数学技术快速调整了下一代透镜

到目前为止，研究人员已经开发出计算机程序来搜索任何可能的像素模式，用于测量直径为数十微米的小型光学设备。例如，这种微小而精确的结构可以用来捕捉和引导超小型激光器中的光。通过求解麦克斯韦方程（描述光散射的一组基本方程）来确定这些小型设备的精确模式的程序，基于设备中的每个像素，然后逐像素调整模式，直到结构产生所需的光学效果。

但Johnson说，对于测量毫米或厘米尺寸的表面，这种逐像素模拟的几乎不可能实现。一台计算机不仅要处理更大的表面积、更大的像素数量级，还必须对许多可能的像素排列进行多次模拟，以最终获得最佳模式。

Johnson说：“你必须在足够大的尺度上进行模拟，以捕捉整个结构，但又要足够小以捕捉细节。如果你直接攻克它，这种组合真的是一个巨大的计算问题。如果你用上地球上最大的超级计算机，并且你有很多时间，你可以模拟其中一种模式。但这将是绝活。”

Johnson的团队现在想出了一个快捷方式，可以有效地模拟大规模超曲面所需的像素模式。研究人员不必为每平方厘米材料中每一纳米大小的像素解麦克斯韦方程，而是为像素“补丁”解出这些方程。

他们开发的计算机模拟从一平方厘米随机蚀刻的纳米尺寸像素开始。他们把表面分成像素组，或者说补丁，并用麦克斯韦方程来预测每个补丁是如何散射光的。然后他们找到了一种近似“缝合”补丁的方法，以确定光线如何散射到整个随机蚀刻的表面上。

从这个初始模式开始，研究人员随后采用一种称为拓扑优化的数学技术，在多次迭代中实质上调整每个补丁的模式，直到最终的整体曲面或拓扑以首选的方式散射光。

Johnson把这种方法比作试图蒙住眼睛试图找到上山的路。为了产生理想的光学效果，补丁中的每个像素都应该有一个最佳的蚀刻图案，这可以被比喻为峰值。对于一个补丁中的每个像素，找到这个峰值被认为是一个拓扑优化问题。

“对于每一个模拟，我们都在寻找调整每个像素的方法，”Johnson说。然后你就有了一个新的结构，你可以重新模拟，你继续这样做，每次上山，直到达到一个高峰，或优化的模式。

与传统的逐像素方法相比，该团队的技术能够在几个小时内识别出一个最佳模式，而传统的逐像素方法如果直接应用于大的超表面，几乎是难以处理的。

利用他们的技术，研究人员很快为几个“元器件”或具有不同光学特性的透镜找到了光学模式，包括从任何方向接收入射光并将其聚焦到一个点的太阳能聚光镜，以及消色差透镜，将不同波长或颜色的光散射到相同的点，具有相同的焦点。

 Johnson说：“如果你的相机里有一个镜头，如果它聚焦在你身上，它应该同时聚焦于所有颜色。红色不应该聚焦，而蓝色也不聚焦。所以你必须想出一个模式，以相同的方式分散所有的颜色，使它们聚焦同一个点。我们的技术能够想出一个疯狂的模式来做到这些。”

在未来，研究人员正与工程师合作，他们可以制造出他们的技术所绘制出的复杂模式，从而产生大型的超表面，可能用于更精确的手机镜头和其他光学应用。

Pestourie说：“这些表面可以作为汽车自身的传感器，或者增强现实，或者用在你需要良好的光学系统的地方。这种技术使您能够处理更具挑战性的光学设计。”

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