OptiMode：矢量有限元法-精度及优势

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1. 概述 `L[q`r7
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由于光通信系统向集成化方向发展，因此高折射率对比度以及亚波长尺寸波导的建模变得越来越重要。这些属性需要一个模态求解器，既能够真实地进行几何近似，也可以进行电场的近似。波导尺寸与感兴趣的电磁场区域可能有几个数量级的差别，如长距离等离子体激元。 8O60pB;4
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1. 应用 ?z6K/'?
 硅光子学 Ex|Z@~T12
 波导设计 NXDkGO/*
 空心光纤 2QEH!)lvr
 亚波长光学 DHuvHK0#
 弯曲波导 ["Tro;K#
 长距离等离子体激元 98^7pa

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高折射率对比光纤
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2. 优势 ]@Z nP,8
 矢量有限元法速度非常快，而且精度高 A{k1MA<F6
 全矢量公式化各向异性模式求解器 Y6hV ;[\F
 能够使用5阶插值混合向量/节点量，以去掉伪解并极大的增加精度 O@W/s!&lFa
 可利用布局的对称性降低仿真域尺寸 6#K.n&=*
 单轴完全匹配层(UPML)可以用来找到遗漏的模式 "UhE'\()
 三角网格大小可调整以精确近似电磁场和波导的几何结构 S~ S>62
 模态指数评估可提高速度，还可以用来搜索特定的光学模式 Soe2Gq
 采用变换光学精确地计算弯曲波导的模式，,即使是一个很小的曲率半径 A-_M=\
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3. 仿真描述 Ui9;rh$1eU
在矢量有限元法与其他模式求解器进行对比之前，应对不同的阶数的基础函数的准确性进行了测试。最简单的波导是一个均匀介质微波波导。纤芯是一个简单电介质，包层被视为一个完美的电导体，以描述一个矩形金属墙。 NZADHO@0
下面的图标中显示了VFEM结果和解析结果间的相对百分比误差。误差根据有限元网格中自由度结果的方程进行绘制。 H\E%.QIx
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图1.VFEM计算的平均误差 gzH;`,

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前5个模式误差的平均值如图1中所绘制。其清晰表明，对于一个传播常数，增加基础方程的阶次可以获得更高精度的结果。在x=400时，增加基础方程的级次，等于近乎提高数量级高度的精度。此处应该指出的是，最大平均误差仅为0.3%。 NV?XZ[<*<
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对一个纤芯折射率1.5和包层折射率为1.0的高对比光纤，对比使用不同方法的模态求解器。尽管在SOI波导中可能不算是高对比度，但对于我们来说对比度已足够大了。波导的横截面显示在反面。 ) R5j?6}xF
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表1：利用多种模态求解器计算的模折射率。包含了模折射率的平均误差。
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上面的表格显示了对于前六光纤矢量模式计算的模折射率。将一个光纤矢量求解器作为基准，并标签为“Exact”。此外，ADI、FD和FEM求解也都用于计算光纤模态。其中FEM分为两组：第一组使用1阶量，第二组使用3阶量。但在表格中没有给出各求解器所花费时间。其中，FEM计算时间与FD的计算时间大概一致，(FD耗时~109秒，FEM耗时~65秒)。 Y8IC4:EO
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表格充分说明了FEM模态求解器的优势和ADI的不足。ADI方法计算速度快，但是寻找较高精度高阶模态比较困难，而且其精度随波导对比度提高而降低。FD法优于ADI，但精度最好的是FEM法。这并不仅对于光纤模态，对于矩形和任意形状波导也同样适用。 7r)]9_[(
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有限元求解器如此精确的主要原因之一是其近似几何体的方式。ADI和FD采用小矩形进行折射率采样，这导致了对角线或曲线的阶梯式近似。理论上，矩形晶元可以缩小至阶梯式以进行一个很好的近似，但在实践中它仍然会导致相当大的误差。有限元求解器使用三角形网格可以近似对角线到一个高精度水平，并可以提供足够少的三角来近似曲线。
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