OptiMode：矢量有限元法-精度及优势

1. 概述

由于光通信系统向集成化方向发展，因此高折射率对比度以及亚波长尺寸波导的建模变得越来越重要。这些属性需要一个模态求解器，既能够真实地进行几何近似，也可以进行电场的近似。波导尺寸与感兴趣的电磁场区域可能有几个数量级的差别，如长距离等离子体激元。

1. 应用
 硅光子学
 波导设计
 空心光纤
 亚波长光学
 弯曲波导
 长距离等离子体激元

高折射率对比光纤

2. 优势
 矢量有限元法速度非常快，而且精度高
 全矢量公式化各向异性模式求解器
 能够使用5阶插值混合向量/节点量，以去掉伪解并极大的增加精度
 可利用布局的对称性降低仿真域尺寸
 单轴完全匹配层(UPML)可以用来找到遗漏的模式
 三角网格大小可调整以精确近似电磁场和波导的几何结构
 模态指数评估可提高速度，还可以用来搜索特定的光学模式
 采用变换光学精确地计算弯曲波导的模式，,即使是一个很小的曲率半径

3. 仿真描述
    在矢量有限元法与其他模式求解器进行对比之前，应对不同的阶数的基础函数的准确性进行了测试。最简单的波导是一个均匀介质微波波导。纤芯是一个简单电介质，包层被视为一个完美的电导体，以描述一个矩形金属墙。
    下面的图标中显示了VFEM结果和解析结果间的相对百分比误差。误差根据有限元网格中自由度结果的方程进行绘制。

图1.VFEM计算的平均误差

前5个模式误差的平均值如图1中所绘制。其清晰表明，对于一个传播常数，增加基础方程的阶次可以获得更高精度的结果。在x=400时，增加基础方程的级次，等于近乎提高数量级高度的精度。此处应该指出的是，最大平均误差仅为0.3%。

对一个纤芯折射率1.5和包层折射率为1.0的高对比光纤，对比使用不同方法的模态求解器。尽管在SOI波导中可能不算是高对比度，但对于我们来说对比度已足够大了。波导的横截面显示在反面。

表1：利用多种模态求解器计算的模折射率。包含了模折射率的平均误差。

上面的表格显示了对于前六光纤矢量模式计算的模折射率。将一个光纤矢量求解器作为基准，并标签为“Exact”。此外，ADI、FD和FEM求解也都用于计算光纤模态。其中FEM分为两组：第一组使用1阶量，第二组使用3阶量。但在表格中没有给出各求解器所花费时间。其中，FEM计算时间与FD的计算时间大概一致，(FD耗时~109秒，FEM耗时~65秒)。

表格充分说明了FEM模态求解器的优势和ADI的不足。ADI方法计算速度快，但是寻找较高精度高阶模态比较困难，而且其精度随波导对比度提高而降低。FD法优于ADI，但精度最好的是FEM法。这并不仅对于光纤模态，对于矩形和任意形状波导也同样适用。

有限元求解器如此精确的主要原因之一是其近似几何体的方式。ADI和FD采用小矩形进行折射率采样，这导致了对角线或曲线的阶梯式近似。理论上，矩形晶元可以缩小至阶梯式以进行一个很好的近似，但在实践中它仍然会导致相当大的误差。有限元求解器使用三角形网格可以近似对角线到一个高精度水平，并可以提供足够少的三角来近似曲线。

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