用 Mathematica 中的阿基米德螺线和复杂代数分析太空中杂耍的模式
用 Mathematica 中的阿基米德螺线和复杂代数分析太空中杂耍的模式 y]/{W}D V3jx{BXs2
太空杂耍是什么样的呢? htaB!Q?V 当我问这个问题时,我并不是想把地球杂耍放到太空。我想知道对于一个太空艺术家来说杂耍是什么样的。我努力学习并练习了这个技巧。几周前,我还在国际杂耍协会2021年冠军赛上以太空杂耍表演获得了第一名! X 6>Pq 43/|[ t0wLj}"U
人体转动惯量 _uRgKoiy 在我第一次抛物线飞行之前,我写了一个 Mathematica 代码来计算人体在不同位置的主要转动惯量。概述其中一些研究的文章称为“失重中人体的编舞技术”。下图是使用该笔记本生成的。 s?=J#WV1y SO}Hc;Q1` 3&}wfK]X
[attachment=119122] kJ~^
}o w_9:gprf ~<|xS
知道主轴很有用,因为最大和最小轴向我们展示了我们可以稳定旋转的轴。如果系统没有简并性,这些是身体可以稳定旋转的唯一轴。通过构造转动惯量张量(绕物体质心)来找到轴,然后找到特征值和特征向量。 4b 4nFRnH xbIxtZm 在上面的图中,蓝色和红色箭头分别表示的最大和最小轴。如果身体的总角动量与这些轴之一对齐,则身体将稳定旋转并且不会摆动。我发现有趣的是,身体可以围绕腹部旋转,有点像通过围绕蓝色轴旋转的侧手翻。 $
@^n3ZQ4 'j}%ec1 ^*iZN
=\
在失重状态下扔球 8Uc#>Ae'_ 下一个需要了解的细节是,当一个球在失重状态下投掷时,它沿直线而不是抛物线运动。 aeSXHd?+( TIS}'c'C 我们可以将这两条信息放在一起,考虑到一个人可以以侧手翻的方式旋转并将球扔给自己。更有趣的是,我们知道球在惯性空间中沿直线运动,但它们在旋转坐标系中的运动路径是什么?杂耍人看到了什么? /P,J);Y )2\6Fy0S 首先,我们需要一个表示杂耍人脊柱方向的函数。假设从头部到沿脊柱的位置以及杂耍者的双手之间的距离为 A。我们也可以说杂耍者以角速度 ω 旋转。因此 gllXJM^ - ; LTc4t
[attachment=119123] T9u/|OP 我们想知道从点 f[t] 到手的位置的偏移量,我们可以缩放和旋转 f[t] 来简化。 u{I)C0 x5{ zGv.j
[attachment=119124] Pj+XKDV]T 记住,任何复数向量乘以一个单位复数会旋转它,旋转角度是正实轴和这个向量的夹角。在 Mathematica 中,如果您有一个单位复向量,您可以计算这个向量的 Arg,它会告诉您旋转角度是多少。 rQ/S|gG k{9s>l~' )u<sEF 如果我们加上 f[t] 和 g[t],我们就会得到左手的位置。 wWwY.}j 5 J 0
[attachment=119125] +`\C_i- 如果 f[t] 减去 g[t],就得到右手的位置。 ]` 3;8, \p.ku%{
[attachment=119126] `57ffQR9 让我们快速地看一下目前为止我们都得到了什么。我们设 ω = 2 π,这样 t的值就与转数成正比。设 t = 1/8 我们可以从坐标轴上看到它。 T#T!a0 ]{dg"J mw.9cDf
[attachment=119127] X1$0'usS i5|!MIY 2TY|)ltsF
[attachment=119135] xez~Yw2 /f_lWr:9l 现在我们已经有一种方法来展示身体如何在侧手翻运动中旋转。下一个需要展示一个球的运动。它会沿着直线移动。我们想从一个杂耍者的手开始,我们想它被杂耍者的手抓住。从数学上讲,这意味着轨迹将在时间 ti, 位置 开始,在时间到 τ, 结束。 5y@JMQSO >`u} G1T\ 代表球运动方向的向量是 [attachment=119128] 'kPShZS$b DaaLRMQ= 太空中的球位置从初始点开始,然后在 τ 时间内移动,因此直线惯性空间的轨迹为 kyz_r6
[attachment=119129] a&|aK+^8; 我们可以绘制这些轨迹。请看下面左侧图中的线。 v dyu =*Y s4t>/.;x wn5CaP(]8
[attachment=119137] N3i}>Q)B jFnq{Lt
`2Vc*R
[attachment=119153] ]0g<][m 'Aai.PE: T[L
[attachment=119138] u9QvcD^'z Id|38 p-r}zc9@
[attachment=119139] DTPYCG&%
[attachment=119143] <SbW
QbN ?<
mSEgvu 更有趣的是观察旋转坐标系中的轨迹。上面的右图显示了杂耍者在旋转框架中看到的东西。您注意到这些球是如何以弧线运动的吗? V#=o< Il>!C\hU 要在旋转坐标系中生成绘图,如上图右侧所示,只需将线函数 TL 乘以一个以相同角速度向相反方向旋转的指数函数。 5q}680s9+ PO]z'LD
阿基米德螺线 ! ai, \
j;)U5X
T)qD}hl 让我们仔细看看代表抛球的方程。简单地说,我们可以认为我们真的不需要指数之外的虚数,因为它只是代表旋转。我们可以以更方便的方式定义 g[t] 。 -#|J u.gnvdU 和我一起看下一组方程。在本节结束时,您会理解我为什么选择这个路径。
