本教程包含以下部分：
znsQ/ [ 1：简介
(6 ga*5< 2：光通道
5+M,X kg 3：功率传播或场传播
3d6 z_Yd: 4：
激光活性离子
B\R AX# 5：放大器和
激光器的连续波操作
=eU=\td^ 6：放大和产生短脉冲
8Re[]bE 7：超短脉冲
\+R %KA/F 8：使用自制
软件还是商业产品？
Q /4-7 以下是Paschotta 博士关于
光纤放大器和激光器建模教程的第 7 部分。
>S7t cj>UxU][eS 第 7 部分：超短脉冲
对于皮秒甚至飞秒范围内的脉冲持续时间，额外的物理效应开始发挥作用。其中之一是色散，即光纤有效折射率的
波长依赖性。（请注意，我们通常需要考虑波导色散，但一些大模面积光纤除外。）此外，光纤非线性也会产生强烈的影响。人们可能不仅要考虑克尔非线性，还要考虑导致受激拉曼散射的延迟非线性响应。这些方面在我们的第 8 部分中讨论光纤放大器教程。
m1pA]}Y/5o 数值光束传播与超短脉冲的结合在计算时间和内存方面要求很高。幸运的是，在大多数情况下，我们会处理横向空间效应不感兴趣的情况。我们可以假设固定的横向强度分布（见第 3 节）。
A[+ )PkR 如何表示超短脉冲
Qy" J t ]O 超短脉冲需要用时域或频域中的复振幅阵列来表示。
y2 _rm w{*kbGB8s7 对于光纤中的每个z位置，我们现在需要考虑与时间相关的复场幅度。一些细节：
]{6/6jl • 通常使用场包络幅度A ( t )。电场强度与Re( A ( t ) exp(- i ω 0 t ))成比例，其中ω 0是平均角频率。复场幅度可以被归一化，使得它们的平方模量对应于光功率。
f%o[eW# • 需要将幅度存储在足够大的时间范围内，以跨越例如比所考虑的光脉冲略大的时间范围。在数值上，需要一组具有时间间隔的幅度，该时间间隔足够精细以始终正确地对脉冲进行采样。通常，该字段的分量数应该是 2 的幂，以便于使用傅里叶技术（见下文）。
qhGz2<}_j • 人们通常使用“移动时间框架”，只要非线性和色散效应不移动脉冲最大值，注入的脉冲就会保持在t = 0附近。
w<`0D)mQ 时间网格的适当
参数选择（时间范围的宽度、时间分辨率、点数）并不总是显而易见的。在模拟过程中，可能必须监控所选的网格参数是否足以获得合理的数值精度。对于锁模激光器的计算，256 个网格点有时已经足够了，而涉及强啁啾脉冲甚至超连续谱生成的模拟则需要更多。
UX BWCo;- m etn& 传播方程
W:RjWn @< 与更长的脉冲相比，所需的传播方程可能变得更加复杂。例如，下面的复振幅方程A ( z , t )描述了单个光通道在放大器增益、背景损耗、二阶和三阶色散以及非线性效应（包括延迟非线性）的影响下的传播响应（克尔效应和受激拉曼散射）。非线性响应函数R ( τ )与傅里叶变换的拉曼增益谱有关。
B <SE|~\2 当多个光通道一起传播时，会有额外的非线性耦合项，使事情变得更加复杂。
$WIVCp ?0/$RpFEM# 用傅里叶方法求解方程
YQN:&Cls 色散和波长相关的增益和损耗等效应通常在频域中处理。这意味着必须对上述时间轨迹应用傅里叶变换算法（通常是快速傅里叶变换 = FFT），以便获得频域中的复振幅数组。在那里，人们可以轻松地应用与频率相关的相位变化和/或幅度变化。（例如，对应于二阶色散的二阶时间导数对应于频域中的简单乘法因子- ω 2。）通过逆傅里叶变换，可以回到时域。
hAf/&yA@ 通常使用一种分步傅里叶算法。有效的计算通常需要自动步长控制，因为在光纤中由于放大和/或色散压缩而导致脉冲获得高峰值功率的位置可能需要小得多的数值步长。正确处理延迟非线性响应（拉曼散射）的项特别困难；有效的解决方案需要额外的傅立叶变换。
F}u'A,Hc Q&]|W
Xv 软件帮助
z;1dMQ, # 求解这样的方程是相当困难的，但是仅仅使用一个设计良好的仿真软件也没什么大不了的！
a*5KUj6/TL *ai~!TR 尽管超短脉冲传播的技术细节相当复杂，但强大的仿真软件使用户计算和仿真这些东西相对简单。软件必须提供有关色散和非线性的合适光纤数据，而且用户通常必须确定表示脉冲的数值参数——例如，时间轨迹的宽度、采样点的数量和中心波长。这些共同决定了可以用数字表示的频率（或波长）范围。
