用 Mathematica 中的阿基米德螺线和复杂代数分析太空中杂耍的模式
用 Mathematica 中的阿基米德螺线和复杂代数分析太空中杂耍的模式 QsOhz !qA8Zky_
太空杂耍是什么样的呢? IZ 8y}2 当我问这个问题时,我并不是想把地球杂耍放到太空。我想知道对于一个太空艺术家来说杂耍是什么样的。我努力学习并练习了这个技巧。几周前,我还在国际杂耍协会2021年冠军赛上以太空杂耍表演获得了第一名! x5OC;OQc Tr&E4e &EovZ@u
人体转动惯量 Sj)}qM-y# 在我第一次抛物线飞行之前,我写了一个 Mathematica 代码来计算人体在不同位置的主要转动惯量。概述其中一些研究的文章称为“失重中人体的编舞技术”。下图是使用该笔记本生成的。 Wr>(#*r7q /BpxKh2p Zn&k[?;Al
[attachment=119122] ^mg*;8eGa f7J,&<<5w r~8;kcu7 知道主轴很有用,因为最大和最小轴向我们展示了我们可以稳定旋转的轴。如果系统没有简并性,这些是身体可以稳定旋转的唯一轴。通过构造转动惯量张量(绕物体质心)来找到轴,然后找到特征值和特征向量。 :
,p||_G& B!b sTvX 在上面的图中,蓝色和红色箭头分别表示的最大和最小轴。如果身体的总角动量与这些轴之一对齐,则身体将稳定旋转并且不会摆动。我发现有趣的是,身体可以围绕腹部旋转,有点像通过围绕蓝色轴旋转的侧手翻。 )p8I@E cXN _*% iCTQ]H3
在失重状态下扔球 MdC<4^| 下一个需要了解的细节是,当一个球在失重状态下投掷时,它沿直线而不是抛物线运动。 z/1{OL aI(>]sWJ 我们可以将这两条信息放在一起,考虑到一个人可以以侧手翻的方式旋转并将球扔给自己。更有趣的是,我们知道球在惯性空间中沿直线运动,但它们在旋转坐标系中的运动路径是什么?杂耍人看到了什么? |)o#|Qo
Q>8pP \ho 首先,我们需要一个表示杂耍人脊柱方向的函数。假设从头部到沿脊柱的位置以及杂耍者的双手之间的距离为 A。我们也可以说杂耍者以角速度 ω 旋转。因此 SMoz:J*Q( D|_V<'
[attachment=119123] 5)'P'kVi7. 我们想知道从点 f[t] 到手的位置的偏移量,我们可以缩放和旋转 f[t] 来简化。 5+P@sD F
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[attachment=119124] Ftv8@l 记住,任何复数向量乘以一个单位复数会旋转它,旋转角度是正实轴和这个向量的夹角。在 Mathematica 中,如果您有一个单位复向量,您可以计算这个向量的 Arg,它会告诉您旋转角度是多少。 ~O;y?]U `.=sTp2rbc g:<? 如果我们加上 f[t] 和 g[t],我们就会得到左手的位置。 #tjmWGo, W#XG;
[attachment=119125] <\@1Zz@ms 如果 f[t] 减去 g[t],就得到右手的位置。 ip``v0Nf - 8bNQU
[attachment=119126] :?CQuEv- 让我们快速地看一下目前为止我们都得到了什么。我们设 ω = 2 π,这样 t的值就与转数成正比。设 t = 1/8 我们可以从坐标轴上看到它。 k\N4@UK ALGgAX3t Pxhz@":[
[attachment=119127] 1f4bt6[ Q_zr\RM> `cr(wdvI
[attachment=119135] 8]< f$3. @Bs0Avj. 现在我们已经有一种方法来展示身体如何在侧手翻运动中旋转。下一个需要展示一个球的运动。它会沿着直线移动。我们想从一个杂耍者的手开始,我们想它被杂耍者的手抓住。从数学上讲,这意味着轨迹将在时间 ti, 位置 开始,在时间到 τ, 结束。 +.Bmkim 7=P^_LcU 代表球运动方向的向量是 [attachment=119128] ](K0Fwo`;" $h28(K% 太空中的球位置从初始点开始,然后在 τ 时间内移动,因此直线惯性空间的轨迹为 Vq ^]s$'
[attachment=119129] rt4Z; 我们可以绘制这些轨迹。请看下面左侧图中的线。 sR=/%pVN K:5eek h`5)2n+ P
[attachment=119137] *'R#4@wmP #cKqnk Zk?
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[attachment=119138] HIf{Z* mb orIQ~pF# zAScRg$:?
