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2008-10-21 19:25 |
MATLAB入门教程-数值分析
2.1微分 _'w:Sx?d7 />E
ILPPb diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: -
c>Vw&1 M-].l3 diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 $,:mq>]![{ uxn+.fA diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 FR6 W-L Q4 &P\V diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 MJX4;nbl A-1KTD diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 "7EK{6&jQ Q&PWW#D 数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 Fc[vs52 6p
}a! 先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: Es#:0KH].v i/*)1;xsk >>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ,{G\-(\ oJNQdW[ >>S2 = 'sin(a)'; HqsqUS3[ |pZ7k#% >>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; q !9;JrX .! <yTh >>diff(S1) VDOC> rb@[Edj ans=18*x^2-8*x+b Z[VrRT,\c 1o/(fy >>diff(S1,2) d)U(XiK' |WS@q' ans= 36*x-8 xGr{ad.N yw:%)b{ >>diff(S1,'b') l"[.Q>d @su<_m6' ans= x ~D5FnN9 }l+_KA >>diff(S2) &Y@),S9 c
nv%J}wq ans= clyp0`,7 p:b{>lM cos(a) Oto8?4[n cQLPgE0 >>diff(S3) +C;;4s) q p}2 ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 ~M*
UMF^ ^L.I9a#]
>>simplify(diff(S3)) ^W=hs9a+F 6 Q7MAP M ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 sF)$<[w |1
qrU( 2.2积分 ~sn3_6{ uPcx6X3] int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 L' $\[~Ug }\H. G 分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: EP;ts ~0024B[G int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 X&aQR[X WwoT~O8R int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 gA_oJW4_ D1deh= int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 ueU "v'h\ o$->|k int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 XFs7kTY um]N]cCD` int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 65@GXn[W_ Pl|I{l*o(` 我们示范几个例子: 3,i`FqQa E)Qg^DHP/ >>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; HQ=pf > `_/1zL[ >>S2 = 'sin(a)'; o6 NmDv5 `ba<eT': >>S3 = 'sqrt(x)'; qooTRqc#, $=>:pQbBVX >>int(S1) (/&ht-~EL H/W&a2R^P ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x [`h,Ti!m< zN9@.!?X2 >>int(S2) D5@}L$u [Z'4YXS ans= -cos(a) liB~vdqj gBI?dw >>int(S3) _u_|U LfrjC@_y ans= 2/3*x^(3/2) A ?~4Pe ;1,#rTs >>int(S3,'a','b') 2&s(:= 70*yx?T V ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) `.VkR5/ uGlz|C >>int(S3,0.5,0.6) ]Zay9jD}c- |M<R{Tt}nf ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) Z^A( Q>{e ?|2m0~%V= >>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 },5LrX`L @ohJ' ans= 0.0741 \n#l+R23 bDw\;bnG 2.3求解常微分方程式 [sPLu)q2 S +73 /Vs MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , Ax!@vL&@ 2j>C4Ck condition则为初始条件。 odcrP\S $:DL+E-} 假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 VJgf,
5 (N N9Fu y'=3x2, y(2)=0.5 CS"k0V44} +x:VIi y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 mp]UUpt :e_yOT}} y'=3y+exp(2x), y(0)=3 P!~&Ei 6l>016 x 对应上述常微分方程式的符号运算式为: eLN(NSPoS g;3<oI/P >>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') mxvV~X% =PBJ+"DQs ans= x^3-7.500000000000000 '_=XfTF "0"8Rp&V| >>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 BxxqzN+ 5i3nz=~o qp1rP# zgpvI~Ck >>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') ?v@q& '&xRb* ans= atan(x^2+1) f7]C1!] ;}4e+`fF| >>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') +7)/SQM5 GZFLJu ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) f9E.X\" vi.q]$ohbV F>3fP YC~kq? 2.4非线性方程式的实根 j~9,Ct ;V~~lcD&Y` 要求任一方程式的根有三步骤: u"r1RG' 2!bE| 先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, w`0r`\#V/ ;,_c1x/F 则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 ! XNTk]! _RzcMX 代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 |a Ht6F
