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cc2008 2008-10-21 19:25

MATLAB入门教程-数值分析

2.1微分   R4Si{J*O  
kH>^3( Q\  
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个:   ?%RR+(2m  
b%M|R%)]  
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值   q<!Kt I4  
&{(8EvuDd  
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值   V'XvwO@  
?*A"#0  
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值   0q:g Dc6z  
R; Gf3K  
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值   j aq/]I7  
 =[G)  
    数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。   uq_h8JH$  
4 Q FX  
    先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项:   Mq2[^l!qu  
nO7#m~  
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';   wO3K2I]>0  
}t9A#GOz  
>>S2 = 'sin(a)';   fE&wtw{gi  
1[r;  
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)';   }^ G&n';J  
1q(o3%   
>>diff(S1)   C*fSPdg?  
 gC}D0l[  
ans=18*x^2-8*x+b   m1(cN%DBd  
6 &)fZt  
>>diff(S1,2)   (8/Qt\3jv  
HOY9{>E}z  
ans= 36*x-8   =D6H?K-k!  
60St99@O  
>>diff(S1,'b')   C/je5  
%l8nTcL_?  
ans= x   &.t|&8-  
s(Tgv  
>>diff(S2)   =\l7k<  
IRW%*W#  
ans=   M`kR2NCi  
niIjatT  
cos(a)   B[rxV  
:g[G&Ds8  
>>diff(S3)   $6]7>:8mz  
OY/sCx+c  
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3   )wwQv2E  
* 5Y.9g3)Q  
>>simplify(diff(S3))   |.zotEh  
1@Zjv>jy[  
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2   >@o}l:*  
JV#)?/a$z  
2.2积分   g)Byd\DS  
j!H\hj/]  
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 fjAJys)Q  
: *Nvy={c  
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个:   &G>EBKn\2`  
Jy X7I,0  
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值   Sh_=dzM  
Gv,0{DVX<  
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值   S6sw)  
g(0 |p6R  
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式   O/(qi8En  
hL,+wJ+A  
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式   KR6*)?c`  
YJ`[$0mam  
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式   $MmCh&V  
L:y} L  
我们示范几个例子:   eiF!yk?2  
!m#cneV  
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';   fFfH9cl!  
U$`)|/8  
>>S2 = 'sin(a)';   $3! j1  
y/m^G=Q6g#  
>>S3 = 'sqrt(x)';   #(53YoV_8  
4C ;4"6  
>>int(S1)   x hFQjV?V  
o4b!U%  
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x   O\ T  
q)ygSOtj  
>>int(S2)   In0kP"  
JqO#W1h~R|  
ans= -cos(a)   w49Wl>M  
|Mp_qg?g  
>>int(S3)   _gY so]S^B  
h@72eav3+  
ans= 2/3*x^(3/2)   ?'K}bmdt}.  
6$>m s6g%  
>>int(S3,'a','b')   l|Zw Zix  
ZbYwuyHk(3  
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2)   2k[i7Rl \c  
^)b*"o  
>>int(S3,0.5,0.6)     p1HU2APFP  
3R?7&oXvH  
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2)   }}?L'Vby  
k3[ ~I'  
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值   aI|<t^X  
}(-R`.e;  
ans= 0.0741   SMQuJ_  
MjG=6.J|`  
2.3求解常微分方程式   J[ UL f7:  
,{7wvXP  
   MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ,     Um\Nd#=:  
8^zI  
condition则为初始条件。       v'.?:S&m  
GD|uU  
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件       pN&Dpz^  
@3[Z Q F  
y'=3x2, y(2)=0.5     KMznl=LF  
e(BF=gesgp  
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25       Wn24eld"x  
|nXs'TO'O  
y'=3y+exp(2x), y(0)=3     /Z>#lMg\.  
$qy%Q]  
对应上述常微分方程式的符号运算式为:       6@!<' l%z  
_U$d.B'*)z  
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5')       [e ;K$  
PBr-< J  
ans= x^3-7.500000000000000       4NwGP^ n  
lcvWx%/o@  
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相       p0uQ>[NV0  
Qm,|'y:Tg  
VbK| VON[  
^o|igyS9  
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4')       suaTXKjyk+  
9wC q  
ans= atan(x^2+1)     1d|+7  
^Ebaq`{V\'  
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3')       a)4.[+wnRf  
cy?u *  
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x)     tp_*U,  
V?HC\F-  
_i:yI-jA  
3Zdkf]Gh  
2.4非线性方程式的实根   Q9X_aB0  
ve=oH;zf  
    要求任一方程式的根有三步骤:     3yDa5q{  
xc8MOm  
    先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, jRXByi=9  
N4}/n  
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。   hI;tB6  
~0|Hw.OK  
    代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。   n'1pNL:  
ed2QGTgR  
    由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。    hPx=3L$  
1Xt% O86  
    以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。   ?A2#V(4  
WWc{]R^D  
    例一、方程式为   a*NcL(OC  
OYgD9T.8^  
    sin(x)=0   M2[;b+W9  
5sEq`P}5  
    我们知道上式的根有 ,求根方式如下:   5)2lZ(5.A#  
3rTYe6q$U  
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根   :|M0n%-X  
}9aYU;9D  
  r=3.1416   Q~#udEajI  
/'u-Fr(Q+  
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根   eFp4MD8?  
