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| cc2008 | 2008-10-21 19:25 |  
| MATLAB入门教程-数值分析
2.1微分   R4Si{J*O kH>^3(Q\
 diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个:    ?%RR+(2m
 b%M|R%)]
 diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值    q<!KtI4
 &{(8EvuDd
 diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值    V'XvwO@
 ?*A"#0
 diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值    0q:g
Dc6z
 R;Gf3K
 diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值    j	aq/]I7
 =[G)
 数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。    uq_h8JH$
 4Q
FX
 先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项:    Mq2[^l!qu
 nO7#m~
 >>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';    wO3K2I]>0
 }t9A#GOz
 >>S2 = 'sin(a)';    fE&wtw{gi
 1[r;
 >>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)';    }^	G&n';J
 1q(o3%
 >>diff(S1)    C*fSPdg?
 gC}D0l[
 ans=18*x^2-8*x+b    m1(cN%DBd
 6
&)fZt
 >>diff(S1,2)    (8/Qt\3jv
 HOY9{>E}z
 ans= 36*x-8    =D6H?K-k!
 60St99@O
 >>diff(S1,'b')    C/je5
 %l8nTcL_?
 ans= x    &.t|&8-
 s(Tgv
 >>diff(S2)    =\l7k<
 IRW%*W#
 ans=    M`kR2NCi
 niIjatT
 cos(a)    B[rxV
 :g[G&Ds8
 >>diff(S3)    $6]7>:8mz
 OY/sCx+c
 ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3    )wwQv2E
 * 5Y.9g3)Q
 >>simplify(diff(S3))    |. zotEh
 1@Zjv>jy[
 ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2   >@o}l:*
 JV#)?/a$z
 2.2积分   g)Byd\DS
 j!H\hj/]
 int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积  fjAJys)Q
 :
*Nvy={c
 分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个:    &G>EBKn\2`
 JyX7I,0
 int(f) 传回f对预设独立变数的积分值    Sh_ =dzM
 Gv,0{DVX<
 int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值    S6sw)
 g(0
|p6R
 int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式    O/(qi8En
 hL,+wJ+A
 int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式    KR6*)?c`
 YJ`[$0mam
 int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式    $MmCh&V
 L:y}
L
 我们示范几个例子:    eiF!yk?2
 !m#cneV
 >>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';    fFfH9 cl!
 U$`)|/8
 >>S2 = 'sin(a)';    $3!j1
 y/m^G=Q6g#
 >>S3 = 'sqrt(x)';   #(53YoV_8
 4C;4"6
 >>int(S1)    x	hFQjV?V
 o4b!U %
 ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x    O\T
 q)ygSOtj
 >>int(S2)    In0kP"
 JqO#W1h~R|
 ans= -cos(a)    w49Wl>M
 |Mp_qg?g
 >>int(S3)    _gY
so]S^B
 h@72eav3+
 ans= 2/3*x^(3/2)    ?'K}bmdt}.
 6$>m s6g%
 >>int(S3,'a','b')    l|ZwZix
 ZbYwuyHk(3
 ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2)    2k[i7Rl \c
 ^)b*"o
 >>int(S3,0.5,0.6)     p1HU2APFP
 3R?7&oXvH
 ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2)    }}?L'Vby
 k3[
~I'
 >>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值    aI|<t^X
 }(-R`.e;
 ans= 0.0741   SMQuJ_
 MjG=6.J|`
 2.3求解常微分方程式    J[UL
f7:
 , {7wvXP
 MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ,     Um\Nd#=:
 8^zI
 condition则为初始条件。       v'.?:S&m
 GD|uU
 假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件       pN&Dpz^
 @3[Z QF
 y'=3x2, y(2)=0.5      KMznl=LF
 e(BF=gesgp
 y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25        Wn24eld"x
 |nXs'TO'O
 y'=3y+exp(2x), y(0)=3      /Z>#lMg\.
 $qy%Q]
 对应上述常微分方程式的符号运算式为:        6@!<'l%z
 _U$d.B'*)z
 >>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5')        [e ;K$
 PBr-<J
 ans= x^3-7.500000000000000       4NwGP^n
 lcvWx%/o@
 >>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相       p0uQ>[NV0
 Qm,|'y:Tg
 VbK| VON[
 ^o|igyS9
 >>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4')        suaTXKjyk+
 9wC	q
 ans= atan(x^2+1)      1d|+7
 ^Ebaq`{V\'
 >>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3')        a)4.[+wnRf
 cy?u
*
 ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x)     tp_*U,
 V?HC\F-
 _i:yI-jA
 3Zdkf]Gh
 2.4非线性方程式的实根    Q9X_aB0
 ve=oH;zf
 要求任一方程式的根有三步骤:     3yDa5q{
 xc8MOm
 先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3,  jRXByi=9
 N4}/n
 则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。    hI;tB6
 ~0|Hw.OK
 代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。   n'1pNL:
 ed2QGTgR
 由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。    	hPx=3L$
 1Xt%O86
 以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。   ?A2#V(4
 WWc{]R^D
 例一、方程式为    a*NcL(OC
 OYgD9T.8^
 sin(x)=0    M2[;b+W9
 5sEq`P}5
 我们知道上式的根有 ,求根方式如下:    5)2lZ(5.A#
 3rTYe6q$U
 >> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根    :|M0n%-X
 }9aYU;9D
 r=3.1416    Q~#udEajI
 /'u-Fr(Q+
 >> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根    eFp4MD8?
