生成这样的文件。因此，使用此类软件不一定需要研究激光活性离子的所有细节。