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[attachment=119143] w'ybbv{c 2t1I3yA'{z 更有趣的是观察旋转坐标系中的轨迹。上面的右图显示了杂耍者在旋转框架中看到的东西。您注意到这些球是如何以弧线运动的吗? p-$Cs _{Z -_8*41 要在旋转坐标系中生成绘图,如上图右侧所示,只需将线函数 TL 乘以一个以相同角速度向相反方向旋转的指数函数。 6Nh0 >SCGK_Cr2
阿基米德螺线 Mm=Mz
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KN[d!}W: 让我们仔细看看代表抛球的方程。简单地说,我们可以认为我们真的不需要指数之外的虚数,因为它只是代表旋转。我们可以以更方便的方式定义 g[t] 。 7#2j>G{?]v '2^
Yw 和我一起看下一组方程。在本节结束时,您会理解我为什么选择这个路径。 #y; yN7W v[S-Pi1
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RiFw?Q+ 给出了不同版本的左手 PL 和右手 PR 位置的方程,作为时间的函数 cF+ X,]=6
[attachment=119130] d"THt} 我们可以改写为 30F!kP*E
[attachment=119132] 5EeDHsvV9 为方便起见,我们可以定义 -{g~TUz
[attachment=119131] F 3RB 其中 + 用于左手位置,- 用于右手位置。现在我们可以把这些压缩成一个语句 n2ndjE$ *l>0t]5YH 采用另外一种约定,我们可以将投掷表示为i或捕捉表示为 f。将投掷和捕捉的位置分别表示为 Pi 和 Pf[t]。 ;vp\YIeX1 TD,nIgH` 我们现在可以重写球的线性轨迹方程。回想一下,投掷将在时间 t0 发生,捕捉在时间 τ 之后。 ' UMFS :FQ1[X1xm 现在要旋转我们对球轨迹的视角,通过乘图片将整个系统旋转到相反的方向 RtV.d\ [attachment=119134] %:u[MBe , FGanxv@15 这实际上与我们在旋转框架上绘制的函数相同。但是,如果我们看看我们的时间变量结束的地方,我们可以看到方程只是具有指数项乘以线性项。我们可以设置 t0=0, 并写 [attachment=119144] t#~?{i@m z,Lzgh 现在方程采取形式 [attachment=119142] d'HOpJE $k2)8 #\ 这就是阿基米德螺旋方程。 y?z\L sic$uT 当然,这个方程通常只有一个 a, b ∈R 而在我们的方程中我们允许 a,b∈Z。
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科里奥利力和离心力 Tz-X o j,
u#K)7{T 科里奥利力是在整个地球自转的上下文中考虑的。即飓风或排水。使用线性代数书写时,该力表示为 FC= -2m(ωxv'),其中m是物体的质量,ω 是角速度,v' 是物体在旋转坐标系中的速度。 4A.Q21s lAASV{s{ 离心力通常被认为是汽车快速转向或在旋转嘉年华骑行中的术语。使用线性代数,我们将力写为 Fcent=-mωx(ωxr'),其中 r' 是物体在旋转坐标系中的位置。 OkH\^ <Gb
%uny 这些力很有趣,因为它们是“虚拟力”中最常见的形式,而这个术语通常非常令人困惑。我的困惑往往源于我们使用具有实际力作用的物理系统这一事实。就像在飓风的情况下一样,有一部分空气远离旋转轴(赤道附近),有一部分接近旋转轴(赤道以北或北)。这对我来说似乎不是“虚构”的。 +]!lS7nsW :pC;`iQ k DsIp= 在上面的数学中,我们沿着直线扔球,我们知道它不会遇到任何力,它的动量是守恒的。但是,当我们在旋转框架中查看它时,它遵循阿基米德螺旋。如果我们检查我们的解决方案 T,我们会发现 T 满足微分力方程,包括科里奥利力和离心力方程。 r6.N4eW.L Kn}ub+
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[attachment=119151] t@B(+ 我们必须要么将我们的复代数移动到线性代数或反之亦然。让我们在复代数中找到上述微分方程的表示。首先,我们写 %5B%KCCN
[attachment=119154] hU {-a` 请注意,阿基米德螺线平面和我们选择的角速度与该平面垂直。这是该系统的快速图片 l I-p_K d>i13dAI
[attachment=119140] vv5i? F
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[attachment=119141] T0e<Slo~C 这意味着在阿基米德螺线仍然在实虚平面上 ω 与任意点 T、速度图片或加速度图片之间的乘积。由于是交叉乘积,所以结果总是垂直于两个输入向量。因此我们可以通过图片其中图片将交叉乘积转换为复数记号。 3'eG;< |