雙膠合薄透鏡有三個鏡面自由度，滿足焦距後僅可再滿足球差S1，中心彗差S2C，色差CL三種像差中之任兩項。因此其透鏡解法通常是先找出所有符合某兩項像差值之結構，再從中將接近第三像差目標值之結構挑選出來。 69_c,(M0
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PWC法中的P, W, C 和S1, S2C, CL 是完全等效的，只是差一規化係數: P=S1/h, W=S2C/H, C=CL/(h*h)，其中h是邊緣光入射高，H是光學不變量。常見的PWC求解雙膠合的步驟是先滿足焦距及色差，再用查表法尋找可同時接近P及W目標值的玻璃對及鏡面半徑。 2W}RXqV<
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然而方法不是只有這一種。光學界對求解雙膠合透鏡之研究已有百年歷史，以下介紹幾篇相關論文： Va1|XQ<CL
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1. Khan 及 Macdonald [1] 運用一系列事先繪好之圖形以查驗可同時接近三種像差值之結構。其論文中也回顧了一些雙膠合透鏡求解法的歷史： 4-m}W;igu
(A) 1920年，Turriere 運用 Mossotti 於 1897 年所導出之方程式，求解當物在無限遠且球差及色差為零時之結構。 dZZ Hk
(B) 1946 年，Brown 與 Smith 運用查表法求解，同樣的，僅適用於物在無限遠且球差及色差為零情況。 pM>.z 9
(C) 1949 年，Slussarev 亦運用查表法求解物在無限遠，但像差可為色差及球差，或色差及彗差之情況。 L|c01
(D) 1954 年，Argentier 提出了比 Turriere-Mossotti 方法更簡單之遞迴式演算法，使之可用於物在無限或有限距離之情況，但仍限制球差，彗差及色差必須為零。 oL<^m?-u
(E) 1970年，Hopkins 及 Rao [2] 推導出雙膠合透鏡之球差及彗差公式，並說明將另行發表求解結構的方法。 cM5 5
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(F) 1974年，Blandford 推導出可給定任意球差及中心彗差，但不能設定色差之解法。 .9`.\v6R
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2. Dreyfus等[3]應用人工查驗圖型的方式，以選擇玻璃材料，滿足球差、色差、彗差均為零之雙膠合透鏡。 7Q^t(
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3. Banerjee及Hazra用基因法求解雙膠合透鏡[4-6]。 b+ {yF
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4. Chen [7]求解了非球面雙膠合鏡片。由於多了非球面係數的自由度，可同時精確滿足焦距及三個像差目標值。 ]+J]}C]\d
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參考文獻 \;Ii(3+ v;
[1] M. I. Khan and J. Macdonald, “Cemented doublets: a method for rapid design,” Optica Acta 29, 807–822 (1982). ^ .k}YSWut
[2] H. H. Hopkins and V. Rao, “The systematic design of two-component objectives,” Optica Acta 17, 497 (1970). zhFGMF1
[3] M. G. Dreyfus, R. E. Bishop, and J. E. Moorhead, "Aplanatic cemented doublet design," Journal of the Optical Society of America, 50(4), 375-378 (1960) f}o`3v*z
[4] S. Banerjee and L. N. Hazra, “Structural design of doublet lenses with prespecified aberration targets,” Opt. Eng. 36, 3111–3118 (1997). k+_pj k
[5] S. Banerjee and L. Hazra, “Experiments with a genetic algorithm for structural design of cemented doublets with prespecified aberration targets,” Appl. Opt. 40, 6265–6273 (2001). CA{c-kG
[6] S. Banerjee and L. N. Hazra, “Structural design of broken contact doublets with prespecified aberration targets using genetic algorithm,” J. Mod. Opt. 49, 1111–1123 (2002). uYV# '%
[7] Chao-Hsien Chen, “Methods of solving aspheric singlets and cemented doublets with given primary aberrations," Applied Optics, 53(29), H202-212 (2014)
