2.1麦克斯韦方程组 f5M;q;
光是电磁波，它具有电磁波的通性，因此，光波在光栅中传输的一些基本性质都可以从电磁场的基本方程推导出来，这些方程就是麦克斯韦方程组[6] f4,|D |
(2.1.1) Bi9Q8 #lh
(2.1.2) E"[p_ALdC
(2.1.3) >+<b_q |P
(2.1.4) | )
cJ
(2.1.5) yQ^, >eh
(2.1.6) |3F GM g%
在上式中， E——电场强度 Q m7];,
H——磁场强度 tKyGD|g S
D——电位移矢量 UM0Ws|qx&
B——磁感应强度 |d ~'X%b%
ε——介质介电常数 67/\0mV:~
μ0——介质磁导率 & 2%|?f|
——矢量微分算子 !\VEUF,K?
由于我们研究的是光波在光栅中的传输问题，因此有μ=μ0，ρ=0，因而 ，J=0. MrUjqv6a[
麦克斯韦方程只给出场和场源之间的关系，即 ， ， ， 之间的相互关系.为了求出光波在光栅中的传播规律，应进一步求出每一个量随时间和空间的变化规律，也就是从麦克斯韦方程组中求解 ， 诸量随时、空的变化关系. C(h<s
e?
对于ε为常数和 或ε不为常数，但 ，从麦克斯韦方程组可以推导出波动方程 ： I%:? f{\
(2.1.7a) zC:Pg4=w]
(2.1.7b) X'\h^\yOo
在频域中，所有的场量都是以角频率ω振荡的正弦量，因而上式波动方程可化为(亥姆霍兹方程)： sk07|9nU
(2.1.8a) ;:oX e*d
(2.1.8b) G2y1S/
2.2 光栅的衍射理论 +qpG$#J 0
严格的光栅分析理论可以分成两大范畴[7]: 积分方法和微分方法, 积分方法比较适合于分析连续面形 (面形可以用单一连续函数表示)光栅的衍射特性, 而微分方法比较适合于分析不连续、 离散面形 (面形要用分段函数表示)光栅的衍射特性 ，相对来讲, 积分方法要比微分方法更多数学工具 , 在微分方法中光栅的模式理论和耦合波理论是最常用 . 1M o h a ram和 Gay lo rd 最早将严格的二阶耦合波理论 (中间推导没有近似或忽略), 应用于平面光栅 , 严格的耦合波理论因其直观,, 易于计算、 准确等特点而被人们所采用1 ,但二阶耦合波理论对于 T E模和 TM模要采用不同的公式进行计算 , 而一阶耦合波理论对于 T E模和TM模可采用相同的公式, 因此一阶耦合波理论要比二阶耦合波理论更有意义. 1M 1C 1Gup ta 曾采用光栅的模式理论对矩形位相光栅进行过分析 , 但是光栅的周期和沟槽深度都比较小,M o h a ram 和Gay lo rd 曾采用一阶耦合波方法对平面光栅的衍 射特性进行了分析 .标量衍射理论是经过简化和近似的理论，其最主要的特点是把光当作标量现象来处理，即只考虑电场或磁场的一个横分量的标量振幅，而假定任何别的有关分量都可以用同样的方式独立处理，其主要适用于矩形位相光栅的特征尺寸远大于入射光波长的情况；矢量衍射理论是在没有近似的情况下分析矩形位相光栅衍射问题的严格理论，它充分考虑了电磁场的矢量特性，通过在一定的边界条件上严格地求解麦克斯韦方程来分析衍射问题，具有普适性，主要适用于矩形位相光栅的特征尺寸接近甚至小于入射光波长，即达到亚波长结构的情况[8~12].本文将标量衍射理论应用到矩形位相光栅，采用透过率函数的傅里叶级数展开和复振幅的傅里叶变换方法对矩形位相光栅的衍射特性进行详细的分析 .
