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cc2008 2008-10-21 19:25

MATLAB入门教程-数值分析

2.1微分   _'w:Sx?d7  
/>E ILPPb  
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个:   - c>Vw&1  
M-].l3  
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值   $,:mq>]![{  
uxn+.fA  
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值   FR6 W-L  
Q4 &P\V  
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值   MJX4;nbl  
A-1K TD  
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值   "7EK{6&jQ  
Q&PWW#D  
    数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。   Fc[vs52  
6p }a!  
    先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项:   Es#:0KH].v  
i/*)1;xsk  
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';   ,{G\-(\  
oJNQdW[  
>>S2 = 'sin(a)';   HqsqUS3[  
|pZ7k#%  
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)';   q !9;JrX  
.!<yTh  
>>diff(S1)   VDOC>  
rb@[ Edj  
ans=18*x^2-8*x+b   Z[VrRT,\c  
1o/(fy  
>>diff(S1,2)   d)U(XiK'  
|WS@q'  
ans= 36*x-8   xGr{ad.N  
yw:%)b{  
>>diff(S1,'b')   l"[.Q>d  
@su<_m6'  
ans= x   ~D5FnN9  
} l+_KA  
>>diff(S2)   &Y@),S9  
c nv%J}wq  
ans=   clyp0`,7  
p:b{>lM  
cos(a)   Oto8?4[n  
cQLPgE0  
>>diff(S3)   +C;;4s)  
q p}2  
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3   ~M* UMF^  
^L.I9a#]  
>>simplify(diff(S3))   ^W=hs9a+F  
6 Q7MAP M  
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2   sF)$<[w  
|1 qrU(  
2.2积分   ~sn3_6{  
uPcx6X3]  
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 L'$\[~Ug  
}\H. G  
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个:   EP;ts  
~0024B[G  
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值   X&aQR[X  
WwoT~O8R  
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值   gA_oJW4_  
D1deh=  
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式   ueU"v'h\  
o$->|k  
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式   XFs7kTY  
um]N]cCD`  
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式   65@GXn[W_  
Pl|I{l*o(`  
我们示范几个例子:   3,i`FqQa  
E)Qg^DHP/  
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';   HQ=pf >  
`_/1zL[  
>>S2 = 'sin(a)';   o6 NmDv5  
`ba<eT':  
>>S3 = 'sqrt(x)';   qooTRqc#,  
$=>:pQbBVX  
>>int(S1)   (/&ht-~EL  
H/W&a2R^P  
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x   [`h,Ti!m<  
zN9@.!?X2  
>>int(S2)   D5@}L$ u  
[Z'4YXS  
ans= -cos(a)   liB~vdqj  
gBI?dw  
>>int(S3)   _u_|U  
LfrjC@_y  
ans= 2/3*x^(3/2)   A ?~4Pe  
 ;1,#rTs  
>>int(S3,'a','b')   2&s(:=  
70*yx?TV  
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2)   `.VkR5/  
uGlz|C  
>>int(S3,0.5,0.6)     ]Zay9jD}c-  
|M<R{Tt}nf  
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2)   Z^A(Q>{e  
?|2m0~%V=  
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值   },5LrX`L  
@ohJ'  
ans= 0.0741   \n#l+R23  
bDw\;bnG  
2.3求解常微分方程式   [sPLu)q2  
S +73 /Vs  
   MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ,     Ax!@vL&@  
2j>C4Ck  
condition则为初始条件。       odcrP\S  
$:D L+E-}  
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件       VJgf, 5 (N  
N9Fu  
y'=3x2, y(2)=0.5     CS"k0V44}  
+x:VIi  
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25       mp]UUpt  
:e_yOT}}  
y'=3y+exp(2x), y(0)=3     P!~&Ei  
6l>016 x  
对应上述常微分方程式的符号运算式为:       eLN(NSPoS  
g;3<oI/P  
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5')        mxvV~X %  
=PBJ+"DQs  
ans= x^3-7.500000000000000       '_=XfTF  
"0"8Rp&V|  
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相       BxxqzN+  
5i3 nz=~o  
q p1rP#  
zgpv I~Ck  
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4')       ? v@q&  
'&xRb*  
ans= atan(x^2+1)     f7]C1!]  
;}4e+`fF|  
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3')       +7)/SQM5  
GZFLJu  
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x)     f9E.X\"  
vi.q]$ohbV  
F>3fP  
YC~kq?  
2.4非线性方程式的实根   j~9,Ct  
;V~~lcD&Y`  
    要求任一方程式的根有三步骤:     u"r1RG'  
2! bE|  
    先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, w`0r`\#V/  
;,_c1x/F  
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。   ! XNTk]!  