O]~cv^  
r = 6.2832   g,7`emOX  
#<S+E7uTs  
    例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下:   :7<spd(%"  
&o= #P2Qd  
>> x=linspace(-2,3);   F# y5T3(P  
V?t^ J7{'  
>> y=humps(x);   ),mKEpf  
8{8J(~  
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 C!]hu)E  
\&`S~cV9  
   s}uOht} o  
,Za!  
fDNiU"  
kTT!gZP$  
p}.L]Y  
vXAO#'4tm%  
H? Z5ex  
Nj5Mc>_   
E;*#fD~@  
^J< I Ia4  
5(^&0c>P  
   ?"N, do  
<3m_} =\  
>> r=fzero('humps',1.2)   #;)Oi9{9;  
oa?bOm  
r = 1.2995   6.ASLH3#  
:$~)i?ge<5  
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5   L%}k.)yev  
GF*8(2h2  
    这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下:   |,c QJ  
PxNp'PZr9  
% m-function, f_1.m   F"1)y>2k  
] +<[D2f  
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数   p#wQW[6  
>\ y|}|?  
y=x.^3-2*x-5;   l E=(6Q  
oDogM`T`  
>> x=linspace(-2,3);   HQw98/-_W  
(/UW}$] h  
>> y=f_1(x);   'G;y!<a  
l=ehoyER  
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根   47 xyS%X  
[APwHIS  
   l\xcR]O  
? C1.g'}7  
``$Dgj[  
V9&7K65-1  
Z0uo. H@.N  
M!Q27wT8 O  
gBp,p\ Xc  
v W=$C  
&TJMopVn  
^aYlu0Wm  
rp^= vfW  
)c!7V)z  
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根   3 eT5~Lbs  
]CHO5'%,$  
r = 2.0946   ySAkj-< /P  
> Dy<@e  
>> p=[1 0 -2 -5]   N3O3V5':!  
7iMBDkb7  
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证   m}ZkNWH  
wX5Yo{  
r =   $;7,T~{  
U4)x"s[CP  
2.0946   :/UO3 c(  
HYU-F_|N=  
-1.0473 + 1.1359i   }p,#rOX:A  
_ 3@[S F  
-1.0473 - 1.1359i   5:y\ejU  
&O8vI ,M  
2.5线性代数方程(组)求解 )aSj!X'`;  
cHo@F!{o=  
    我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下   :{sy2g/+  
i!0w? /g9  
     AX=B   v~E\u  
{zzc/!|  
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项   }_Y&kaM  
:&SvjJR  
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。   ^97u0K3$  
Ao?y2 [sE  
    如果将原方程式改写成 XA=B   QAGR\~  
oKyl2jg+,  
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项   <[.{aj]QV  
6sceymq  
    注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。   ?{=& Ro  
*<r\:g  
    若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。   yM,.{m@F<  
B ]*v{?<W  
    我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法:   @S?`!=M  
)<ig6b%  
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入   !s^[|2D_U  
1fgO3N  
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置   YQ? "~[mL  
%u=b_4K"j  
>> X=A\B % 先以左除运算求解   QC\r|RXW  
7QSr C/e  
X = % 注意X为行向量   I{nrOb1G(  
813t=A  
-2   \d-H+t]  
!LI 8Xk  
5   Cx~,wk;=  
`@<>"ff#F  
6   wWYo\WH'  
o?,c#g  
>> C=A*X % 验算解是否正确   m!Y4+KTwD`  
C>NLZM T  
C = % C=B   8kdJ;%^N  
Mi^/`1  
10   wXR7Ifrv  
uKA-<nM._c  
5   D( \c?X"  
e^=b#!}-5:  
-1   } "QL"%  
62.)fCQ^  
>> A=A'; % 将A先做转置   R6cd;| fan  
\Gl>$5np  
>> B=[10 5 -1];   aM5Hp>'nI  
<nvzNXql  
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同   yDapl(  
zp'Vn7  
X = % 注意X为列向量   f|+aa6hN  
+b sc3  
10  5  -1   [iXkv\  
Mg~62u  
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
wanghong74 2008-10-30 10:37
很感兴趣!!!!!!!!!!
k123123123 2009-03-21 00:56
要文件啊·····
yanzongqun 2009-03-28 20:11
谢谢,我们正要开课呢
fgh1106 2010-09-15 17:15
附件呢? ooA%/  
like0508 2011-03-28 18:56
附件附件啊
lurunhua 2012-10-19 22:02
bu 错的介绍
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