 O]~ cv^
 r = 6.2832   g,7`emOX
 #<S+E7uTs
 例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下:    :7<spd(%"
 &o=
#P2Qd
 >> x=linspace(-2,3);    F# y5T3(P
 V?t^ J7{'
 >> y=humps(x);     ),mKEpf
 8{ 8J(~
 >> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根  C!]hu)E
 \&`S~c V9
 s}uOht}
o
 ,Za!
 fDNiU"
 kTT!gZP$
 p}.L]Y
 vXAO#'4tm%
 H?	Z5ex
 Nj5Mc>_
 E;*#fD~@
 ^J<	I
Ia4
 5(^&0c>P
 ?"N,do
 <3m_}
=\
 >> r=fzero('humps',1.2)    #;)Oi9{9;
 oa? bOm
 r = 1.2995   6.ASLH3#
 :$~)i?ge<5
 例三、方程式为y=x.^3-2*x-5    L%}k.)yev
 GF*8(2h2
 这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下:    |,cQJ
 PxNp'PZr9
 % m-function, f_1.m    F"1)y>2k
 ]+<[D2f
 function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数    p#wQW[6
 >\y|}|?
 y=x.^3-2*x-5;   lE=(6Q
 oDogM`T`
 >> x=linspace(-2,3);    HQw98/-_W
 (/UW}$]	h
 >> y=f_1(x);    'G;y!<a
 l=ehoyER
 >> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根   47 xyS%X
 [APwHIS
 l\xcR]O
 ?	C1.g'}7
 ``$Dgj[
 V9&7K65-1
 Z0uo.
H@.N
 M!Q27wT8O
 gBp,p\	Xc
 v W=$C
 &TJMop Vn
 ^aYlu0Wm
 rp^=vfW
 )c!7V)z
 >> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根    3eT5~Lbs
 ]CHO5'%,$
 r = 2.0946    ySAkj-<	/P
 >	Dy<@e
 >> p=[1 0 -2 -5]    N3O3V5':!
 7iMBDkb7
 >> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证    m}ZkNWH
 wX5Yo{
 r =    $;7,T~{
 U4)x "s[CP
 2.0946    :/UO3	c(
 HYU-F_|N=
 -1.0473 + 1.1359i    }p,#rOX:A
 _3@[S
F
 -1.0473 - 1.1359i    5:y\ejU
 &O8vI,M
 2.5线性代数方程(组)求解 )aSj!X'`;
 cHo@F!{o=
 我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下    :{sy2g/+
 i!0w?	/g9
 AX=B    v~E\u
 {zzc/!|
 其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项   }_Y&kaM
 :&Sv jJR
 要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。    ^97u0K3$
 Ao?y2	[sE
 如果将原方程式改写成 XA=B   QAGR\~
 oKyl2jg+,
 其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项   <[.{aj]QV
 6sceymq
 注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。    ?{=&R o
 *<r\:g
 若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。    yM,.{m@F<
 B
]*v{?<W
 我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法:    @S?`!=M
 )<ig6b%
 >> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入    !s^[|2D_U
 1fgO3N
 >> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置    YQ?	"~[mL
 %u=b_4K"j
 >> X=A\B % 先以左除运算求解    QC\r|RXW
 7QSrC/e
 X = % 注意X为行向量    I{nrOb1G(
 813t=A
 -2    \d-H+t]
 !LI
8Xk
 5    Cx~,wk;=
 `@<>"ff#F
 6    wWYo\WH'
 o?,c#g
 >> C=A*X % 验算解是否正确    m!Y4+KTwD`
 C>NLZMT
 C = % C=B    8kdJ;%^N
 Mi^/`1
 10    wXR7Ifrv
 uKA-<nM._c
 5    D(	\c?X"
 e^=b#!}-5:
 -1   } "QL"%
 62.)fCQ^
 >> A=A'; % 将A先做转置    R6cd;|	fan
 \Gl>$5np
 >> B=[10 5 -1];    aM5Hp>'nI
 <nvzNXql
 >> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同    yDapl(
 zp'Vn7
 X = % 注意X为列向量    f|+aa6hN
 +b
 sc3
 10  5  -1    [iXk v\
 Mg~62u
 >> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
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