_RzcMX  
    代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。   |a Ht6F  
1(U\vMb  
    由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。   {~d8_%:b  
R_DZJV O  
    以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。   B,dKpz;kFg  
rU1{a" {  
    例一、方程式为   _52BIrAO2  
K_~SJbl  
    sin(x)=0   Z,Tv8;  
$lrq*Nf9c  
    我们知道上式的根有 ,求根方式如下:   }h)[>I(  
?l<u%o  
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根   [I` 6F6  
(PCv4:`g  
  r=3.1416   ^t\AB)(8  
KI Ua  
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根   .@ElfPP(L  
\TBY)_[ {  
r = 6.2832   ~\m|pxcj  
FVcoo V  
    例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下:   ^^Tu/YC9x  
MoP 0qNk  
>> x=linspace(-2,3);   f)+fdc  
&Qdd\h#  
>> y=humps(x);   BqKh&m  
/TgG^|  
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 uB:utg  
9m fYB  
   B/CP/Pfb  
ou@ P#:<B  
o5FBqt  
8BZDaiE"  
LJMw-#61sj  
[sY>ac  
MW+]w~7_Q  
7Jm9,4]  
<vV?VV([  
` 0k  
&?<o692  
   a[GlqaQy+-  
ZIx,?E+eJ  
>> r=fzero('humps',1.2)   9c1n  
5xHl6T+  
r = 1.2995   @3K 4,s  
of ^N4  
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5   *Gm%Dn  
PU^Z7T);  
    这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下:   GIDC'  
zKWcDbj  
% m-function, f_1.m   W/uaNp  
'@iS5Fni  
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数   x=bAR%i~  
C/+8lA6NV  
y=x.^3-2*x-5;   -)aBS3  
16YJQ ue  
>> x=linspace(-2,3);   s]r"-^eS3  
.Tdl'y:..  
>> y=f_1(x);   ;ePmN|rq;  
D;|4ZjM-  
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根   AtA}OY]D /  
Tc`LY/%Od  
   oM$EQd`7  
52>?l C  
'wX'}3_/g  
~OEP)c\k  
81/Bn!  
oZ@_o3VG  
"@E1^  
?(!$vqS`f(  
2|#3rF  
}{S W~yW  
N.u)Mbe   
H.Z:at5n  
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根   _'dsEF  
y8wOJZ<K  
r = 2.0946   >=i47-H  
z1F[okLA  
>> p=[1 0 -2 -5]   h]c-x(+  
Y'Jb@l`$-  
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证   d;(L@9HHD  
*Rj>// A  
r =   } CJQC  
9+SeG\Th  
2.0946   r 06}@7  
6lq7zi}'w  
-1.0473 + 1.1359i   h&5H`CR[  
^C@uP9g  
-1.0473 - 1.1359i   ^gh/$my;  
![:S~x1  
2.5线性代数方程(组)求解 +8Zt<snG  
7##nY3",^  
    我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下   t[F tIj6  
yI bz\3  
     AX=B   yGH'|`  
((Ec:(:c  
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项   _4rb7"b1  
@=b0>^\m  
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。   <0R7uH  
JHc|.2Oe  
    如果将原方程式改写成 XA=B   =2)5_/9au  
OcMd'fwO  
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项   us4.-L  
Yq#I# 2RD  
    注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。   i,FG?\x@  
<Ky\ ^  
    若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。   U{LDtn%@h6  
7J,W#Ql)5  
    我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法:   rr*",a"}m  
/[GOs*{zB  
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入   ,u{d@U^)3@  
[={pF q`  
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置   nV McHN   
zV4%F"-  
>> X=A\B % 先以左除运算求解   \h :Rw|  
g 6>R yjN  
X = % 注意X为行向量   /,/T{V[  
+ yS"pOT  
-2   nPfVZGt  
 -deY,%  
5   LZM[Wg#  
/+sn -$/"i  
6   FD#?pVyPn^  
]BP/KCjAI<  
>> C=A*X % 验算解是否正确   Nb#E +\q  
@+ Berb  
C = % C=B   A T+|}B!  
H4KwbTT"+  
10   \@['V   
fbwo2qe@K  
5   !o:RIwS3  
T!pWU*aB  
-1   0UWLs_k:  
_7]5 Q  
>> A=A'; % 将A先做转置   |j^>6nE  
6VQ*z8wLw  
>> B=[10 5 -1];   d~S.PRg=  
&>@nW!n u  
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同   {TzKHnP  
0OEyJ|g  
X = % 注意X为列向量   mmTc.x h  
ECg/ge2  
10  5  -1   6peO9]Zy  
%nF6n:|:  
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
wanghong74 2008-10-30 10:37
很感兴趣!!!!!!!!!!
k123123123 2009-03-21 00:56
要文件啊·····
yanzongqun 2009-03-28 20:11
谢谢,我们正要开课呢
fgh1106 2010-09-15 17:15
附件呢? [*vk&  
like0508 2011-03-28 18:56
附件附件啊
lurunhua 2012-10-19 22:02
bu 错的介绍
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