2.1微分 1{2eY%+C
tO.$+4a
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: IdM*5Y>f
" B@jfa%
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 czBi Dk4
Pcu|k/tk
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 ]R_G{%
H*W):j}8
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 1=Ilej1
3,.%
s
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 ]i8c\UV \
M'1HA
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 nb@" ?<L!
G"S5ki`o
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: C 7nKk/r
}&G]0hCT!
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; mT_GrIl[
U 0ZB^`
>>S2 = 'sin(a)'; |tG+iF@4
v29G:YQe
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; <4D%v"zRP
nJVp.*S
>>diff(S1) *PM}"s
'.p? 6k!K
ans=18*x^2-8*x+b WSI
Xj5R
t^@T`2jL
>>diff(S1,2) hswTn`f
A'"-m)1P
ans= 36*x-8 E5B8 Z?$a
&
QY#3yj=
>>diff(S1,'b') c)1=U_6 1
If}lJ6jZ
ans= x '>^Xqn
/=
^L
iP
>>diff(S2) $ly0h W
cztS]dcf>~
ans= u3wL<$2[8
]A!.9Ko}u
cos(a) Tj,2r]g`<
z
Z%/W)t
>>diff(S3) zeTszT)
m,NMTyJoz
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 A ^B@VuK
BQ#jwu0e
>>simplify(diff(S3)) O:u%7V/
glor+
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 L<@&nx
[~?M/QI9
2.2积分 q 22/_nSC
>i8~dEbB
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 fSV5
P{lh)m>
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: ma7fDo0,`h
:GM#&*$2<
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 .! j#3J..u
h>tsis'N9
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 q)Je.6$#X
^I./L)0=}
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 |!5@xs*T
eG^z*`**
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 0Uaem
6 ">oo-
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 gX"T*d>y
Q2$/e+
我们示范几个例子: <`mOU}0)
4[H,3}p9H
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; drX4$Kdf]
F`D9Zfd
>>S2 = 'sin(a)'; bBFwx @
`1_FQnm)
>>S3 = 'sqrt(x)'; WH;xq^
GG>Y/;^
>>int(S1) 0nT%Slbih
dp< auA
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x &U0WkW
s'AQUUrb<
>>int(S2) j@V$Mbv
[+7"{UvT
ans= -cos(a) `^f}$R|
vK`S!7x'&
>>int(S3) RhyegD
|3|wdzV
ans= 2/3*x^(3/2) \y,;Cfl<
&X7ttB"#h
>>int(S3,'a','b') S r[IoF)
o5V`'[c
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) ^s.oZj
q
@6[x%j/!bt
>>int(S3,0.5,0.6) (mY(\mu}
eAU"fu6d
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) u-1@~Z
%y3:SUOdx
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 hF9B?@n?B
o8mo=V4j
ans= 0.0741 |H<|{{E
Rgs3A)[`d/
2.3求解常微分方程式 mf#fA2[
#VQ36pCd
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , ZG!x$yi$
w8U2y/:>
condition则为初始条件。 I@+lFG
Ckw83X
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 i$g|?g~]
d[yrNB6|
y'=3x2, y(2)=0.5 "{mt?
}1@n(#|c
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 s"#CkG
?#U0eb5u
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 8R
BDJ
^CO#QnB @
对应上述常微分方程式的符号运算式为: E]1\iV
THb A(SM
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 1k0^6gE|
F: f2s:<
ans= x^3-7.500000000000000 il=?o f\,i
QZqpF9Eu
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 a =9vS{
>_n:_
KPD@b=F
nz}]C04:-
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') Hu[8HzJo
ryz/rf
ans= atan(x^2+1) yo'q[YtP'
OE5 X8DqQe
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') U[blq
M
=lYvj
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) 30t:O&2<
YL;SxLY
axHxqhO7zp
iJ5e1R8tN
2.4非线性方程式的实根 1VRqz5
N+ak[axN
要求任一方程式的根有三步骤: 2K5}3<KD/
%{7$\|;J'
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, -t;?P2
?S+/QyjcfJ
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 Rs`Vr_?Hk
8/Lu'rI
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 Iwnj'R7:
gvvFU,2
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 4da^d9ZOy
g-4gI\
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 Fmy1nZ
?*B;514
例一、方程式为 $%lHj+(
*g}vT8w'}
sin(x)=0 zS&7[:IRs'
2
rbX8Y
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: Y j,9V],
{jq^hM!TEy
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 n=lggBRx
B3ohHxHu
r=3.1416 * fOS"-CL
$`cy'ZaF
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 |DdW<IT`0
Lh8#I&x
r = 6.2832
^XjvJa
C?_t8G./_
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: 2b{@]Fp
ua6*zop
>> x=linspace(-2,3); 3hp
tP
t!+%g) @
>> y=humps(x); d!a2[2Us
tSw~_s_V
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 Th I
8'
WLm
{EiG23!qV
*,Aa9wa{
si+5h6I.}
8trm`?>
NK*:w *SOI
gwkZk-f\p
z{<q0.^EFh
U O{xpY
see'!CjVo2
2=/-d$
{Hrr:hC
xLGTnMYd
{d{WMq$
>> r=fzero('humps',1.2) j[Hg]
8.
~Euz
r = 1.2995 .1l[l5$
*o2_EqXL*
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 kG~ivB}x
bN<O<x1j
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: ]J0Y^dM
&El[
% m-function, f_1.m 8tB{rK,
!E(J
]a
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 42H#n]Y
iIC9rso"Q1
y=x.^3-2*x-5; :;#c:RKi:
b_"V%<I
>> x=linspace(-2,3); !Dhfr{
;_;H(%uY
>> y=f_1(x); RvZryA*vu
1&x0+~G
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 aNh1e^j
d&3I>E$UP
Vo58Nz:%
GO&R