1(U\vMb 由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 {~d8_%:b R_DZJV O 以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 B,dKpz;kFg rU1{a" { 例一、方程式为 _52BIrAO2 K_~SJbl sin(x)=0 Z,Tv8; $lrq*Nf9c 我们知道上式的根有 ,求根方式如下: }h)[>I( ?l<u %o >> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 [I` 6F6 (PCv4:`g r=3.1416 ^t\AB)(8 KIUa >> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 .@ElfPP(L \TBY)_[ { r = 6.2832 ~\m|pxcj FVcooV 例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: ^^Tu/YC9x
MoP0qNk >> x=linspace(-2,3); f)+fdc &Qdd\h# >> y=humps(x); BqKh&m /TgG^|
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 uB:utg 9m
fYB B/CP/Pfb ou@ P#:<B o5FBqt 8BZDaiE" LJMw-#61sj [sY>ac MW+]w~7_Q 7Jm9,4] <vV?VV([ ` 0k &?<o692 a[GlqaQy+- ZIx,?E+eJ >> r=fzero('humps',1.2) 9c1n 5xHl6T+ r = 1.2995 @3K 4,s of^N4 例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 *Gm%Dn PU^Z7T); 这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: GIDC' zKWcDbj % m-function, f_1.m W/uaNp '@iS5Fni function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 x=bAR%i~ C/+8lA6NV y=x.^3-2*x-5; -)aBS3 16YJQ ue >> x=linspace(-2,3); s]r"-^eS3 .Tdl'y:.. >> y=f_1(x); ;ePmN|rq; D;|4ZjM- >> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 AtA}OY]D/ Tc`LY/%Od oM$EQd`7 52>?l C 'wX'}3_/g ~OEP)c\k 81/Bn! oZ@_o3VG "@E1^ ?(!$vqS`f( 2|#3rF }{S W~yW N.u)Mbe H.Z:at5n >> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 _'dsEF y8wOJZ<K r = 2.0946 >=i47-H z1F[okLA >> p=[1 0 -2 -5] h]c-x(+ Y'Jb@l`$- >> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 d;(L@9HHD *Rj>// A r = }
CJQC 9+SeG\Th 2.0946 r 06}@ 7 6lq7zi}'w -1.0473 + 1.1359i h&5H`CR[ ^C@uP9g -1.0473 - 1.1359i ^gh/$my; ![:S~x1 2.5线性代数方程(组)求解 +8Zt<snG 7##nY3",^ 我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 t[F tIj6 yIbz\3 AX=B yGH'|` (( Ec:(:c 其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 _4rb7"b1 @=b0>^\m 要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 <0 R7uH JHc|.2Oe 如果将原方程式改写成 XA=B =2)5_/9au OcMd'fwO 其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 us4.-L Yq#I#
2RD 注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 i,FG?\x@ <Ky\ ^ 若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 U{LDtn%@h6 7J,W#Ql)5 我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: rr*",a"}m /[GOs*{zB >> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 ,u{d@U^)3@ [={pFq` >> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 nV
McHN zV4%F"- >> X=A\B % 先以左除运算求解 \h :Rw| g 6>RyjN X = % 注意X为行向量 /,/T{V[ +yS"pOT -2 nPfVZGt -deY,% 5 LZM[Wg# /+sn-$/"i 6 FD#?pVyPn^ ]BP/KCjAI< >> C=A*X % 验算解是否正确 Nb#E+\q @+Berb C = % C=B AT+|}B! H4KwbTT"+ 10 \@['V fbwo2qe@K 5 !o:RIwS3 T!pWU*aB -1 0UWLs_k: _7]5Q >> A=A'; % 将A先做转置 |j^>6nE 6VQ*z8wLw >> B=[10 5 -1]; d~S.PRg= &>@nW!n
u >> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 {TzKHnP 0OEyJ|g X = % 注意X为列向量 mmTc.xh ECg/ge2 10 5 -1 6peO9]Zy %nF6n:| : >> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
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