u @Ze@N% 一个好的软件工具不仅可以可靠、快速地进行此类计算，而且还可以方便地显示计算结果。例如，图 5 显示了RP Fiber Power软件的交互式脉冲显示窗口，可以轻松检查光纤内任何点的脉冲。但是，交互式窗口不应该是访问数据的唯一方式；一个人还应该具有高效控制和数据处理的脚本功能。
/(JG\Ut 'Eur[~k 图 1：RP Fiber Power 软件有一个交互式窗口，用于在时域（上图）和频域（下图）中显示脉冲。通过底部的控制，可以在光纤中的任何位置获取脉冲。两个图表顶部边缘的小垂直线表示数字网格。
%@vF% 一些示例案例的要求
#!F>cez 不同的模拟场景可能与实际工作相关：
v@%4i ~N • 简单的情况只需要单程传播，例如通过光纤放大器的信号脉冲。然后，人们可能不仅要检查输出端的结果脉冲，还要检查光纤内任何位置的脉冲。
N F8<9 • 人们可能还必须处理一系列不同的光纤以及可能影响脉冲的其他
光学元件。例如，输入脉冲可以通过脉冲展宽器发送，然后通过有源光纤，最后通过脉冲压缩器，以利用啁啾脉冲放大原理。然后非常希望该软件足够灵活，例如允许生成图表，其中产生的脉冲的任何参数被绘制为
系统的任何参数的函数。
O.B9 w+G= • 在研究锁模光纤激光器时，可能不仅需要研究激光谐振腔中的单次往返（它可以包含多个光学元件，包括有源和无源光纤、调制器、滤光器、可饱和吸收器等），而且而是多次往返的演变。人们甚至可能希望自动传播脉冲，直到达到稳定状态（如果存在），并针对一定范围的参数执行此操作。（当然，软件应该能够自动确定何时大致达到稳定状态。）例如，可以将实现的脉冲持续时间（可能在自动调整的脉冲压缩器之后）绘制为半音量的函数激光谐振腔中的色散。
)ovAG O $~b6H]"9 一个简单的模拟软件可以提供包含所有相关细节的单程模拟，但可能无法用于更复杂的研究，例如锁模激光器。例如，如果总是必须手动将脉冲从一根光纤传输到下一根光纤，或者手动执行后续的往返行程，直到脉冲参数不再显着变化，则该过程可能变得过于繁琐。RP Fiber Power提供的用于自动化此类程序的强大脚本支持是必不可少的。
gvR ]"h 我们发布了一个锁模光纤激光器的案例研究，这是一个很好的例子。它是一种全正常色散激光器，具有相对复杂的脉冲形成动力学。图 2 取自该案例研究；它显示了循环脉冲的
光谱如何收敛到稳定状态，从而形成近乎矩形的光谱形状。
.gg0rTf=- 图 2： 前 100 次往返的全正常色散光纤激光器中的脉冲光谱。
v=@y7P1 图 3 显示了脉冲参数如何接近稳态。这些参数总是用于脉冲，因为它直接发生在它到达输出耦合器之前。现在可以改变激光谐振器的各种参数，以检查这些参数如何影响收敛到稳态。
nm1 dd{U6^ 图 3： 前 100 次往返期间脉冲参数的演变。
/*y5W-'d^ 图 4 显示了脉冲参数在谐振器内如何变化（在稳定状态下）。可以看到，当从左到右时，脉冲持续时间大幅上升，而脉冲带宽仅略微上升。这两个参数都由谐振器中的带通滤波器复位。
X3}eq|r9 `Jc / o=] 图 4： 无源和有源光纤内的脉冲参数。活动部分显示为红色。
VBL4cU8D 灵活性至关重要
ts,r,{ 从这些示例中可以看出，制作精良的仿真工具的高度灵活性不仅很好，而且对于实际工作来说是必不可少的。仅仅能够模拟激光谐振器中的往返行程是不够的；还需要生成各种图，以便清楚地了解此类激光器中发生的情况。此外，需要一种灵活的交互式工具来检查谐振器中任何位置的脉冲，尤其是在尚未找到稳定脉冲形成的合适参数的情况下。一旦确定了脉冲稳定性的关键因素，还可以制作一个彩色图，例如，它表明脉冲稳定性是两个不同参数的函数。
,N(Yjq"R 请注意，我们的软件提供的强大的脚本语言为您提供最大程度的灵活性。即使没有该功能的软件设计者会预定义大量不同的图表，您也可能会发现您在实践中需要的内容超出了该选择范围。因此，您希望能够控制图表、光纤和其他光学元件的顺序、
优化策略等的任何细节。