D`2Iy.|! rhsSV3iM
[attachment=119133] St^ s"A 给出了不同版本的左手 PL 和右手 PR 位置的方程,作为时间的函数 Zw`Xg@;xP
[attachment=119130] mn)kd 我们可以改写为 la[xbv
[attachment=119132] 2mWW0txil 为方便起见,我们可以定义 =4 36/O`K
[attachment=119131] YFL9Q< 其中 + 用于左手位置,- 用于右手位置。现在我们可以把这些压缩成一个语句 f)~urGazS _ ^r KOd 采用另外一种约定,我们可以将投掷表示为i或捕捉表示为 f。将投掷和捕捉的位置分别表示为 Pi 和 Pf[t]。 -tlRe12 eI/9uR% 我们现在可以重写球的线性轨迹方程。回想一下,投掷将在时间 t0 发生,捕捉在时间 τ 之后。 ng;,;o. E?m(&O
j 现在要旋转我们对球轨迹的视角,通过乘图片将整个系统旋转到相反的方向 ;|5m;x/a [attachment=119134] mvyqCOp 0 #%rXDGDS 这实际上与我们在旋转框架上绘制的函数相同。但是,如果我们看看我们的时间变量结束的地方,我们可以看到方程只是具有指数项乘以线性项。我们可以设置 t0=0, 并写 [attachment=119144] CfNHv-jDL KW]/u 现在方程采取形式 [attachment=119142] qe8dpI; !U/iY%NE 这就是阿基米德螺旋方程。 7loIX Qw GNlP]9wX 当然,这个方程通常只有一个 a, b ∈R 而在我们的方程中我们允许 a,b∈Z。 3i/$YX5@ za` =X'i^Q
科里奥利力和离心力 PMe bn$( _=Ed>2M)no 科里奥利力是在整个地球自转的上下文中考虑的。即飓风或排水。使用线性代数书写时,该力表示为 FC= -2m(ωxv'),其中m是物体的质量,ω 是角速度,v' 是物体在旋转坐标系中的速度。 mzLDZ#=b :,X,!0pWRp 离心力通常被认为是汽车快速转向或在旋转嘉年华骑行中的术语。使用线性代数,我们将力写为 Fcent=-mωx(ωxr'),其中 r' 是物体在旋转坐标系中的位置。 ] cdKd ) VImcW;Xa 这些力很有趣,因为它们是“虚拟力”中最常见的形式,而这个术语通常非常令人困惑。我的困惑往往源于我们使用具有实际力作用的物理系统这一事实。就像在飓风的情况下一样,有一部分空气远离旋转轴(赤道附近),有一部分接近旋转轴(赤道以北或北)。这对我来说似乎不是“虚构”的。 WLma)L`L /p+ (_Y ],YIEOx6
在上面的数学中,我们沿着直线扔球,我们知道它不会遇到任何力,它的动量是守恒的。但是,当我们在旋转框架中查看它时,它遵循阿基米德螺旋。如果我们检查我们的解决方案 T,我们会发现 T 满足微分力方程,包括科里奥利力和离心力方程。 vr+O)/P}) id="\12Bw
[attachment=119151] ;I1}g] 我们必须要么将我们的复代数移动到线性代数或反之亦然。让我们在复代数中找到上述微分方程的表示。首先,我们写 EbZRU65J}O
[attachment=119154] ? >SC:{( 请注意,阿基米德螺线平面和我们选择的角速度与该平面垂直。这是该系统的快速图片 9=p^E# d D<B/oSy
[attachment=119140] @0S3`[/U g}
7FR({b -
|n\
[attachment=119141] xL,Lb}){% 这意味着在阿基米德螺线仍然在实虚平面上 ω 与任意点 T、速度图片或加速度图片之间的乘积。由于是交叉乘积,所以结果总是垂直于两个输入向量。因此我们可以通过图片其中图片将交叉乘积转换为复数记号。 2UU5\
jV6 n>T1KC% _C$JO 我们可以将我们的微分方程改写为 ;+t~$5
[attachment=119148] z;yb;), 现在是做数学的时候了,看看四个解是否满足这个方程。首先让我们拿下导数,这样我们就可以看到它们了。 &(UVS0=Dp, ]V\qX+K u4*7n-(
[attachment=119146] *u^N_y q] eSDRW !{tkv4 化简二阶导数 E~Eh'>Y(B WDc2Qt
[attachment=119152] <8nl}^d5 P[6@1 !4cO]wh5 检查微分方程的右边 W|XTa GInU7y904
[attachment=119147] !mLQdkTE Q|/uL`_ni 我们可以看到方程的每一边都是相等的 p_T>"v >Q':+|K} vX|ZPn#
[attachment=119149] :a3 +f5 由此可见,广义阿基米德螺旋轨迹可以用科里奥利力和离心力来描述。因此,这些力是虚构的这一事实是很明显的。 %"Tn=fZIF Sp8Xka~5*#
6yEYX'_
JbN@AX:%
总结 +rse,b&U(
7 \)OWp
+NL^/y<; 在我们这里发现的方程T中还有很多需要探索和理解的地方。例如,回到上面的“旋转和非旋转”操纵对象,再次运行这条线,并输入 τ = 0.3。在旋转坐标系中你会发现一个很有趣的结果。或者我们可以添加多个球,就像杂耍中常见的那样,看看它们的运动是如何实时联系在一起的。 }`M53>C,gQ ip6$Z3[) C;7?TZ&x |