讨论了带球头的特种回转
铣刀的制造难点，提出了解决该加工难点的非
数控加工法、新定义方和三轴联动加工方案及其对应的数学模型，为研究和加工球头回转铣刀提供了参考。
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} 特种回转铣刀是加工复杂曲面的重要工具，在
机械加工中用途广泛。目前国内外回转
刀具制造商多采用四轴、五轴联动数控设备来制造特种回转铣刀(如风华机械厂采用五轴联动
机床加工特种回转铣刀)，对五轴联动加工的研究也不少。由于五轴联动加工成本很高，为了节省设备投资、降低刀具制造成本，作者先后与哈尔滨第二工具厂、哈尔滨工业大学高技术园区合作，应用二轴联动和非数控方法成功地加工出锥形回转铣刀和柱面球头铣刀。论文刊出后，引起有关企业对特种回转铣刀球头部分制造问题的关注。特种回转铣刀球头部分的制造是加工该类铣刀的共性难题，本文仅就此展开专门讨论，希望能对同行提供参考(二轴联动或非数控加工球头铣刀的总体模型在一些论文中已有详细介绍，此不赘述)。
M|-)GvR$J _F{C\} 1 球头铣刀的制造难点
2%1hdA< [Q TV9 在下图所示坐标系下，球头铣刀刃口在工作中产生的球面方程可记为
G$PE}%X +\'t E~V r={Rsinu，Rcosucosv，Rcosusinv} (1)
;S{(]K7i =a!=2VN9y 式中R为球面半径，u、v为球面参数。
E`q_bn 2 c}E(8e] 
6*?F @D2& DI vHvFss 在传统的球头铣刀刃口设计中，刃口无论是球面上与经线成定角的曲线、与回转轴x成定角Ø的曲线还是等螺距的曲线，设计时都会遇到一个突出的问题(球头刃口的制造难点)，即在磨制球头上沟槽的过程中，砂轮轴与球头铣刀回转轴的夹角需要不断地变化，即
a.'*G6~Qgw QJNFA}*> Ø=arccot(VJ/Vx)
=41xkAMnk N!3 2 wJ 式中VJ、Vx分别为砂轮绕铣刀轴回转的瞬时线速度和沿铣刀回转轴x方向的进给速度。参阅唐余勇、任秉银所著《不同定义下的带角圆回转铣刀的优劣》(刊于《哈尔滨工业大学学报》2001年第2期)，不难推导出刃口在前述三种定义下所对应球头上的Ø角依次为
;<5q]/IHK <{pz<io) Ø1= arccot(tanØsecu) (3)
:,^gj Ø2=arccot[(R2cos2Øtan2Ø-R2sin2u)½/(Rcosu)] (4)
NI5``BwpO Ø3= arccot(Rcosu/b) (5)
$(
)>g>% g0
[w-?f 式中Ø 为刃口与经线或轴x的夹角，b为等螺距刃口的螺旋参数，且 b=T/(2p) (6)
l%ZhA=TKQ b -y 式中T 为螺距。
Bq >m{ 67TwPvh 由式(3)～(5)易见，对于球面上的刃口加工，由于u的变化，导致Øi(i=1，2，3)发生相应变化，如不能实现这一变化，砂轮就不能磨削出对应的理想刃口曲线。也正是由于这一原因，回转刀具制造商才采用四轴或五轴联动的数控设备来加工球头回转铣刀(通过步进电机来实现Øi(i=1，2，3)的瞬时变化)。尽管如此，笔者进行过的理论研究和实践结果均表明，利用二轴联动和非数控设备同样可以解决球头刃口的加工这一难题。下面分别介绍三个不同的解决方案与其对应的主干模型。
u-TUuP *"kM{*3:v 2 球头铣刀加工难点的解决方案
OSJ$ d v<;Md-< 非数控加工方法
+"(jjxJm uEY tE7 对于特种回转铣刀的非数控加工，作者在《非数控加工球头铣刀的主干数学模型》(点击标题阅读)及由Chen C K，Lai H Y，Tang Y. 所著《A manufacturing model of carbidetippedspherical milling cutters》(刊于《P I MECH ENG B-J ENG》1999年第7期)：中给出了不同的方法，详细的数学模型可参阅《A manufacturing model of carbidetippedspherical milling cutters》(后刀面除外)，《非数控加工球头铣刀的主干数学模型》所供方法更简洁。因《A manufacturing model of carbidetippedspherical milling cutters》主要讨论的是硬质合金球头铣刀，若将前角取为正g，则其模型也适用于普通的球头刀。
*=n:- Qd6F H2Pl 新定义法
%S I'BJ hSMH, ^Io$ 由式(2)易见，若首先像磨制滚刀类刀具一样，使铣刀回转线速度与轴向速度比值恒定，即
zQA`/&=Y HDKbF/ VJ/Vx=cotØ0 (7)
07)yG:q*x }Lv;! 再依次设计球面上的刃口。因
vy/-wP|1 & ~!Wym VJ=wRcosu (8)
_U0f=m S$3JMFA 式中w——铣刀回转角速度
"j -CZ\]U| q; U,s)Uz^ Vx=Rcosu(du/dv) (9)
X.V~SeS q=G+Tocv 此时将式(8)和(9)代入式(7)，有
&{RDM~ ccnK#fn v dv=cotØ0du (10)
C>~TI,5a3 {t!!Uz 7 得到在u=0、v=0的初始条件下的球面方程(1)上刃口应当满足
*kVV+H<X|b AEuG v}# V=ucotØ0 (11)
iUwzs&frd ':}\4j&{E 将式(11)再代入式(1)，得到球面上新定义的刃口曲线方程为
+{>=^9%X :!/8 Hv r={Rsinu，Rcosucos(ucotØ0)，Rcosusin(ucotØ0)} (12)
f-d1KNY 9Ee'Cm 显然，根据一些参考文献中任一推导过程，不难推出新定义的刃口曲线相关模型，故本文不再一一指笔。
BD- AI W`&hp6Jq 三轴联动加工方案
P&q7|S T%N
9a kH 在式(1)所定义刃口的条件下，上述两种方法显然无法实现，若用某文献中的二轴联动方案，则需附加随动
夹具以实现式(3)～(5)的角度变化。这种专用夹具的设计与制造对批量生产具有经济性，但对单件或小批量定货则得不偿失，此时应当考虑三轴联动加工方案，即除铣刀回转恒速、轴向和径向进给由步进电机实现外，还需在砂轮轴实现Øi(i=1，2，3)的变化时加一数控装置来控制砂轮轴之转角。显然，此三轴联动加工方案相应的实得沟槽与刃口模型与该文献中所得模型差异很大，需重新推导(为免过于冗长，本文不再展开)。
m3ff;, CNIsZ v@Q 3 结语
iOdpM{~* ?}7p"3j'z 本文讨论的问题不仅是有关铣刀生产厂遇到的问题，也是笔者在台湾成功大学等地实施特种回转铣刀二轴联动加工时遇到过的问题。上述解决方案的产生，有的经过实践验证，有的则有理论为依托，在此发表，供同行研究参考。
